(智慧测评)高考数学大一轮总复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 理 新人教A版


(智慧测评) 2015 届高考数学大一轮总复习 第 3 篇 第 6 节 正弦定 理和余弦定理及其应用课时训练 理 新人教 A 版

一、选择题 1.(2014 广东湛江十校联考)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已 知 b=2,B=30°,C=15°,则 a 等于( A.2 2 C. 6- 2 ) B.2 3 D.4

解析:A=180°-30°-15°=135°,

a b a 2 由正弦定理 = ,得 = , sin A sin B 2 1 2 2
即 a=2 2.故选 A. 答案:A 2.(2014 安阳模拟)已知△ABC 的一个内角是 120°,三边长构成公差为 4 的等差数列, 则三角形的面积是( A.10 3 C.20 3 ) B.30 3 D.15 3

解析:设 A、B、C 所对边长分别为 b-4,b,b+4, 则 cos 120°= ∴b -10b=0, ∴b=10 或 b=0(舍去), ∴b=10,b-4=6, 1 3 ∴三角形的面积 S= ×10×6× =15 3.故选 D. 2 2 答案:D 3.在△ABC 中,若 lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等边三角形 sin A 解析:由条件得 =2, cos B·sin C 即 2cos Bsin C=sin A. B.等腰直角三角形 D.等腰三角形 )
2

b-

2

+b - b+ b- b

2

2



由正、余弦定理得,2·

a2+c2-b2 ·c=a, 2ac

整理得 c=b,故△ABC 为等腰三角形. 故选 D. 答案:D 4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列, 且 a=1,b= 3,则 S△ABC 等于( A. 2 C. 3 2 ) B. 3 D.2

解析:∵A、B、C 成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= 3, ∴ = , sin A sin B

a

b

∴sin A=

asin B 3 1 1 = × = , b 2 3 2

∴A=30°,∴C=90°. 1 3 ∴S△ABC= ×1× 3= .故选 C. 2 2 答案:C 5.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,

c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于(
A.10 C.8
2 2

)

B.9 D.5

解析:由题意知,23cos A+2cos A-1=0, 1 2 即 cos A= , 25 又因为△ABC 为锐角三角形, 1 所以 cos A= . 5 1 2 2 2 在△ABC 中,由余弦定理知 7 =b +6 -2b×6× , 5 12 2 即 b - b-13=0, 5

13 即 b=5 或 b=- (舍去), 5 故选 D. 答案:D 6.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高是 ( ) A. 400 米 3 B. 400 3 米 3

C.200 3米

D.200 米

解析:如图所示,AB 为山高,

CD 为塔高,
则由题意知,在 Rt△ABC 中, ∠BAC=30°,AB=200 米. 则 AC= = cos 30°

AB

400 3 (米). 3

在△ACD 中,∠CAD=60°-30°=30°,∠ACD=30°, ∴∠ADC=120°. 由正弦定理得 = , sin 30° sin 120° ∴CD=

CD

AC

ACsin 30° 400
sin 120° = 3

(米).

故选 A. 答案:A 二、填空题 1 7.(2012 年高考北京卷)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 解析:由已知根据余弦定理 b =a +c -2accos B 1 2 2 得 b =4+(7-b) -2×2×(7-b)×(- ), 4 即:15b-60=0,得 b=4. 答案:4
2 2 2

8.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且

a2-c2=ac-bc,则 A=________.
解析:由题意知 b =ac, ∵a -c =ac-bc, ∴a -c =b -bc, 即 b +c -a =bc,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 1 ∴cos A= = , 2bc 2
π ∴A= . 3 π 答案: 3 π 9.(2014 四川外国语学校月考)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,B= , 3 且 sin A∶sin C=3∶1,则 的值为________. 解析:sin A∶sin C=a∶c=3∶1, ∴a=3c. 由余弦定理 π a +c -b 1 cos = = , 3 2ac 2 10c -b 1 ∴ = , 2 6c 2 7c =b , ∴ 2=7, ∴ = 7. 答案: 7 10.在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a=(cos C,2a-c),b=(b, -cos B),且 a⊥b,则 B=______. 解析:由 a⊥b,得 a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,
2 2 2 2 2 2 2

b c

b2 c b c

1 π 因为 sin A≠0,故 cos B= ,因此 B= . 2 3 π 答案: 3 三、解答题 11.(2013 年高考北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值. (2)求 c 的值. 解:(1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 3 2 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 = . sin A sin 2A 2sin Acos A 2 6 所以 = , sin A 3 故 cos A= 6 . 3 6 3 2 ,所以 sin A= 1-cos A= . 3 3

(2)由(1)知 cos A= 又因为∠B=2∠A,

1 2 所以 cos B=2cos A-1= . 3 所以 sin B= 1-cos B= 在△ABC 中, 5 3 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 9 所以 c=
2

2 2 . 3

asin C =5. sin A

12.如图所示,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、

D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的
仰角分别为 75°, 30°, 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,

AC=0.1 km.
(1)试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求 B、D 的距离. 解:(1)如图所示,在△ADC 中, ∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°,

∴CD=AC=0.1 km, 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴∠CED=90°, ∴CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, ∴BD=BA. (2)在△ABC 中,∠ABC=75°-60°=15°, 由正弦定理得 = , sin∠BCA sin∠ABC 0.1·sin 60° 3 2+ 6 ∴AB= = (km), sin 15° 20 3 2+ 6 ∴BD= (km). 20 3 2+ 6 故 B、D 间的距离是 km. 20

AB

AC


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