四川省宜宾市高2018届高三(上)半期数学(理科)测试题(word版,含答案)


宜宾市高 2015 级高三(上)半期测试题

数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有四个选项,只有一个 是正确的. (1)已知集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x}, 则 A ? B ? (A) [2, ??) (B) [3, 4) (C) [3, 4] (D) [3, ??)

(a ? ? b) ? a 时,实数 ? 的值为 (2)已知向量 a ? (0,1), b ? (?1, ?1) ,当
(A) 1 (B) ?1 (C) 2 (D) ?2

(3)已知命题 p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1 ,则 (A) ?p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1 (C) ?p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1 (B) ?p : ?x ? R, sin x ? 1 (D) ?p : ?x ? R, sin x ? 1

(4)下列函数既是奇函数又在 (0, ??) 上单调递减的是 (A) f ( x) ? x4 (B) f ( x) ? x ? 1 x (C) f ( x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) (D) f ( x) ? x3

(5)等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a5a6 ? 4 ,则 log2 a1 ? log2 a2 ? ??? ? log2 a10 ? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

(6)对于任意实数 a, b, c, d , 以下四个命题: (1)若a ? b, c ? d , 则a ? c ? b ? d ;

1 1 (2)若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; (3)若a ? b, 则 ? ; (4)若a ? b, c ? d , 则ac ? bd . a b
其中正确的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(7)已知向量 m ? (1, ?a), n ? (1, b ? 1) 共线,其中 a, b ? 0, 则 (A) 3 (B) 4 (C) 8

1 2 ? 的最小值为 a b
(D) 3+2 2

(8)已知 ?ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,若 G 为

???? ??? ? ?ABC 的重心,则 AG ? BC ? 错误!未找到引用源。
(A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2

?y ? x ? (9)若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? ?1 ?
(A) ?3 (B) ?4 (C)

3 2

(D) 3

b, C 的对边, (10) 在 ?ABC 中, 且 cos2B ? 3 cos(A ? C ) ? 2 ? 0 , a, c 分别是角 A ,B ,

b = 3 , 那么 ?ABC 周长的最大值是
(A) 3 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 4 3

( 11 ) 数 列 {an } 为 递 增 的 等 差 数 列 , a1 ? f ( x ? 1), a2 ? 0, a3 ? f ( x ?1), 其 中

{an } 的通项公式为 f ( x)? 2x ? 4 x? 则数列 2,
(A) an ? n ? 2 (B) an ? 2n ? 4 (C)

an ? 3n ? 6

(D) an ? 4n ? 8

(12)设函数 f ( x) ? 3x 2 ? 4ax ( a ? 0) 与 g ( x) ? 2a 2 ln x ? b 有公共点,且在公共点处的 切线方程相同,则实数 b 的最大值为 (A)

1 e2

(B)

1 2e 2

(C)

1 3e 2

(D)

1 4e 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) ? (2 x ? 1)dx ? ________.
0 1

(14)函数 y ?

4? x + lg( x ? 2) 的定义域为_________. | x | ?3

(15)已知 ? 为锐角,且 sin ? ( 3 ? tan10?) ? 1, 则 ? ? _________. ( 16)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x ? sin x( x ? R), 若函数 y ? f ( x2 ? 2) ? f (?2x ? m) 只有一 3 4 个零点,则函数 g ( x) ? mx ? ( x ? 1) 的最小值是_________. x ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,不能答在 试卷上,请答在答题卡相应的方框内. (17) (本小题满分 10 分) 若函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 3.

(I)求 y ? f ( x) 的最小正周期; (II)求 y ? f ( x) 在 x ? R 时的最小值,并求相应的 x 取值集合.

(18) (本小题满分 12 分) 已知在等差数列 {an } 中, Sn 为其前 n 项和, a2 ? 2 , S5 ? 15 ;等比数列 {bn } 的前 n 项和

Tn ? 2n ?1.
(I)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (II)设 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Cn .

(19) (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2b cos C ? 2a ? c. (I)求 B ; (II)若 b ? 7, c ? 2, 求 ?ABC 的面积.

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 的图象经过点 M (1, 4) ,且在 x ? ?2 取得极值. (I)求实数 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (m, m ? 1) 上不单调,求 m 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (I)证明数列 { (II)求证:

2n ? 1 an (n ? N * ). 2n ? 1

an } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; 2n ? 1

1 1 1 1 ? ? ???+ ? . a1a2 a2 a3 an an?1 2

(22)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? x ? (I)求 a 的取值范围; (II)求证: x1 ? x2 ? 2e.

1 2 ax (a ? R) , 在定义域内有两个不同的极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ). 2

宜宾市高 2015 级高三(上)半期测试题 数学(理工类)参考答案
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分意见制 订相应的评分细则.

二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 D 6 B 7 D 8 C 9 A 10 C 11 B 12 A

二、填空题

13.2

14.{x | 2 ? x ? 4, 且x ? 3}

15.40?

16.5

三、解答题 17. 解:(I)? f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 3 ? 2sin(2 x ? 分 .

?
6

)?4

……………………4

?T ? ?
(II)? f ( x) ? 2sin(2 x ? 分

……………………………5 分

?
6

) ? 4,? f ( x) min ? 2,

……………………………6

此时, 2 x ?


?
6

??

?
2

? 2 k? ( k ? Z )

. ……………… 8

?x ? ?
10 分

?
3

? k? (k ? Z ), 即x的取值集合为{x | x ? ?

?
3

? k? , k ? Z }. ………………………

18. 解:(I)设等差数列 {an } 的首项为 a1 , 公差为 d ,

?a1 ? d ? 2 ? a1 ? d ? 1? an ? n ? ?5a1 ? 10d ? 15
…3 分

……………………

n ? 1时, b1 ? T1 ? 1, n ? 2时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 2n?1,
且 b1 满足上式, bn ? 2n?1. (II) cn ? an ? bn ? n ? 2n?1 ………………………6 分 ………………………8 分

Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ??? ? (n ? 1) ? 2n ? 2 ? n ? 2n ?1 2Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n ??Tn ? 1 ? 21 ? ??? ? 2n ?1 ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 Tn ? (n ? 1)2n ? 1
……………………… 12 分 19.解:(I)由已知以及正弦定理可得 2sin B cos C ? 2sin A ? sin C ? 2sin( B ? C ) ? sin C

? 2sin B cos C ? 2 cos B sin C ? sin C
? 2 cos B sin C ? sin C ? 0
分 ………………………4

?0 ? C ? ? ? s i C n? ? 0,


1 ? c Bo ?s 且 ? B0 ? ? ?B ? , 2 3

.

……………………… 6

(II)由(I)以及余弦定理可得 7 ? a ? 4 ? 2a
2

. ……………… 8



?a2 ? 2a ? 3 ? 0, 解得a ? 3或a ? ?1(舍去),
10 分

………………

1 1 3 3 3 . ? S?ABC ? acsinB ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 2 2
12 分
20.解:(1)? f ( x) ? ax ? bx 的图象经过点 M (1, 4) ,
3 2

………………

?a ? b ? 4



………………………2 分

又 f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx , 则 f (?2) ? 0, 即 ?6a ? 2b ? 0 ②
'

…………………………………………………………4 分 ………………………………………………………… 6 分

由①②解得 a ? 1, b ? 3;
3 2

(2)由 得: f ( x) ? x ? 3x , f ( x) ? 3x ? 6 x ( 1)
' 2

令 f ( x) ? 3x ? 6x ? 0, 得:x ? ?2或x ? 0,
' 2

…………………………………………7 分

当 x ? (??, ?2)或(0, ? ?)时,f ' ( x) ? 0, f ( x)是增函数,

当 x ? (?2,0)时,f ' ( x) ? 0, f ( x)是减函数。 ……………………………………………9 分 ∵函数 f ( x ) 在区间 (m, m ? 1) 上不单调

? m ? ?2 ? m ? 1或m ? 0 ? m ? 1或m ? ?2 ? 0 ? m ? 1, ………………………………11 分
解得: ? 3 ? m ? ?2或 ? 1 ? m ? 0.
21. 解:(I)由题设知 等比数列, ……………………………………………………12 分

an ?1 a a a ? n , 且 1 ? 1 ? 0 ?数列 { n } 是首项为 1 ,公比为1 的 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1
……………… 6

?


an ? 1?1n ?1 ? 1? an ? 2n ? 1; 2n ? 1

(II)?

1 1 1 1 1 = ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ???+ = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] a1a2 a2 a3 an an ?1 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? (1 ? )? ? ? . 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2
……………… 12 分 22. 解: (I)令 g ( x) ? f ?( x) ? ln x ? ax, 由题意可 知, g ( x) ? 0在(0, ??)上有两个不同根x1, x2 , 且x1 ? x2 ,

? g ?( x) ?
…3 分

1 1 ? ax ?a ? ?当a ? 0时,g ?( x) ? 0, y ? g ( x)在(0, ??)上单增,不合题意, x x 1 1 1 ? y ? g ( x)在(0, )上单增, ( , ??)单减, a a a

当 a ? 0时,令g ?( x) ? 0 ? x ?

1 1 x ? 0时, g ( x) ? ??, x ? ??时, g ( x) ? ??,? g ( x) max ? g ( ) ? ? ln a ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? , a e 1 ? a的取值范围为(0, ). e
………………………………………………………… 6 分 (II)由题意及(I)可知,即证 x1 ? x2 ?

2 , a

?ln x ? ax1 ln x2 ? ln x1 2( x2 ? x1 ) ?? 1 ?a ? ?即证x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ? 0), x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 ?ln x2 ? ax2 2( x2 ? x1 ) 即证 ln x2 ? ln x1 ? ( x2 ? x1 ? 0) x2 ? x1
…………………………………………………… 8 分

2( x ? 1) 1 4 ( x ? 1) 2 ( x ? 1), 则h?( x) ? ? ? ? 0, x ?1 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 2( x ? 1) 2( x ? 1) ? h( x) ? ln x ? 在(1, ??)上单增? h( x) ? h(1) ? 0,? ln x ? ( x ? 1), x ?1 x ?1 设h( x) ? ln x ?
令x ? x2 ? 1, 则原不等式成立. x1
……………………………… ………… 12 分


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