二倍角公式教案新


名思教育-----我的成功不是偶然!

周洁 年 级: 高一 韩

同学个性化教学设计
教 师: 林勇 日 期: 12.21 科 目: 数 学 时 段: 18-20

班 主 任: 课题 重难点

二倍角公式
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 二倍角的理解及其灵活运用.

教学内容及知识点讲解
(一)回顾两角和(差)的正弦、余弦和正切公式,

cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

tan?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢?

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ?

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ;

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos 2 ? ) ? 2cos 2 ? ? 1 .

tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
二、例题讲解

tan ? ? tan ? 2 tan ? ? ? .注意: 2? ? ? k? ,? ? ? k? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 2 2

?k ? z?

例一、 (公式巩固性练习)求值: 1.2sin15?cos15? 2.2cos222.5?-1 3、 cos
2

?
8

? sin 2

?
8

2 tan 22.50 4、 1 ? tan2 22.50

5、 8 sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

海到无边天作岸,山高绝顶我为峰

1

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例二、已知 sin 2? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

七、归纳总结: 1、二倍角公式是和角公式的特例,体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样,反映的都是如何用单角的三角函数值表示复角(和、差、倍)的三角 函数值,结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问 题。

巩固练习

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2

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1、已知cos

?

4 ? ? ? ? ? , ? ?? ?12?, 求 sin , cos , tan 的值。 8 8 5 4 4 4

3 2、 已知sin(? ? ? ) ? , 求 cos 2?的值。 5

3、 2? ? ? sin ?, ? ? sin (

?
2

, ?), 求 tan?的值.

4、 化简 : 1 ? sin 48 0 ?

1 ? cos 48 0 2

课 1、学生是否按时上课? 堂 2、预期计划是否全部掌握? 反 3、上课是否配合? 馈 4、最近学习态度? 优秀

是 是 是 良好

否 否 否 一般 日期

学生签字:

班主任签字: ___________

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名思教育-----我的成功不是偶然! 1.Sin 15?-cos 15?的值为 2.sin ? = 3 ? ? 为第四象限角,则 sin 的值是 5 2

3. ? 为锐角,sin2 ? = a ,则 sin ? +cos ? 的值是 4.cos20?cos40?cos60?cos80?的值为 5.函数 y=sin2x-2cos2x 的最大值是 6.sin15?cos15?=________. 7.
sin 2? ? sin ? =__________. cos 2? ? cos? ? 1

8.sin ? ? cos 2?

( ? ? ( , ? ) ).则 tan ? =_______. 2
1 5

?

9.已知 sin? ? cos? ? 10.已知函数 f(x)=

? ? (0, ? ) 则 sin2 ? 的值是______.

1? x ? ,若 x ? ( , ? ) ,则 f(cosx)+f(-cosx)可化为__________________. 1? x 2

11.计算 sin50?(1+ 3 tan10?).

12.求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值,并求使 y 取最小值时 x 的集合

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4

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13. 求下列各式的值. (1)cos
π 5π cos ; 12 12

(2) (cos

π π π π -sin ) (cos +sin ) ; 12 12 12 12

(3) -cos2 8 ; 2

1

π

(4)- ? cos215°.

2 3

4 3

14. 已知 sin(

π π 1 π +α )sin( -α )= ,且α ∈( ,π ) ,求 sin4α 的值. 6 4 4 2

15.如下图,在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为θ ,沿 BE 方向前进 30 m 至点 C 处测 得顶端 A 的仰角为 2θ ,再继续前进 10 3 m 至 D 点处测得顶端仰角为 4θ ,求θ 的大小和建筑 物 AE 的高.
A

? B C

2 ? D

4 ? E

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名思教育-----我的成功不是偶然! 答案: 一、选择题: 1.D 2.C 3.B 二、填空题: 6:
1 4

4.A

5.C

7: tan?

8: ?

3 3

9: ?

24 25

10: 2csc ?

三、解答题: 11.解:原式= Sin50?(1+
3 sin 10 ? cos10 ? ? 3 sin 10 ? )=Sin50?( ) cos10 ? cos10 ?

=2sin50?

cos 50 ? sin 100 ? sin 80 ? cos10 ? = = = =1 cos10 ? cos10 ? cos10 ? cos10 ?

12:.解:由 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 得:y=2sinxcosx+2cos2x+1 =sin2x+cos2x +2 = 2(
2 2 sin 2 x ? cos 2 x) +2 2 2

= 2 sin(2 x ? 当 2x ?

?
4

) +2

?
4

=

3? ? 2k? 2

即 x=

5? ? ? k? 时, sin(2 x ? ) ? ?1 8 4

y=2- 2

所以当{ x | x ?

5? ? k? (k ? z ) }时,函数取得最小值,最小值为 2- 2 8 π 5π π π 1 π π 1 π 1 13.解: (1)cos cos =cos sin = ×2cos sin = sin = ;
12 12 12 12 2 12 12 2

6

4

3 π π π π π π π -sin ) (cos +sin )=cos2 -sin2 =cos = ; 2 12 12 12 12 12 12 6 π π 2 1 1 1 π (3) -cos2 8 =- (2cos2 8 -1)=- cos =- ; 4 2 2 2 4

(2) (cos

(4)- ? cos215°= (2cos215°-1)= cos30°= 14.解:因为( 所以 sin( 因为 sin(
π π π +α )+( -α )= , 4 4 2

2 3

4 3

2 3

2 3

3 . 3

π π -α )=cos( +α ). 4 4 π π 1 +α )sin( -α )= , 6 4 4 π π 1 +α )cos( +α )= , 4 4 3

所以 2sin( 即 sin(

π 1 1 +2α )= .所以 cos2α = . 2 3 3

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6

名思教育-----我的成功不是偶然! 又因为α ∈(
π ,π ) ,所以 2α ∈(π ,2π ). 2
2 2 . 3

所以 sin2α =- 1 ? cos2 2? ? ?

所以 sin4α =2sin2α cos2α =-

4 2 . 9

15.解:由已知,BC=30 m,CD=10 3 m. 在 Rt△ABE 中,BE=AEcotθ ; 在 Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ . ∴BC=BE-CE=AE(cotθ -cot2θ ). 同理可得 CD=CE-DE=AE(cot2θ -cot4θ ). 于是
BC AE(cot? ? cot 2? ) cot? ? cot 2? 30 ,即 = 3. ? ? CD AE(cot 2? ? cot 4? ) cot 2? ? cot 4? 10 3

cos? cos 2? sin ? ? cot? ? cot 2? sin ? sin 2? ? sin ? sin 2? ? sin 4? =2cos2θ = 3 , ? 而 sin 2? cot 2? ? cot 4? cos 2? ? cos 4? sin 2? sin 2? cos ?? sin 2? sin 4?

∴2cos2θ = 3 ? cos2θ = ∴θ =15°. ∴AE= AC= BC=15 m.
1 2 1 2

3 ? 2θ =30°. 2

于是θ =15°,建筑物高为 15 m

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练习题
一、选择题: 1、已知 A、 ?

? ? ? ? 2? ,且 cos? ?
2 3
B、

1 ? ,则 sin ? 9 2
C、

2 3

5 3

D、 ?

5 3

1 ? , ? ? 4? ? ,则 tan ? ? 5 4 120 120 1 A、 B、 ? C、 119 119 239 sin x 3、函数 f ( x) ? 的值域为: x ? cos( ? ) 2 4
2、已知 tan? ?

D、 ?

1 239

A、 (? 2 , 2 ) B、 (?2,2) C、[? 2 , 2 ] D、[?2,2] 4、若 tan

?
2

?

A、3

1 sin ? ,则 = ? 3 1 ? cos 2 1 B、 3

C、–3

D、–

1 3

5、已知 f ( x) ? 1 ? x ,化简: f (sin 2) ? f (? sin 2) ? A、 2 cos1 B、 2 sin1 C、- 2 cos1 D、- 2 sin1 二、填空题: 6、在 RT?ABC 中,斜边 AB 的长为 2,则?ABC 的面积的最大值为



12 ? 7、已知 cos( ? ? ) ? ,且 ? ? 是第一象限角。则 4 13 4
8、不用计算器求值: sin10? cos 20? cos 40? cos60? ?
2 2

?

sin( ? 2? ) 2 的值为 sin( ? ? ) 4


?

?



9、已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin x cos x ? cos x , x ? R 。则 f (x) 的最小正周期为 调增区间为 三、解答题: 10、用 sin ? 表示 sin 3? 。 。

;单

11、化简:

sin 2? cos? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos?

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8

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12、在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大?

13、已知向量 a=( 2 cos , tan( ?

x 2

x 2

?

x ? x ? ) ) , b=( 2 sin( ? ), tan( ? ) ),令 f (x) = a ? b,求函数 f (x) 的最 4 2 4 2 4

大值和最小正周期,并写出 f (x) 在[0, ? ]上的单调区间。

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参考答案
一、选择题: 1、已知 A、 ?

? ? ? ? 2? ,且 cos? ?
2 3
B、

1 ? ,则 sin ? (B) 9 2
C、

2 3

5 3

D、 ?

5 3

注:考查二倍角公式的变形,选自湖南版课本 P135,11 2、已知 tan? ? A、

120 119

1 ? , ? ? 4? ? ,则 tan ? ? (D) 5 4 120 1 1 B、 ? C、 D、 ? 119 239 239

注:考查二倍角公式的变形,选自湖南版课本 P133,11 3、函数 f ( x) ?

cos x 的值域为: (B) x ? cos( ? ) 2 4

A、 (? 2 , 2 ) B、 (?2,2) C、[? 2 , 2 ] D、[?2,2] 注:考查二倍角公式的变形,诱导公式 4、若 tan A、3

?
2

?

1 sin ? ,则 = 3 1 ? cos? 1 B、 3

(B) C、–3 D、–

1 3

注:考查二倍角公式的变形,选自湖南版课本 P153,11 5、已知 f ( x) ? 1 ? x ,化简: f (sin 2) ? f (? sin 2) ? (A)

A、 2 cos1 B、 2 sin1 C、- 2 cos1 D、- 2 sin1 注:考查二倍角公式的变形,改编自课本 P110,5 二、填空题: 6、在 RT?ABC 中,斜边 AB 的长为 2,则?ABC 的面积的最大值为 1 式,选自湖南版课本 P153,11

。注:考查二倍角公

sin( ? 2? ) ? 12 ? 2 7、已知 cos( ? ? ) ? ,且 ? ? 是第一象限角。则 的值为 ? 4 13 4 sin( ? ? ) 4
注:考查二倍角公式,选自湖南版课本 P151,11 8、不用计算器求值: sin10? cos 20? cos 40? cos60? ? 注:考查二倍角公式,选自课本 P111, 9

?

10 。 13

1 16



9、已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin x cos x ? cos x , x ? R 。则 f (x) 的最小正周期为
2 2

?



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单调增区间为 [ k? ?

?
8

, k? ?

3? ], k ? Z 。 8

注:考查二倍角公式,选自课本 P117、13 三、解答题: 10、用 sin ? 表示 sin 3? 。 P111、7 解: sin 3? ? sin(2? ? ? ) ? 3 sin ? ? 4 sin ?
3

注:考查二倍角公式的应用,选自课本 P111、7 11、化简:

sin 2? cos? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos?

2 sin ? cos? cos? 解:原式= ? ? 2 2 cos ? 2 ? 2 cos 2

2 sin

2 ? tan ? ? 2 2 cos2 2 2

?

cos

?

注:考查二倍角公式,选自课本 P117、4 12、在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大? 注:考查二倍角,选自课本 P109 例 5 ,答案略 13、已知向量 a=( 2 cos , tan( ?

x 2

x 2

?

x ? x ? ) ) , b=( 2 sin( ? ), tan( ? ) ),令 f (x) = a ? b,求函数 4 2 4 2 4

f (x) 的最大值和最小正周期,并写出 f (x) 在[0, ? ]上的单调区间。
解: f (x) ? a ? b= 2 sin(x ? 减。 注:考查二倍角公式的变形

?
4

) ,最大值为 2 ,最小正周期 2 ? ;在[0,

? ? ]单调增,在[ , ? ]单调 4 4

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