北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题


北京市东城区(南片)2012-2013 学年下学期高二期末考试 数学试卷(文科)
第一部分(选择题 共 30 分) 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)。 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B)。
^

^

^

若(x 1 ,y 1 ),…,(x n ,y n )为样本点, y = b x + a 为回归直线,则
?

x=

? 1 n 1 n xi , y = ? y i ? n i ?1 n i ?1

^

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

?

?

?x y
=
i ?1 n i i ?1

n

i

?nx y
?

? ?

^

?

^

?

b=

? (x
i ?1

? x) 2

?

? xi ? n x 2
2

,a = y -b x 。

k =

2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n=a+b+c+d 为样本容量 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

一、选择题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 1. 已知集合 A={x∈R|0<x<1},B={x∈R|(2x-1)(x+1)>0},则 A∩B 等于 A. (0,

1 ) 2 1 ) 2

B. (

1 ,1) 2 1 ,1) 2
D. (1,+ ? )

C. (- ? ,-1) ? (0,

D. (- ? ,-1) ? (

2. 函数 f(x)=3x-x 3 的单调增区间是 A. (0,+ ? ) B. (- ? ,-1) C. (-1,1)

3. 在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B。若 C 为线段 AB 的中点,则 点 C 对应的复数是 A. 4+8i B. 8+2i C. 4+i D. 2+4i

4. 某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为

1

A.

1 2

B. 1

C. 2

D. -1

5. 函数 f(x)= A. 0

1 -lnx 的零点个数为 x
B. 1 C. 2 D. 3

6. 将一枚骰子连掷两次,则第一次的点数减第二次的点数差为 2 的概率为 A.

1 6

B.

1 7

C.

1 8

D.

1 9

7. 高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人 数后,得到 2× 列联表:则随机变量 K 2 的观测值为 2 班组与成绩统计表 优秀 甲班 乙班 总计 A. 0.600 B. 0.828 11 8 19 C. 2.712 不优秀 34 37 71 D. 6.004 总计 45 45 90

8. 某游戏规则如下:随机地往半径为 l 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于

1 , 2

则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于

1 1 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 4 4

且小于

1 ,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 2 1 4
B.

A.

3 4
x

C.

1 16

D.

3 16

9. 若函数 f(x)=a +b-1(a>0 且 a ? 1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有 A. 0<a<1 且 b>0 B. a>1 且 b>0 C. 0<a<1 且 b<0 D. a>1 且 b<0 10. 已知函数 f(x)的定义域为R,若 ? 常数 c>0,对 ? x∈R,有 f(x+c)>f(x- c),则称函数 f(x)具有性质 P。 给定下列三个函数:①f(x)=|x|;②f(x)=sinx;③f(x)=x -x。 其中,具有性质 P 的函数的序号是 A. ①② B. ②③ C. ① D. ③
3

第二部分(非选择题 共 70 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。

2

11. 复数

2 =______。 1? i
?3 x ,x ? 1, ?? x, x ? 1
。则 f[f(2)]=_____。

12. 已知函数 f(x)= ?

13. 从 1,3,4,7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是 5 的 倍数的概率为______。 14. 函数 f(x)=

1 的定义域为______。 log 1 (2 x ? 1)
2

15. 已知变量 x,y 具有线性相关关系,测得(x,y)的一组数据如下:(0,1),
^

(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为 y =1.4x+a,则 a 的值是______。 16. 观察下列等式: C 5 +C 5 =2 3 -2, C 9 +C 9 +C 9 =2 7 +2 3 , C 13 +C 13 +C 13 +C 13 =2 11 -2 5 , C 17 +C 17 +C 17 +C 17 +C 17 =2 15 +2 7 , … 由以上等式推测到一个一般结论: 对于 n∈N ,C 4 n ?1 +C 4 n ?1 +C 4 n ?1 +…+C 4 n ?1 =_____。
*
1 5 9 4 n ?1
1 5 9 13 17 1 5 9 13 1 5 9 1 5

三、解答题共 6 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17. (本小题 8 分) 已知函数 f(x)= ? x ? 5 x ? 4 的定义域为集合 A,函数 g(x)=x-a(0≤x≤4)的
2

值域为集合 B。 (Ⅰ)求集合 A; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A∩B=A,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题 8 分) 已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a ? 0),图象关于原点对称,且当 x=
3 2

1 时,f(x) 2

的极小值为-1,求 f(x)的解析式。

3

19. (本小题 9 分) 某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收 费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)。现有 甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时。 (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为

1 ,停车付费多于 14 元的概率为 3

5 ,求甲停车付费恰为 6 元的概率; 12
(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率。

20. (本小题 9 分) 已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=2f(x+2),且 f(x)在区间[0,2]上有表 达式 f(x)=x(x-2)。 (Ⅰ)求 f(-1),f(2.5)的值; (Ⅱ)写出 f(x)在[-3,3]上的表达式。

21. (本小题 9 分) 已知 a∈R,函数 f(x)=

a +lnx-1。 x

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)求 f(x)在区间(0,e]上的最小值。

22. (本小题 9 分) 在数列{a n },{b n }中,a 1 =2,b 1 =4,且 a n ,b n ,a n ?1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成 等比数列(n∈N )。 (Ⅰ)求 a 2 ,a 3 ,a 4 和 b 2 ,b 3 ,b 4 ,由此猜测{a n },{b n }的通项公式; (Ⅱ)证明:
*

1 1 1 5 + +…+ < a n ? bn 12 a1 ? b1 a 2 ? b2

4

19. 解:(Ⅰ)设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A, 则 P(A)=1-(

1分

1 5 1 + )= 。 3 12 4 1 。 4
4分

所以甲临时停车付费为 6 元的概率是

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a,b=6,14,22,30。5 分 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为: (6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30)。 (22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14), (30,22),(30,30)。 共 16 种情形。 8分

5

其中,(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这 4 种情形符合题意。 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P= 20. (9 分) 解:(Ⅰ)因为 f(-1)=2f(1)=2(1-2)=-2, 所以 f(-1)=-2。 因为 f(0.5)=2f(2.5), 所以 f(2.5)=

4 1 = 。 16 4

9分

1 1 1 1 3 f(0.5)= · · ( -2)=- 。 2 2 2 2 8

4分

(Ⅱ)因为函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=2f(x+2), 所以 f(x-2)=2f(x),f(x)= 当-2≤x<0 时,0≤x+2<2, f(x)=2f(x+2)=2x(x+2); 当-3≤x<-2 时,-1≤x+2<0, f(x)=2f(x+2)=4(x+2)(x+4); 当 2<x≤3 时,0<x-2≤1, f(x)=

1 f(x-2)。 2

1 1 f(x-2)= (x-2)(x-4); 2 2

?4( x ? 2)( x ? 4), ?3 ? x ? ?2 ?2 x( x ? 2), ?2 ? x ? 0 ? ? 故 f(x)= ? x ( x ? 2),0 ? x ? 2 ? ? 1 ( x ? 2)( x ? 4), 2 ? x ? 3 ? ?2
21. (9 分) 解:(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=

9分

1 +lnx-1,x∈(0, ? ), x
1分

所以:f′(x)=-

1 1 x ?1 + = ,x∈(0, ? )。 x2 x x2

因此 f′(2)=

1 。 4 1 。 4

即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为

又 f(2)=ln2-

1 , 2

6

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2- 即 x-4y+4ln2-4=0。 (Ⅱ)因为 f(x)= 3分

1 1 )= (x-2), 2 4

a a 1 x?a +lnx-1,所以 f′(x)=- 2 + = 2 ,x∈(0,+ ? )。 x x x x
4分

令 f′(x)=0,得 x=a。

①若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时 f(x)无最小值。 ②若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当 x∈(a,e]时,f′(x)>0,f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当 x=a 时,f(x)取得最小值 lna。 6分

③若 a≥e,则当 x∈(0,e]时,f′(x)≤0,f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当 x=e 时,f(x)取得最小值

a 。 e

8分

综上可知,当 a≤0 时,f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当 0<a<e 时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 lna; 当 a≥e 时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 22. (9 分) (Ⅰ)解:由已知得 2b n =a n +a n ?1 ,a n ?1 2 =b n · n ?1 。 b 由此可得 a 2 =6,a 3 =12,a 4 =20,b 2 =9,b 3 =16,b 4 =25。 猜测 a n =n(n+1),b n (n+1) 2 。 (Ⅱ)证明: 4分

a 。 e

9分

1 1 5 = < 。 a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 a n +b n =(n+1)(2n+1)>2(n+1)n。 故

1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ < + [ + +…+ ] a n ? bn 6 2 2· 3· a1 ? b1 a 2 ? b2 n( n ? 1) 3 4

=

1 1 1 1 1 1 1 1 + ( - + - +…+ - ) 6 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 1 1 5 + ( - )< + = 。 6 2 2 n ?1 6 4 12
9分

=

7


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