江苏省连云港市新海中学2010届高三上学期第一学段测试试题——数学理科


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江苏省新海高级中学 2010 届高三年级第一次阶段检测

数学试卷

2009、10

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答.题.卡.相.应.的.位.

置.上.)

1.已知全集 U=Z,A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则 A CUB=_____ _____。

2.命题 p: ? x∈R,2x2+1>0 的否定是____________。

3.已知函数 f(x) = mx -2 在区间(1, 3)上存在零点,则实数 m 的取值范围是



4.若

f(x)=

?e x ??lnx

x≤0 x>0

,则

f(f(1 2

))=__________。

5.若曲线 y=h(x)在点 P(a, h(a))处的切线方程为 2x+y+1=0,则 h ' (a) 与 0 的大小关系

是 h' (a)

0。

6.若函数 y ? f (x) 的值域是[1,3] ,则函数 F(x) ? 1? 2 f (x ? 3) 的值域是



7.设函数 f (x) ? sin( 3x ? ?)(0 ? ? ? ? ) ,如果 f (x) ? f ?(x) 为奇函数,则? =



8.已知 y=loga(3-ax)在[0,2]上是 x 的减函数,则实数 a 的取值范围为__________。

9.定义

M

n x

=x(x+1)(x+2)…(x+n-1),其中

x∈R,n∈N*,例如

M

4 -4

=(-4)(-3)(-2)(-1)=24,则函



f(x)=

M

2009 x ?1004

的奇偶性为__________。

10.已知可导函数 f (x) 的导函数为 f ?(x) ,且满足 f (x) ? 3x2 ? 2xf ?(2) ,则 f ?(5) ?



11.已知 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? f (2 8) 的值等于__ ____。 12.函数 f (x) 是 R 上的单调函数且对任意的实数都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ?1,

f (4) ? 5, 则不等式 f (3m2 ? m ? 2) ? 3 的解集为



13.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数

f(x)=kx+k+1

(k∈R 且 k≠1)有 4 个零点,则 k 的取值范围是____________。

14.若不等式 2x ?1 ? m(x2 ?1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围



二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答.题.卡.指.定.区.域.内.作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)
已知命题 p:指数函数 f(x)=(2a-6)x在 R 上单调递减,命题 q:关于 x 的方程 x2-3ax+2a2+1=0

的两个实根均大于 3.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 2 与 x ?1 时都取得极值 3
(1)求 a, b 的值与函数 f (x) 的单调区间
(2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f (x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

17.(本小题满分 15 分)
已知函数 f (x) ? l o ga (x ? 1)(a ? 1),若函数 y ? g(x) 的图象与函数 y ? f (x) 的图象关
于原点对称.
(1)写出函数 g(x) 的解析式; (2)求不等式 2 f (x) ? g(x) ? 0的解集 A ; (3)问是否存在 m? R? ,使不等式 f (x) ? 2g(x) ? loga m 的解集恰好是 A ?若存在,请
求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

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18.(本小题满分 15 分) 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产千件需另投入 2.7 万元,设 该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,



R(

x)

?

???10.8 ??108 ?? x

? ?

1x 30 1000 3x 2

2 (0 (x

?x? ? 10)

10)



(1)写出年利润 W(万元)关于年产品 x(千件)的函数解析式;

(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

(注:年利润=年销售收入-年总成本)

19.(本小题满分 16 分)

已知函数 f (x) ? ?????????xx???21x,1x,x,x?x??[?[?[1122, 1,2,?2)1]) (I)求 f (x) 的值域;

(II)设函数 g(x) ? ax ? 2, x ?[?2,2] ,若对于任意 x1 ?[?2,2], 总存在 x0 ?[?2,2] , 使得 g(x0 ) ? f (x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
20.(本小题满分 16 分)

已知二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c 。

(1)若 a ? b ? c,且f (1) ? 0, 是否存在 m ? R,使得f (m) ? ?a成立时, f (m ? 3) 为正

数 ,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由;

(2)若对 x1, x2

? R,且x1

?

x2 ,

f (x1) ?

f (x2 ),方程f (x) ?

1 2

[

f

(

x1

)

?

f (x2 )]有

2



不等实根,证明必有一个根属于 (x1, x2 ). (3)若 f (0) ? 0 ,是否存在 b 的值使{x | f (x) ? x}={x | f [ f (x)] ? x}成立,若存在,

求出 b 的取值范围,若不存在,说明理由。

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2010 届高三第一次阶段检测数学试卷参考答案 09、10

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

1、{-1,2} 2、 ? x∈R,2x2+1≤0 3、 2 ? m ? 2 4、 1

3

2

5、 < 6、[?5,?1]

7、 2? 8、(1, 3 ) 9、奇函数 10、6 11、2008 12、(-1, 4 ) 13、( ? 1 , 0 )

3

2

3

3

14、(

7 ?1
,

3 ?1 )

2

2

二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分)

15.(本小题满分 14 分)

解:若 p 真,则 y=(2a-6)x 在 R 上单调递减,∴0<2a-6<1, ∴3<a< 7 …………2 分 2

?Δ ? ( ? 3a)2 ? 4(2a2 ?1) ? 0



q

真,令

? f(x)=x2-3ax+2a2+1,则应满足 ???
?

?3a 2

?

3

, ……5 分

??f(3) ? 9 ? 9a ? 2a2 ?1 ? 0

?

?a ? 2或a ? ?2



? ?a

?

2

? ?a

?

2或a

?

5

,故 a> 5 ,……………………………………………………7 分 2

?

2

又由题意应有 p 真 q 假或 p 假 q 真.

(i)若

p



q

假,则

???3 ? ???a

? ?

a?
5 2

7 2

,a

无解.………………………………………10



(ii)若

p



q

真,则

???a ? ???a

? ?

3或a
5 2

?

7 2

,∴

5 2

<a≤3



a≥

7 2

.…………………13



故 a 的取值范围是{a| 5 <a≤3 或 a≥ 7 }.………………………………………14

2

2



16.(本小题满分 14 分)解:(1) f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' (x) ? 3x2 ? 2ax ? b

由 f ' (? 2) ? 12 ? 4 a ? b ? 0 , f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? 1 ,b ? ?2

3 93

2

f ' (x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)(x ?1) ,函数 f (x) 的单调区间如下表:

x (??, ? 2) ? 2 (? 2 ,1)

3

3

3

f '(x)

?

0

?

1 (1, ??)

0

?

f (x)

? 极大值

? 极小值

?

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所以函数 f (x) 的递增区间是 (??, ? 2) 与 (1, ??) ,递减区间是 (? 2 ,1) ;

3

3

(2) f (x) ? x3 ? 1 x2 ? 2x ? c, x ?[?1, 2] ,当 x ? ? 2 时, f (? 2) ? 22 ? c 为极大值,

2

3

3 27

而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f (x) ? c2, x ?[?1, 2] 恒成立,

则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1,或c ? 2 。
17.(本小题满分 15 分)
解:(1)设 P(x, y) 为 y ? g(x) 图象上任意一点, 则 P 关于原点的对称点 Q(?x, ? y) 在 y ? f (x) 的图象上,

所以 ? y ? loga (?x ?1) ,即 g(x) ? ? loga (1? x)

(2)由

?x ?1 ??1? x

? ?

0 0

?

?1

?

x ? 1,原不等式可化为 loga

(1? x)2 1? x

?0

∵a ?1

∴ (1? x)2 ? 1,且 ?1? x ?1 ? 0 ? x ?1 即 A ? [0,1) 1? x

(3)假设存在 m? R? 使命题成立,则

由 f (x) ? 2g(x) ? loga m ,得 l o ga (?1x ?) la omg ?[ x (21 ) ]



a ?1

,∴不等式组

??1 ? x ? 1 ??m(1? x)2 ? 1? x

的解集恰为

A ? [0,1)

,只需不等式

1? x ? m(1? x)2 ,即 mx2 ? (2m ?1)x ? m ?1 ? 0 的解集为 A ? [0,b) ,且 b ?1,

易得 m ? 1即为所求, 故存在实数 m ? 1使命题成立。
18. (本小题满分 15 分)

解:(1)当 0<x≤10 时,W ? xR(x) ? (10 ? 2.7x) ? 8.1x ? x3 ?10 30
当 x >10 时,W ? xR(x) ? (10 ? 2.7x) ? 98 ? 1000 ? 2.7x 3x

?

x3

?W

?

??8.1x ?

?

30

? 10

0 ? x ? 10

???98

?

1000 3x

?

2.7

x

x ? 10

……………5 分

(2)①当 0<x≤10 时,由W ? ? 8.1 ? x2 ? 0得x ? 9.且当x ? (0,9)时,W ? ? 0; 10
当 x ? (9,10)时,W ? ? 0;

∴当

x=9

时,W

取最大值,且Wmax

?

8.1?

9

?

1 30

? 93

? 10

?

38.6

……………10 分

②当 x>10 时,W=98 ? ??1000 ? 2.7x?? ? 98 ? 2 1000 ? 2.7x ? 38

? 3x

?

3x

当且仅当 1000 3x

?

2.7x,即x

?

100 9

时,Wmax

?

38.

综合①、②知 x=9 时,W 取最大值.

所以当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装生产中获利最大. ……………15 分

19.(本小题满分 16 分)
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解:(I)当 x ?[?2,?1) 时, f (x) ? x ? 1 在[?2,?1) 上是增函数,此时 f (x) ?[? 5 ?1)

x

2

当 x ?[?1, 1) 时, f (x) ? ?2 , 当 x ?[1 ,2]时, f (x) ? x ? 1 在[ 1 ,2] 上是增函数,

2

2

x2

此时 f (x) ?[? 3 , 3] , ? f (x) 的值域为[? 5 ,?2] ? [? 3 , 3]

22

2

22



…………………6

(II)(1)若 a

?

0,

g(x)

?

?2, 对于任意

x1

?[?2,2] ,

f

(x1) ?[?

5 2

,?2] ? [?

3, 2

3], 2

不存在 x0 ?[?2,2] 使得 g(x0 ) ? f (x1 ) 成立
8分

……………………

20、(本小题满分 16 分)
解:(1)因为 f (1) ? a ? b ? c ? 0,且a ? b ? c,所以a ? 0且C ? 0,

∵ f (1) ? 0, ?1是f (x) ? 0的一个根,由韦达定理知另一根为c , a

? a ? 0且c ? 0,? c ? 0 ? 1,又a ? b ? c,b ? ?a ? c, ∴可得 ? 2 ? c ? ? 1 ,

a

a2

假设存在,由题意,则

a(m ? c )(m ?1) ? ?a ? 0? c ? m ? 1?m ? 3 ? c ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1.

a

a

a

因为 f (x)在(1,??)单调递增,? f (m ? 3) ? f (1) ? 0,

即 存在这样的 m使f (m ? 3) ? 0.

(2)令 g(x) ?

f

(

x)

?

1 2

[

f

(

x1

)

?

f (x2 )],则g(x)是二次函数.

? g(x1 ) ? g(x2 ) ? [ f (x1 ) ?

f (x1 ) ? 2

f (x2 )][ f (x2 ) ?

f (x1 ) ? 2

f (x2 )]

?

?1[ 4

f

(x1 ) ?

f

(x2 )]2

?

0



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? f (x1) ? f (x2 ), g(x1) ? g(x2 ) ? 0,? g(x) ? 0有两个不等实根 ,且方程g(x) ? 0 的根必有一个属于 (x1, x2 ).
(3)由 f (0) ? 0 得 c =0,∴ f (x) ? ax2 ? bx



f

(x)

?

x

,得方程

ax 2

?

(b

? 1) x

?

0

,解得:

x1 =0,

x2

=1?b a



又由 f [ f (x)] ? x}得: a[ f (x)]2 ? bf (x) ? x

∴ a[ f (x) ? x ? x]2 ? b[ f (x) ? x ? x] ? x

∴ a[ f (x) ? x]2 ? 2ax[ f (x) ? x] ? ax2 ? b[ f (x) ? x] ? bx ? x ? 0

∴[ f (x) ? x][af (x) ? ax ? 2ax ? b ?1] ? 0

即[ f (x) ? x][a2 x2 ? a(b ? 1)x ? b ? 1] ? 0
∴ f (x) ? x ? 0 或 a 2 x2 ? a(b ? 1)x ? b ? 1 ? 0 (*) 由题意(*)式的解为 0 或 1 ? b 或无解,
a 当(*)式的解为 0 时,可解得 b ? ?1,经检验符合题意; 当(*)式的解为 1 ? b 时,可解得 b ? 3 ,经检验符合题意;
a 当(*)式无解时, ? ? a 2 (b ? 1)2 ? 4a2 (b ? 1) ? 0 ,即 a 2 (b ? 1)(b ? 3) ? 0
∴?1? b ? 3 综上可知,当 ?1 ? b ? 3 时满足题意。

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