多元函数求导练习题


求函数 f ( x, y) ? x2 ? 2 y2 ? x2 y2在区域 D ? 小值.

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 4, y ? 0? 上的最大值和最

【分析】本题求二元函数在闭区域的最值. 先求出函数在区域内的驻点,然后比较驻点的函 数值和边界上的极值,则最大者为最大值,最小者为最小值. 【详解】 (1)求函数 f ( x, y) ? x2 ? 2 y 2 ? x 2 y 2 的驻点.

因为 ?

? f ? ? 2 x ? 2 xy 2 ? 0 ? ? x ?x ? ? 2 ? ?x ? ? 2 ?x ? 0 ,? ,? ,所以 ? , 2 y ? 0 ? y ? 1 y ? ? 1 ? ? ? f ? 4 y ? 2 x y ? 0 ? ? ? ? y

所以函数在区域 D ?

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 4, y ? 0? 内的驻点为

?

2,1 , ? 2,1 和

? ?

?

? 0, 0 ? .
(2)求函数在边界线上的极值. 作拉格朗日函数如下

L( x, y) ? x2 ? 2 y 2 ? x2 y 2 ? ? ( x2 ? y 2 ? 4) ,


??L 2 ? ?x ? 2 x ? 2 xy ? 2? x ? 0 ? ? x ? ? 3 ? x ? 0 ? x ? ?2 ? ? ?L 2 ,? ,? . ? ? 4 y ? 2 x y ? 2? y ? 0 ,解之得 ? ? y ? ?1 ? y ? ?2 ? y ? 0 ? ? ?y ? ?L 2 2 ? ? x ? y ?4?0 ? ??
于是条件驻点为

?

3,1 , ? 3,1 , ? 0, 2 ? , ? ?2,0? .

? ?

?

而 f ? 2,1 ? 2 , f ? 3,1 ? 2 , f ? 0,0? ? 0 , f ? 0,2? ? 8 , f ? ?2,0? ? 4 . 比较以上函数值,可得函数在区域 D ? 最小值为 0.

?

?

?

?

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 4, y ? 0? 上的最大值为 8,

(2006)设 f ( x, y)与? ( x, y) 均为可微函数,且 ? y? ( x, y ) ? 0 ,已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y) 在约束 条件 ? ( x, y) ? 0 下的一个极值点,下列选项正确的是 (A) 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . (B) 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . (C) (D) 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . [ ]

【分析】 利用拉格朗日函数 F ( x, y, ? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y) 在 ( x0 , y0 , ?0 )( ?0 是对应

x0 , y0 的参数 ? 的值)取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数 F ( x, y, ? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y) , 并记对应 x0 , y0 的参数 ? 的 值为 ?0 ,则

?F ? ( x , y ? ? f ?(x , y ) ? ? ? ?(x , y ) ? 0 ) 0 ? x 0 0 , 0? ? x 0 0 0 x 0 0 , 即? ? ? 0, y ? ? , 0? ) 0 ? ? 0 ? ? Fy ( x ? f y ( x0 , y0 ) ? ?0? y ( x0 , y0 ) ? 0
消去 ?0 ,得

.

f x? ( x0 , y0 )? y? ( x0 , y0 ) ? f y? ( x0 , y0 )? x? ( x0 , y0 ) ? 0 ,
整理得

f x? ( x0 , y0 ) ?

1

? y? ( x0 , y0 )

, f y? ( x0 , y0 )? x? ( x0 , y0 ) .(因为 ? y? ( x, y ) ? 0 )

若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 .故选(D).

(2004)
2 2 2 设 z=z(x,y)是由 x ? 6 xy ? 10y ? 2 yz ? z ? 18 ? 0 确定的函数,求 z ? z ( x, y ) 的极

值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定 极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值. 【详解】 因为 x ? 6 xy ? 10y ? 2 yz ? z ? 18 ? 0 ,所以
2 2 2

2x ? 6 y ? 2 y

?z ?z ? 2z ? 0, ?x ?x

? 6 x ? 20y ? 2 z ? 2 y
? ?z ? 0, ? ? ?x ? ?z ?0 ? ? ? ?y

?z ?z ? 2z ?0. ?y ?y



得 ?

x ? 3 y ? 0, ? ?? 3x ? 10y ? z ? 0,



? x ? 3 y, ? ? z ? y.
将上式代入 x 2 ? 6 xy ? 10y 2 ? 2 yz ? z 2 ? 18 ? 0 ,可得

? x ? 9, ? ? y ? 3, ?z ?3 ?
由于



? x ? ? 9, ? ? y ? ?3, ? z ? ?3. ?

?2z ?z 2 ?2z 2 ? 2 y 2 ? 2( ) ? 2 z 2 ? 0 , ?x ?x ?x

?6?2

?z ?2z ?z ?z ?2z ? 2y ? 2 ? ? 2z ? 0, ?x ?x?y ?y ?x ?x?y

?z ?z ?2 z ?z 2 ?2 z 20 ? 2 ? 2 ? 2 y 2 ? 2( ) ? 2 z 2 ? 0 , ?y ?y ?y ?y ?y
所以

A?
2

?2z ?x 2

( 9 , 3, 3 )

?

1 ?2 z ,B ? 6 ?x?y

1 ?2z ? ? ,C ? 2 ( 9, 3, 3) 2 ?y

( 9, 3, 3)

?

5 , 3

故 AC ? B ?

1 1 ? 0 ,又 A ? ? 0 ,从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点,极小值为 z(9,3)=3. 36 6

类似地,由

?2z A? 2 ?x
可知 AC ? B ?
2

1 ?2z ? ? ,B ? ( ?9, ?3, ?3) 6 ?x?y

1 ?2 z ? ,C ? 2 ( ?9, ?3, ?3) 2 ?y

( ?9, ?3, ?3)

5 ?? , 3

1 1 ? 0 ,又 A ? ? ? 0 ,从而点(-9, -3)是 z(x,y)的极大值点,极大值为 36 6

z(-9, -3)= -3.

(2005)设有三元方程 xy ? z ln y ? e xz ? 1 ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一 个邻域,在此邻域内该方程 (A) (B) (C) (D) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y). 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z).

[

]

【分析】 本题考查隐函数存在定理,只需令 F(x,y,z)= xy ? z ln y ? e xz ? 1 , 分别求出 三个偏导数 Fz , Fx , Fy ,再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为 0,则可确定相应的隐函数. 【详解】 令 F(x,y,z)= xy ? z ln y ? e xz ? 1 , 则

Fx? ? y ? e xz z , Fy? ? x ?


z , Fz? ? ? ln y ? e xz x , y

Fx?(0,1,1) ? 2 , Fy? (0,1,1) ? ?1 , Fz?(0,1,1) ? 0 . 由此可确定相应的隐函数 x=x(y,z)和

y=y(x,z). 故应选(D).


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