2016高考数学大一轮复习 14.3坐标系与参数方程课件 理 苏教版


数学

苏(理)

第十四章

系列4选讲

§14.3

坐标系与参数方程

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

1.极坐标系

(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,
叫做 极点 ,从O点引一条射线Ox,叫做

极轴 ,再选定一个长度单位、一个角度单位
(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定

了一个极坐标系.

设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的 极径 ,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的 角叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的

极坐标,记作M(ρ,θ).

(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作 为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取

相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角
坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为

x= ρcos θ ,y= ρsin θ .

y 2+y2 2 x 另一种关系为ρ = ,tan θ= x .

2.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ=α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成 α 角的直线; ρcos θ=a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; ρsin θ=b
? π? ? 表示过?b,2? ?且平行于极轴的直线; ? ?

ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)表示过(ρ1,θ1)且与极轴成 α 角的直线方程.

(2)圆的极坐标方程 ρ=2rcos θ 表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆; ρ=2rsin θ
? π? ? 表示圆心在?r,2? ?,半径为|r|的圆; ? ?

ρ=r 表示圆心在极点,半径为|r|的圆.

3.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都
?x=f?t?, 是某个变量 t 的函数? ?y=g?t?.

并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲 线上,则称上式为该曲线的 参数方程 ,其中变量 t 称为 参数 .

4.一些常见曲线的参数方程 (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为
?x=x0+tcos α ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数).

?x=a+rcos θ ? (2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 ?y=b+rsin θ

(θ 为参数).

?x=acos θ ? x2 y2 (3)椭圆方程 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 ?y=bsin θ

a

b



为参数).
?x = 2 pt 2 ? (4) 抛物线方程 y2 = 2 px (p >0) 的参数方程为 ?y = 2 pt ( t 为

参数 ).

题号
1 2 3 4

答案
4 3

解析

4

50° 3

由ρ=4sin θ可得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4. 由ρsin θ=a可得y=a. 设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A, B与O构成等边三角形,如图所示.

由对称性知∠O′OB=30°,OD=a.
3 在 Rt△DOB 中,易求 DB= 3 a, 3 ∴B 点的坐标为( 3 a,a).

3 2 又∵B 在 x +y -4y=0 上,∴( 3 a) +a2-4a=0, 4 2 即3a -4a=0,解得 a=0(舍去)或 a=3.
2 2

题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy中,以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立

解析

思维升华

极坐标系.曲线C的极坐标方程为 π ρcos(θ- )=1,M,N分别为C与 3 x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求

M、N的极坐标;

题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy中,以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立

解析

思维升华



π 由 ρcos(θ-3)=1 得

极坐标系.曲线C的极坐标方程为 π ρcos(θ- )=1,M,N分别为C与 3 x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求

1 3 ρ(2cos θ+ 2 sin θ)=1.

1 从而 C 的直角坐标方程为 x 2 3 + y=1, 2

M、N的极坐标;

解析 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy中,以O 即 x+ 3y=2.

思维升华

为极点, x 轴正半轴为极轴建立

当 θ = 0 时, ρ = 2 ,所以 M(2,0).
π 2 3 当 θ= 2时,ρ = 3 ,所以 2 3 π N( 3 ,2).

极坐标系.曲线C的极坐标方程为 π ρcos(θ- )=1,M,N分别为C与 3 x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求

M、N的极坐标;

思维升华 解析 题型一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标方程化为极坐标方程, 例1 在直角坐标系xOy中,以O 只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin

为极点, x 轴正半轴为极轴建立 θ 直接代入并化简即可;而极

极坐标系.曲线C的极坐标方程为 π ρcos(θ- )=1,M,N分别为C与 3 x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求

M、N的极坐标;

坐标方程化为直角坐标方程要 通过变形,构造形如 ρcos θ , ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代 换 . 其中方程的两边同乘以 ( 或 同除以 )ρ 及方程两边平方是常 用的变形方法.但对方程进行变 形时,方程必须保持同解,因 此应注意对变形过程的检验.

例1

在直角坐标系xOy中,以O

解析

思维升华

为极点, x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系.曲线C的极坐标方程为 π ρcos(θ- )=1,M,N分别为C与 3 x轴、y轴的交点. (2)设MN的中点为P,求直线OP

的极坐标方程.

例1

在直角坐标系xOy中,以O

解析

思维升华

为极点, x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系.曲线C的极坐标方程为 π ρcos(θ- )=1,M,N分别为C与 3 x轴、y轴的交点. (2)设MN的中点为P,求直线OP

解 M点的直角坐标为(2,0). 2 3 N 点的直角坐标为(0, ). 3 3 所以 P 点的直角坐标为(1, ). 3 2 3 π 则 P 点的极坐标为 ( , ), 3 6
所以直线 OP 的极坐标方程为 π θ= (ρ∈R). 6

的极坐标方程.

例1

在直角坐标系xOy中,以O 直角坐标方程化为极坐标方程,
θ 直接代入并化简即可;而极 坐标方程化为直角坐标方程要 通过变形,构造形如 ρcos θ , ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代 换 . 其中方程的两边同乘以 ( 或 同除以 )ρ 及方程两边平方是常 用的变形方法.但对方程进行变 形时,方程必须保持同解,因 此应注意对变形过程的检验.

解析

思维升华

为极点, x 轴正半轴为极轴建立 只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin 极坐标系.曲线C的极坐标方程为 π ρcos(θ- )=1,M,N分别为C与 3 x轴、y轴的交点. (2)设MN的中点为P,求直线OP

的极坐标方程.

跟踪训练1 在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ
+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.

解 将极坐标方程化为直角坐标方程,
得圆的方程为x2+y2=2x,

即(x-1)2+y2=1,
直线的方程为3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,

跟踪训练1 在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ
+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.
|3×1+4×0+a| 即有 =1, 2 2 3 +4

解得a=-8或a=2.

故a的值为-8或2.

题型二 参数方程与普通方程的 互化
例 2 已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ<π) 和
?x= 5cos θ, ? ?y=sin θ

解析

思维升华

? 52 ?x= t , ? 4 (t∈R), 求它们的交点坐标. ? ?y=t

将 两曲线 的参数 方程 2 x 例 2 已知两曲线参数方程分别为 化为普通方程分别为 + y2 5 ?x= 5cos θ, - 5<x≤ 5) ? (0≤θ<π) 和 =1 (0≤y≤1, ?y=sin θ 4 2 和 y = x,联立解得交点为 5 ? 52 ?x= t , ? 4 (t∈R), 求它们的交点坐标. ? 2 5? ? ? 1 , ? ? ?. 5 ?y=t ? ?

题型二 参数方程与普通方程的 解 互化

解析

思维升华

题型二 参数方程与普通方程的 互化
例 2
?x= 5cos θ, ? ?y=sin θ

解析

思维升华

(1)参数方程化为普通方程常用

已知两曲线参数方程分别为 的消参技巧有代入消元、加减 (0≤θ<π) 和
消元、平方后再加减消元等.对 于与角 θ 有关的参数方程,经

2 2 ? 52 常用到的公式有 sin θ + cos θ= ?x= t , ? 4 (t∈R), 求它们的交点坐标. 1 2 ? 1,1+tan θ= 2 等. ?y=t cos θ

题型二 参数方程与普通方程的 互化
例 2 已知两曲线参数方程分别为 (0≤θ<π)
?x= 5cos θ, ? ?y=sin θ

解析

思维升华

(2)在将曲线的参数方程化
为普通方程时,还要注意

和 其中的x,y的取值范围,即 在消去参数的过程中一定

? 52 要注意普通方程与参数方 ?x= t , ? 4 (t∈R), 求它们的交点坐标. ? 程的等价性. ?y=t

跟踪训练2

(2014·重 庆 ) 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为

?x=2+t, ? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ?y=3+t

为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ = .

解析

?x=2+t, 参数方程 ? 化为普通方程为 y = x + 1. 由 ?y=3+t

ρsin2θ-4cos θ=0,得 ρ2sin2θ-4ρcos θ=0,其对应的直角坐 标方程为 y2-4x=0,即 y2=4x.
?y=x+1, ?x=1, 由? 2 可得? 故直线和抛物线的交点坐标为 ?y =4x ?y=2,

(1,2),故交点的极径为 12+22= 5.

答案

5

题型三 极坐标、参数方程的综合应用
例3 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半 轴为极轴,建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cos θ,
? ?x=-3+ 3t, ? 2 直线 l 的参数方程是? 1 ? y=2t ? ?

(t 为参数),M,N 分别

为曲线 C、直线 l 上的动点,求 MN 的最小值.



化极坐标方程ρ=4cos θ为直角坐标方程x2+y2-4x=0,

所以曲线C是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
? ?x=-3+ 3t, ? 2 化参数方程? 1 ? y=2t ? ?

(t 为参数)为普通方程 x- 3y

+3=0.

5 圆心到直线 l 的距离 d= =2, 1+3
此时,直线与圆相离, 5 1 所以 MN 的最小值为 -2= . 2 2

|2+3|

思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,

求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方
程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了

化归思想的具体运用.

π ) 到直线 跟踪训练 3 (1)(2014· 陕西 ) 在极坐标系中,点 (2 , 6 π ρsin(θ- )=1的距离是 . 6 π 解析 点(2, )化为直角坐标为( 3,1), 6

π 3 1 直线 ρsin(θ-6)=1 化为 ρ( 2 sin θ-2cos θ)=1,
3 1 2 y-2x=1,

π ) 到直线 跟踪训练 3 (1)(2014· 陕西 ) 在极坐标系中,点 (2 , 6 π ρsin(θ- )=1的距离是 1 . 6

1 3 1 3 即2x- 2 y+1=0,点( 3,1)到直线2x- 2 y+1=0 的距离
?1 ? ? × ?2 ? 3 ? 3- ×1+1 ? 2 ? =1. 12 32 ? ? + ?- ? 2 2



π (2)在极坐标系中,点 A 的坐标为(2 2, ),曲线 C 的方程为 4 ρ=2cos θ,则 OA(O 为极点)所在直线被曲线 C 所截弦的长 度为
解析

2

.

由题意知直线 OA 的直角坐标方程为 x-y=0,曲线 C 的

直角坐标方程为 x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1, 易知曲线 C 为圆, 1 且圆心 C 到直线 OA 的距离为 ,故直线 OA 被曲线 C 所截弦的 2 1 长度为 2 1- = 2. 2

易错警示系列21 参数的几何意义不明致误
? ?x=1t, 2 ? 典例:(10 分)已知直线 l 的参数方程为? 2 3 ? y= + t ? 2 2 ?

(t 为参

数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 方向为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程 π 为 ρ=2cos(θ- ). 4

(1)求直线l的倾斜角;
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒



?x=tcos 60° , ? 直线的参数方程可以化为? 2 ?y= +tsin 60° , 2 ?

2分

2 根据直线参数方程的意义,直线 l 经过点(0, 2 ), 倾斜角为 60° .
4分

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

?x=x0+tcos α, 对于直线的参数方程? (t 为参数)来说, ?y=y0+tsin α

要注意 t 是参数,而 α 则是直线的倾斜角.
?x=acos φ, 与此类似,椭圆参数方程? 的参数 φ 有特 ?y=bsin φ

别的几何意义,它表示离心角.

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求AB.
易 错 分 析 规 范 解 答

温 馨 提 醒

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒
6分
8分



2 直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+ , 2

π 22 22 ρ=2cos(θ- )的直角坐标方程为(x- ) +(y- ) =1, 4 2 2

2 2 6 所以圆心( , )到直线 l 的距离 d= . 2 2 4
10 所以 AB= . 2
10分

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

?x=x0+tcos α, 对于直线的参数方程? (t 为参数)来说, ?y=y0+tsin α

要注意 t 是参数,而 α 则是直线的倾斜角.
?x=acos φ, 与此类似,椭圆参数方程? 的参数 φ 有特 ?y=bsin φ

别的几何意义,它表示离心角.

1. 曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路:对于

方 法 与 技 巧

简单的我们可以直接代入公式ρcos θ=x,ρsin θ=y, ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两 边同时平方,两边同时乘以ρ等.

2.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加 减消元、 平方后加减消元等, 经常用到公式: cos2θ+sin2θ 1 =1,1+tan θ= 2 . cos θ
2

方 法 与 技 巧

3.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非

常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.

1.极径ρ是一个距离,所以ρ≥0,但有时ρ可以小于零.

失 误 与 防 范

极角 θ 规定逆时针方向为正,极坐标与平面直角坐标

不同,极坐标与 P 点之间不是一一对应的,所以我们
又规定 ρ≥0,0≤θ<2π,来使平面上的点与它的极坐标

之间是一一对应的,但仍然不包括极点.
2. 在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其 中的 x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要 注意普通方程与参数方程的等价性.

1

2

3

4

5

6

1.(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方
? ?x=1- ? 程为? ? y=2+ ? ?

2 t, 2 2 t 2

(t 为参数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交

于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

1

2

3

4

5

6

2 ? ?x=1- 2 t, 解 将直线 l 的参数方程? ?y=2+ 2t ? 2 代入抛物线方程 y2=4x,
? 得? 2+ ? ? ? 2? 2? ?2 ? ? t? =4?1- t?, 2 ? 2 ? ?

解得 t1=0,t2=-8 2.

所以 AB=|t1-t2|=8 2.

1

2

3

4

5

6

?x=sin α, 2.已知曲线 C 的参数方程为? α∈[0,2π),曲线 D 2 ?y=cos α,

π 的极坐标方程为 ρsin(θ+ )=- 2. 4 (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程;



?x=sin α, 2 由? α ∈ [0,2π) 得 x +y=1,x∈[ -1,1]. 2 ?y=cos α,

1

2

3

4

5

6

(2)曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由.
解 π 由 ρsin(θ+ )=- 2得曲线 D 的普通方程为 x+y+2=0. 4

?x+y+2=0, ? 2 得 x2-x-3=0. ?x +y=1

1± 13 解得 x= ?[ -1,1] ,故曲线 C 与曲线 D 无公共点. 2

1

2

3

4

5

6

3.(2013· 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 A 的极坐标为 π π ( 2,4),直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ-4)=a,且点 A 在 直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

1

2

3

4

5

6



π π 由点 A( 2,4)在直线 ρcos(θ-4)=a 上,可得 a= 2.

所以直线l的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,

从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

1

2

3

4

5

6

?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数), 试判断直 ?y=sin α

线 l 与圆 C 的位置关系. 解 由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,

所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1, 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 2 <1, 2 所以直线l与圆C相交.

1

2

3

4

5

6

4.在极坐标系中,P 是曲线 ρ=12sin θ 上的动点,Q 是曲线
? π? ? ρ=12cos?θ-6? ?上的动点,试求 ? ?

PQ 的最大值.

解 ∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ, ∴x2+y2-12y=0,即x2+(y-6)2=36.
? π? ? 又∵ρ=12cos?θ-6? ?, ? ?

1

2

3

4

5

6

∴ρ

2

? =12ρ? ?cos ?

π π? θcos 6+sin θsin 6? ?, ?

∴x2+y2-6 3x-6y=0,
∴(x-3 3)2+(y-3)2=36,
∴PQmax=6+6+ ?3 3?2+32=18.

1

2

3

4

5

6

5.在极坐标系中,已知三点

? ? π? ? ? M?2,-3?、N(2,0)、P? ?2 ? ? ?

π? 3, ? . 6? ?

(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标;



?x=ρcos θ, 由公式? 得 M 的直角坐标为(1,- 3); ?y=ρsin θ

N 的直角坐标为(2,0);P 的直角坐标为(3, 3).

1

2

3

4

5

6

(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.
3-0 3 解 ∵kMN= = 3,kNP= = 3. 2-1 3-2

∴kMN=kNP,∴M、N、P三点在一条直线上.

1

2

3

4

5

6

? ?x′=1x, 2 ? 6.在同一平面直角坐标系中, 经过伸缩变换? 1 ? y′=3y ? ?

后,

曲线 C:x2+y2=36 变为何种曲线,并求曲线的焦点坐标.

解 圆 x2+y2=36 上任一点为 P(x, y), 伸缩变换后对应的点
?x=2x′, 的坐标为 P′(x′,y′),则? ?y=3y′,

1

2

3

4

5

6

2 2 x ′ y ′ ∴4x′2+9y′2=36,即 + =1. 9 4

x2 y2 ∴ 曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 + = 1 ,其焦点坐标为 9 4 (± 5, 0).

1

2

3

4

?x=a-2t, 1.(2014· 福建)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参 ?y=-4t ?x=4cos θ, 数),圆 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=4sin θ

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;

1

2

3

4

解 直线l的普通方程为2x-y-2a=0, 圆C的普通方程为x2+y2=16.

1

2

3

4

(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
解 因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5

解得-2 5≤a≤2 5.

1

2

3

4

2.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2- π 2 2ρcos(θ-4)=2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程;

解 由ρ=2知ρ2=4,
所以x2+y2=4;
π 因为 ρ -2 2ρcos(θ-4)=2,
2

1

2

3

4

π π 所以 ρ -2 2ρ(cos θcos 4+sin θsin 4)=2,
2

所以x2+y2-2x-2y-2=0.

1

2

3

4

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

解 将两圆的直角坐标方程相减,
得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.

化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
π 2 即 ρsin(θ+4)= 2 .

1

2

3

4

3.(2013·课 标 全 国 Ⅰ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
?x=4+5cos t, ? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ?y=5+5sin t

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

1

2

3

4



? ?x=4+5cos t ∵C1 的参数方程为? ? ?y=5+5sin t

.

? ?5cos t=x-4 ∴? ? ?5sin t=y-5

.

∴(x-4)2+(y-5)2=25(cos2t+sin2t)=25, 即C1的直角坐标方程为(x-4)2+(y-5)2=25, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-4)2+(y-5)2=25,

化简得:ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.

1

2

3

4

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解 C2的直角坐标方程为x2+y2=2y,
??x-4?2+?y-5?2=25 ?x=1 ?x=0 解方程组? 2 2 得? 或? . ?x +y =2y ?y=1 ?y=2

∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1),(0,2).
∴C1 与
? ? C2 交点的极坐标为? ? ? π? π? ? ? 2, ?,?2, ? . 4? ? 2? ?

1

2

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4.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ,
? π? ? ρcos?θ-4? ?=2 ? ?

2.

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

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圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,

直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
?x2+?y-2?2=4, ?x1=0, ?x2=2, ? 解? 得? ?x+y-4=0, ?y1=4, ?y2=2.

所以 C1 与

? ? π? ? ? ? C2 交点的极坐标为?4,2?,?2 ? ? ?

π? 2, ? , 4? ?

注:极坐标系下点的表示不唯一.

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(2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ
?x=t3+a, ? 的参数方程为? b 3 (t∈R 为参数),求 a,b 的值. ?y= t +1 ? 2

解 由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,

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b ab 由参数方程可得 y= x- +1, 2 2
? ?b=1, ?2 所以? ? ab - 2 +1=2, ? ?

解得 a=-1,b=2.


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