高中数学第二章空间向量与立体几何章末小结知识整合与阶段检测课件北师大版选修2_1_图文


知 识 整 合 与 阶 段 检 测 核心要点 归纳 阶段质量 检测 一、空间向量的概念与运算 1.空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似,对基本 概念的理解要做到全面、准确、深入. 2.空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算,其中 加、减、数乘运算称为线性运算,结果仍为向量,加减算法可运 用平行四边形法则与三角形法则进行运算;数量积运算结果为实 数,运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题. 二、向量的坐标表示与运算和空间向量基本定理 1.选定空间不共面的向量作为基向量,并用它们表示出目标 向量,是空间向量基本定理的具体体现. 2.空间向量的坐标表示与运算是解决立体几何中的夹角、长 度、距离等问题的关键,要熟记公式. 三、空间向量与平行和垂直 利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法为: 1.线线平行: 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 2.线线垂直: 证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,利用 a⊥ b?a· b=0. 3.线面平行: 用向量证明线面平行的方法主要有: (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 (需说明直线不在平 面内); (2) 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量 (需说明直线不在平面内); (3)利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量把 直线的方向向量线性表示出来(需说明直线不在平面内). 4.线面垂直: 用向量证明线面垂直的方法主要有: (1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行; (2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直. 5.面面平行: (1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); (2)证明一个平面内的两个不共线向量与另一平面平行. 6.面面垂直: (1)证明两个平面的法向量互相垂直; (2)证明一个平面内某直线的方向向量是另一平面的法向量. 四、空间向量与空间角 a· b 1.求两异面直线的夹角可利用公式 cos〈a,b〉= ,但务 |a|· |b| 必注意两异面直线夹角 θ 范围是[0,π]. 故实质上应有 cos θ=|cos〈a,b〉|. ? π ? 的范围是?0,2 ?,而两向量之间的夹角的 ? ? 2.求线面角: 求直线与平面的夹角时,一种方法是先求出直线及此直线在平 面内的投影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面的夹角; 另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向 量的夹角 φ, 即可求出直线与平面的夹角 θ, 其关系是 sin θ=|cos φ|. 3.求两平面间的夹角: 利用空间直角坐标系求得两个平面的法向量 n1,n2,代入 cos n1 · n2 〈n1,n2〉= |n1||n2|. 当 cos〈n1,n2〉>0 时,两平面的夹角为〈n1,n2〉 , 当 cos〈n1,n2〉<0 时,两平面的夹角为 π-〈n1,n2〉 . 五、空间距离的计算 主要掌握点到直线的距离与点到平面的距离,利用直线的方向 向量与平面的法向量求解. s 1.若直线 l 的方向向量为 s,s0= ,点 P 是直线 l 上的点,点 |s| ??? 2 ??? 2 A 是直线外任一点,则点 A 到直线 l 的距离 d= | PA| -| PA· s0 | . 2.若 n0 为平面 α 的单位法向量,点 P 是平面 α 内一点,点 A ??? 是平面 α 外一点,则点 A 到该平面的距离 d=| PA· n0|.

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