朝阳县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析


朝阳县第一高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是( ) A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3)   2. 已知集合 M={1,4,7},M∪N=M,则集合 N 不可能是( A.? B.{1,4} C.M D.{2,7} ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

  3. 已知空间四边形 ABCD , M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点,且 AC ? 4 , BD ? 6 ,则( A. 1 ? MN ? 5 B. 2 ? MN ? 10 C. 1 ? MN ? 5 ,x<1 若 f(-6)+f(log 6)=9,则 a 的值为( 4. 已知函数 f(x)= log 2 2x,x ≥ 1 A.4 B.3

D. 2 ? MN ? 5 )

{

2(a-x)

)

C.2 A.3 B.6 C.7

D.1 ) ) D.8

5. 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=8,则 a7=(

6. 若函数 f(x)的定义域为 R,则“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为( A. y ? 2sin(2 x ?



?
3

)

B. y ? 2sin(2 x ?

2? ) 3

C. y ? 2sin( ?

x ? ) 2 3

D. y ? 2sin(2 x ?

?
3

)

8. 设函数 F(x)= ∈R 恒成立,则( A.f(2)> e2f )

是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x)对于 x

(0),f

B.f(2)<e2f(0),f

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C.f(2)>e2f(0),f

D.f(2)<e2f(0),f )

9. 已知四个函数 f(x)=sin(sinx) ,g(x)=sin(cosx) ,h(x)=cos(sinx) ,φ(x)=cos(cosx)在 x∈[﹣π ,π]上的图象如图,则函数与序号匹配正确的是(

A.f(x)﹣①,g(x)﹣②,h(x)﹣③,φ(x)﹣④ C.g(x)﹣①,h(x)﹣②,f(x)﹣③,φ(x)﹣④   10.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A. 144? ,144? B. 144? ,36?

B.f(x)﹣①,φ(x)﹣②,g(x)﹣③,h(x)﹣④ D.f(x)﹣①,h(x)﹣②,g(x)﹣③,φ(x)﹣④

C. 36? ,144?

D. 36? ,36?

?? ? ? 11.若函数 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 对称,且当 2? 12 ? 2? ? ? 17? x1 ,x2 ? ? ? ,? ? , x1 ? x2 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x1 ? x2 ? 等于( 3 ? ? 12
A. 2 12.函数 y= + B.
2 2

) D.
2 4

C. )

6 2

的定义域是(

A.{x|x≥﹣1} B.{x|x>﹣1 且 x≠3}

C.{x|x≠﹣1 且 x≠3}

D.{x|x≥﹣1 且 x≠3}

二、填空题
13.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视如图是一个圆,那么该几何体的 体积是 ?      .

  14.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一
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个红球的概率为 15.下列命题:



①集合 ?a, b, c, d ? 的子集个数有 16 个; ②定义在 R 上的奇函数 f ( x) 必满足 f (0) ? 0 ; ③ f ( x) ? (2 x ? 1) ? 2(2 x ? 1) 既不是奇函数又不是偶函数;
2

④A? R,B ? R, f :x? ⑤ f ( x) ?

1 ,从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是映射; | x|

1 在定义域上是减函数. x
. 展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,则其常数项为      .

其中真命题的序号是 16.二项式

    17.圆柱形玻璃杯高 8cm,杯口周长为 12cm,内壁距杯口 2cm 的点 A 处有一点蜜糖.A 点正对面的外壁(不 是 A 点的外壁)距杯底 2cm 的点 B 处有一小虫.若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿,最少要爬多少       cm.(不计杯壁厚度与小虫的尺寸)

18.在 ?ABC 中,有等式:① a sin A ? b sin B ;② a sin B ? b sin A ;③ a cos B ? b cos A ;④

a b?c ? .其中恒成立的等式序号为_________. sin A sin B ? sin C

三、解答题
19.如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,BC⊥CF, (Ⅰ)求证:EF⊥平面 DCE; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°. ,EF=2,BE=3,CF=4.

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20.已知函数 f(x)= ? ,其中 =(2cosx, (1)求函数 y=f(x)的单调递增区间;

sin2x), =(cosx,1),x∈R. ,且 sinB=2sinC,求△ABC 的面

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)=2,a= 积.

21.某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](Ⅰ)求图中 x 的值,并估计该班期中 考试数学成绩的众数; (Ⅱ)从成绩不低于 90 分的学生和成绩低于 50 分的学生中随机选取 2 人,求这 2 人成绩均不低于 90 分的概 率.

 

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22.已知矩阵 M 坐标.    

所对应的线性变换把点 A(x,y)变成点 A′(13,5),试求 M 的逆矩阵及点 A 的

23.在 ?ABC 中已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断 ?ABC 的形状.
2

24.已知斜率为 2 的直线 l 被圆 x2+y2+14y+24=0 所截得的弦长为

,求直线 l 的方程.

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朝阳县第一高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵f(1)=1>0,f(2)=1﹣2ln2=ln <0, ∴函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(1,2). 故选:C. 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端 点处的符号是否相反.   2. 【答案】D 【解析】解:∵M∪N=M,∴N?M, ∴集合 N 不可能是{2,7}, 故选:D 【点评】本题主要考查集合的关系的判断,比较基础.   3. 【答案】A 【解析】 试题分析:取 BC 的中点 E ,连接 ME , NE , ME ? 2, NE ? 3 ,根据三角形中两边之和大于第三边,两边之 差小于第三边,所以 1 ? MN ? 5 ,故选 A.

考点:点、线、面之间的距离的计算.1 【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用,其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、 三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及转化与化归思想的应用, 本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边 是解答的关键,属于基础题. 4. 【答案】 【解析】选 C.由题意得 log2(a+6)+2log26=9. 即 log2(a+6)=3,

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∴a+6=23=8,∴a=2,故选 C. 5. 【答案】B 【解析】解:∵在等差数列{an}中 a1=2,a3+a5=8, ∴2a4=a3+a5=8,解得 a4=4, ∴公差 d= ∴a7=a1+6d=2+4=6 故选:B.   6. 【答案】A 【解析】解:由奇函数的定义可知:若 f(x)为奇函数, 则任意 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x),取 x=0,可得 f(0)=0; 而仅由 f(0)=0 不能推得 f(x)为奇函数,比如 f(x)=x2, 显然满足 f(0)=0,但 f(x)为偶函数. 由充要条件的定义可得:“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0””的充分不必要条件. 故选:A.   7. 【答案】B 【解析】 = ,

考点:三角函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质. 8. 【答案】B 【解析】解:∵F(x)= ∴函数的导数 F′(x)= ∵f′(x)<f(x), ∴F′(x)<0, 即函数 F(x)是减函数, 则 F(0)>F(2),F(0)>F<e2f(0),f, 故选:B   , = ,

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9. 【答案】 D 【解析】解:图象①是关于原点对称的,即所对应函数为奇函数,只有 f(x); 图象②④恒在 x 轴上方,即在[﹣π,π]上函数值恒大于 0,符合的函数有 h(x)和 Φ(x), 又图象②过定点(0,1),其对应函数只能是 h(x), 那图象④对应 Φ(x),图象③对应函数 g(x). 故选:D. 【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力,从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键,属于 基础题.   10.【答案】D 【解析】

考点:球的表面积和体积. 11.【答案】C 【 解 析 】

考 点:函数的图象与性质. 【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质,涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想,考查逻 辑推理能力、化归能力和计算能力,综合程度高,属于较难题型.首先利用数形结合思想和转化化归思想可得

2?

?
12

?? ?

?
2

? k? ? k ? Z ? ,解得 ? ?

可得 ? x1 ,f ? x1 ? ?

?? ? ,从而 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,再次利用数形结合思想和转化化归思想 3? ? 11? 11? 对称,可得 x1 ? x2 ? ? ,从而 ,? x2 ,f ? x2 ? ? 关于直线 x ? ? 12 6
3

?

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6 ? 11? ? ? . f ? x1 ? x2 ? ? 2 sin ? ? ? ?? 3 3 2 ? ?

12.【答案】D 【解析】解:由题意得: , 解得:x≥﹣1 或 x≠3, 故选:D. 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题.  

二、填空题
13.【答案】 ?   .

【解析】解:此几何体是一个圆锥,由正视图和侧视图都是边长为 2 的正三角形,其底面半径为 1,且其高为 正三角形的高 由于此三角形的高为 此圆锥的体积为 故答案为 【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图 之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是圆锥的 体积.三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是新课 标的新增内容,在以后的高考中有加强的可能.   14.【答案】 【 ,故圆锥的高为 =

8 9







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【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较 复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时, ( x, y ) 可以看成是有序的,如 ?1, 2 ? 与 ? 2,1? 不同;有 时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多” 、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P ( A) ? 1 ? P ( A) 求解较好. 15.【答案】①② 【解析】 试题分析:子集的个数是 2 ,故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③ f ? x ? ? 4 x ? 1 为偶函数,故错误.
n

2

对于④ x ? 0 没有对应,故不是映射.对于⑤减区间要分成两段,故错误. 考点:子集,函数的奇偶性与单调性. 【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定,一个个元素的集合,它的子集的个数是 2 个;对于 奇函数来说,如果在 x ? 0 处有定义,那么一定有 f ? 0 ? ? 0 ,偶函数没有这个性质;函数的奇偶性判断主要 根据定义 f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合 A 中任意一个 元素在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应;函数的定义域和单调区间要区分清楚,不要随意写并集.1 16.【答案】 70 . 【解析】解:根据题意二项式 则 n=8, 所以二项式 Tr+1=(﹣1)rC8rx8﹣2r 令 8﹣2r=0 得 r=4 则其常数项为 C84=70 故答案为 70. 【点评】本题考查二项式定理的应用,涉及二项式系数的性质,要注意系数与二项式系数的区别.   17.【答案】 10 cm 【解析】解:作出圆柱的侧面展开图如图所示,设 A 关于茶杯口的对称点为 A′,
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n

展开式中,仅有第五项的二项式系数最大,

=

展开式的通项为

则 A′A=4cm,BC=6cm,∴A′C=8cm, ∴A′B= 故答案为:10. =10cm.

【点评】本题考查了曲面的最短距离问题,通常转化为平面图形来解决.   18.【答案】②④ 【解析】 试题分析:对于①中,由正弦定理可知 a sin A ? b sin B ,推出 A ? B 或 A ? B ?

?

2 形或直角三角形,所以不正确;对于②中, a sin B ? b sin A ,即 sin A sin B ? sin B sin A 恒成立,所以是正
确的;对于③中, a cos B ? b cos A ,可得 sin( B ? A) ? 0 ,不满足一般三角形,所以不正确;对于④中,由 正弦定理以及合分比定理可知

,所以三角形为等腰三角

a b?c ? 是正确,故选选②④.1 sin A sin B ? sin C

考点:正弦定理;三角恒等变换.

三、解答题
19.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)在△BCE 中,BC⊥CF,BC=AD= ∴DC⊥EF,又 DC 与 EC 相交于 C,∴EF⊥平面 DCE 解:(Ⅱ) 方法一:过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H,连接 AH. 由平面 ABCD⊥平面 BEFC,平面 ABCD∩平面 BEFC=BC, AB⊥BC,得 AB⊥平面 BEFC,从而 AH⊥EF. 所以∠AHB 为二面角 A﹣EF﹣C 的平面角. 在 Rt△CEF 中,因为 EF=2,CF=4.EC= ∴∠CEF=90°,由 CE∥BH,得∠BHE=90°,又在 Rt△BHE 中,BE=3, ∴ ,BE=3,∴EC= , ∵在△FCE 中,CF2=EF2+CE2,∴EF⊥CE 由已知条件知,DC⊥平面 EFCB,

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由二面角 A﹣EF﹣C 的平面角∠AHB=60°,在 Rt△AHB 中,解得 所以当 时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°



方法二 : 如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C﹣xyz . 设 AB=a(a>0),则 C(0,0,0),A( 从而 设平面 AEF 的法向量为 则 ,即 ,由 , , ,0,a),B( , 得, ,取 x=1, ,0,0),E( ,3,0),F(0,4,0).

不妨设平面 EFCB 的法向量为 由条件,得 解得 .所以当

时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°.

【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,其中(I)的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直 与面面垂直的之间的相互转化,(II)的关键是建立空间坐标系,将二面角问题,转化为向量的夹角问题.   20.【答案】 【解析】解:(1)f(x)= ? =2cos2x+ 令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ, sin2x= sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1,

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解得﹣

+kπ≤x≤

+kπ, +kπ, +kπ],

函数 y=f(x)的单调递增区间是[﹣ (Ⅱ)∵f(A)=2 ∴2sin(2A+ )+1=2,即 sin(2A+ .…

)=

….

又∵0<A<π,∴A= ∵a= ,

由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=7 ∵sinB=2sinC∴b=2c ②… 由①②得 c2= .… ∴S△ABC=   21.【答案】 .…

①…

【解析】解:(Ⅰ)由(0.006×3+0.01+0.054+x)×10=1,解得 x=0.018, 前三组的人数分别为:(0.006×2+0.01+0.018)×10×50=20,第四组为 0.054×10×50=27 人,故数学成绩的众数 落在第四组,故众数为 75 分. (Ⅱ)分数在[40,50)、[90,100]的人数分别是 3 人,共 6 人, ∴这 2 人成绩均不低于 90 分的概率 P= = .

【点评】 本题考查频率分布直方图及古典概型的问题, 前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求 众数;后者往往和计数原理结合起来考查.   22.【答案】 【解析】解:依题意,由 M= 从而由 = 得 ═ 得|M|=1,故 M﹣1= =

故 A(2,﹣3)为所求. 【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换,考查学生的计算能力,比较基础.   23.【答案】 ?ABC 为等边三角形.

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【解析】 试题分析:由 sin A ? sin B sin C ,根据正弦定理得出 a ? bc ,在结合 2a ? b ? c ,可推理得到 a ? b ? c ,
2 2

即可可判定三角形的形状.

考点:正弦定理;三角形形状的判定. 24.【答案】 【解析】解:将圆的方程写成标准形式,得 x2+(y+7)2=25, 所以,圆心坐标是(0,﹣7),半径长 r=5.… 因为直线 l 被圆所截得的弦长是 所以,弦心距为 即圆心到所求直线 l 的距离为 .… , ,

因为直线 l 的斜率为 2,所以可设所求直线 l 的方程为 y=2x+b,即 2x﹣y+b=0. 所以圆心到直线 l 的距离为 因此, 解得 b=﹣2,或 b=﹣12.… 所以,所求直线 l 的方程为 y=2x﹣2,或 y=2x﹣12. 即 2x﹣y﹣2=0,或 2x﹣y﹣12=0.… 【点评】本题主要考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方 与弦长一半的平方的和的灵活运用.   ,…

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