灌云县杨集高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析


灌云县杨集高级中学 2018-2019 学年高二 9 月月考数学试题解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.)

1.

F1 ,

F2 分别为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a , b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在双曲线上,满足 PF1 ? PF2 ? 0 ,

若 ?PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为

3 ?1 ,则该双曲线的离心率为( 2



A. 2

B. 3

C. 2 ?1

D. 3 ?1

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查

基本运算能力及推理能力.
2. 已知三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为 32? , ?ABC ? 900 ,三棱锥 S ? ABC 的三视图如图

所示,则其侧视图的面积的最大值为( )

A.4

B. 4 2

C.8

D. 4 7

3. 经过点 M ?1,1? 且在两轴上截距相等的直线是( )

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ?1 ? 0

C. x ?1或 y ? 1

D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0

4. 已知在数轴上 0 和 3 之间任取一实数,则使“ log2 x ? 1”的概率为(



A. 1 4

B. 1 8

C. 2 3

D. 1 12

5. 棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应截面面积

为 S1 、 S2 、 S3 ,则(



第 1 页,共 19 页

A. S1 ? S2 ? S3

B. S1 ? S2 ? S3

6. 方程 x ?1 ? 1? ? y ?1?2 表示的曲线是(

C. S2 ? S1 ? S3


D. S2 ? S1 ? S3

A.一个圆

B. 两个半圆

C.两个圆

D.半圆

7. 已知点 A(0,1),B(3,2),C(2,0),若A→D=2D→B,则|C→D|为(



A.1 5
C.3

4 B.3 D.2

8. 某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信

息,可确定被抽测的人数及分数在?90,100?内的人数分别为( )

A.20,2

B.24,4

C.25,2

9. 若, b ??0,1? ,则不等式 a2 ? b2 ? 1成立的概率为( )

A. ? 16

B. ? 12

C. ? 8

10.如右图,在长方体

中, =11, =7,

D.25,4
D. ? 4
=12,一质点从顶点 A 射向



,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将 次到第 次反射点之间的线

段记为



,将线段

竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )

第 2 页,共 19 页

A B C
第 3 页,共 19 页

D

11.设 f (x) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数,又 f (5) ? 0 ,则使 f (x) ? 0 的的取值范围是( )

A. ?5 ? x ? 0 或 x ? 5

B. x ? ?5 或 x ? 5

C. ?5 ? x ? 5

D. x ? ?5 或 0 ? x ? 5

12.设复数 z ?1?i ( i 是虚数单位),则复数 2 ? z2 ? (



z

A.1? i

B.1? i

C. 2 ? i D. 2 ?i

【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在横线上)

13.已知函数

f

(x)

?

2 tan x 1? tan2 x

,则

f

(? ) 3

的值是_______,

f

(x)

的最小正周期是______.

【命题意图】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质等基础知识,意在考查运算求解能力.

14. 设函数 f (x) ? ex , g(x) ? ln x ? m .有下列四个命题:

①若对任意 x ?[1, 2] ,关于 x 的不等式 f (x) ? g(x) 恒成立,则 m ? e ;

②若存在 x0 ?[1, 2] ,使得不等式 f (x0 ) ? g(x0 ) 成立,则 m ? e2 ? ln 2 ;

③若对任意

x1

?[1, 2]及任意

x2

?[1, 2] ,不等式

f

( x1 )

?

g(x2 ) 恒成立,则 m

?

e 2

? ln

2



④若对任意 x1 ?[1, 2],存在 x2 ?[1, 2] ,使得不等式 f (x1) ? g(x2 ) 成立,则 m ? e .

其中所有正确结论的序号为

.

【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能

力,考查分类整合思想.

15.已知数列{an} 中, a1

? 1,函数

f

(x)

?

?

2 3

x3

?

an 2

x2

? 3an?1x

?

4



x

?1 处取得极值,则

an ? _________.

16.直线 x ? 2y ? t ? 0 与抛物线 y2 ? 16x 交于 A , B 两点,且与 x 轴负半轴相交,若 O 为坐标原点,则

?OAB 面积的最大值为

.

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,意在考查分析问题以及解决

第 4 页,共 19 页

问题的能力.

三、解答题(本大共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(本小题满分 12 分)

已知圆 M 与圆 N : (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 关于直线 y ? x 对称,且点 D(? 1 , 5) 在圆 M 上.

3

3

33

(1)判断圆 M 与圆 N 的位置关系;

(2)设 P 为圆 M 上任意一点, A(?1, 5) , B(1, 5) , P、A、B 三点不共线, PG 为 ?APB的平分线,且交

3

3

AB 于 G . 求证: ?PBG与 ?APG的面积之比为定值.

18.(本小题满分

12

分)已知 F1, F2 分别是椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的两个焦点,且|

F1F2

|?

2 ,点

( 2, 6 ) 在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 l 与以原点为圆心, b 为半径的圆上相切于第一象限,切点为 M ,且直线 l 与椭圆交于 P、Q 两

点,问 F2P ? F2Q ? PQ 是否为定值?如果是,求出定值,如不是,说明理由.

19.(本小题满分 10 分)
已知函数 f ? x? ? x ? a ? x ? 2 . (1)若 a ? ?4 求不等式 f ? x? ? 6 的解集; (2)若 f ? x? ? x ? 3 的解集包含?0,1? ,求实数的取值范围.
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20.(本小题满分

12 分)已知椭圆 C1 :

x2 8

?

y2 4

? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2

,过点 F1 作垂直

于轴的直线,直线 l2 垂直于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M .

(1)求点 M 的轨迹 C2 的方程; (2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 AC、BD,且分别交椭圆于 A、B、C、D ,求四边形 ABCD面积

的最小值.

21.(本小题满分 13 分)

椭圆 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,直线 l : x

? my ?1经过点 F1 与椭圆 C

交于点 M



点 M 在 x 轴的上方.当 m ? 0时,| MF1 |?

2. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若点 N 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的一点,

MF1

/

/

NF2

,且

S?MF1F2 S?NF1F2

? 3 ,求直线 l 的方程.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知椭圆 C

的极坐标方程为 ? 2

?

12 3cos2 ? ? 4sin2 ?

,点 F1, F2

为其左、右焦点,直线的参数方程为

第 6 页,共 19 页

? ??x ? 2 ? ?

2t 2 (为参数, t ? R ).

? ??

y

?

2t 2

(1)求直线和曲线 C 的普通方程;

(2)求点 F1, F2 到直线的距离之和.

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灌云县杨集高级中学 2018-2019 学年高二 9 月月考数学试题解析(参考答案)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.)

1. 【答案】D

【 解 析 】 ∵ PF1 ? PF2 ? 0 , ∴ PF1 ? PF2 , 即 ?PF1F2 为 直 角 三 角 形 , ∴ PF12 ? PF22 ? F1F22 ? 4c2 , | PF1 ? PF2 |? 2a ,则 2PF1 ? PF2 ? PF12 ? PF22 ? (PF1 ? PF2 )2 ? 4(c2 ? a2 ) , (PF1 ? PF2 )2 ? (PF1 ? PF2 )2 ? 4PF1 ? PF2 ? 8c2 ? 4a2 .所以 ?PF1F2 内切圆半径

r ? PF1 ? PF2 ? F1F2 ? 2c2 ? a2 ? c ,外接圆半径 R ? c .由题意,得 2
( c )2 ? 4 ? 2 3 ,∴双曲线的离心率 e ? 3 ?1 ,故选 D. a

2c2 ? a2 ? c ?

3 ?1 c ,整理,得 2

2. 【答案】A

【解析】

考 点:三视图. 【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面, 左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几 何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置, 再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 3. 【答案】D 【解析】
考 点:直线的方程.
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4. 【答案】C

【解析】

试题分析:由

log2

x

?

1得

0

?

x

?

2 ,由几何概型可得所求概率为

2 3

? ?

0 0

?

2 3

.故本题答案选

C.

考点:几何概型.

5. 【答案】A

【解析】

考 点:棱锥的结构特征. 6. 【答案】A 【解析】

试题分析:由方程 x ?1 ? 1? ? y ?1?2 ,两边平方得 x ?1 2 ? ( 1? ? y ?1?2 )2 ,即 (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,所

以方程表示的轨迹为一个圆,故选 A.

考点:曲线的方程.

7. 【答案】

【解析】解析:选 C.设 D 点的坐标为 D(x,y),

∵A(0,1),B(3,2),A→D=2D→B,

∴(x,y-1)=2(3-x,2-y)=(6-2x,4-2y),

??x=6-2x,

∴?



??y-1=4-2y

x=2,y=53,

∴C→D=(2,53)-(2,0)=(0,53),

∴|C→D|= 02+(35)2=53,故选 C.

8. 【答案】C

【解析】

考 点:茎叶图,频率分布直方图.
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9. 【答案】D









考点:几何概型. 10.【答案】C 【解析】根据题意有: A 的坐标为:(0,0,0),B 的坐标为(11,0,0),C 的坐标为(11,7,0),D 的坐标为(0,7,0); A1 的坐标为:(0,0,12),B1 的坐标为(11,0,12),C1 的坐标为(11,7,12),D1 的坐标为(0,7, 12); E 的坐标为(4,3,12) (1)l1 长度计算

所以:l1=|AE|=

=13。

(2)l2 长度计算

将平面 A1B1C1D1 沿 Z 轴正向平移 AA1 个单位,得到平面 A2B2C2D2;显然有:

A2 的坐标为:(0,0,24),B2 的坐标为(11,0,24),C2 的坐标为(11,7,24),D2 的坐标为(0,7,

24);

显然平面 A2B2C2D2 和平面 ABCD 关于平面 A1B1C1D1 对称。

设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2 相交于:E2(xE2,yE2,24)

根据相识三角形易知:

xE2=2xE=2×4=8,

yE2=2yE=2×3=6,

即:E2(8,6,24)

根据坐标可知,E2 在长方形 A2B2C2D2 内。

11.【答案】B

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点:函数的奇偶性与单调性.

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性,数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数,所

以定义域关于原点对称,图象关于 y 轴对称,单调性在 y 轴两侧相反,即在 x ? 0 时单调递增,当 x ? 0 时,

函数单调递减.结合 f (5) ? 0 和对称性,可知 f (?5) ? 0 ,再结合函数的单调性,结合图象就可以求得最后的

解集.1

12.【答案】A









二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在横线上) 13.【答案】 ? 3 , ? .

第 11 页,共 19 页

14.【答案】①②④









第 12 页,共 19 页

15.【答案】 2 3n?1 ?1
【解析】



点:1、利用导数求函数极值;2、根据数列的递推公式求通项公式.

【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项,属于中档题.由数列的递推公式

求通项常用的方法有:累加法、累乘法、构造法,形如 an ? qan?1 ? p( p ? 0, q ? 1) 的递推数列求通项往往用
? ? 构造法,利用待定系数法构造成 an ? m ? q(an?1 ? m) 的形式,再根据等比数例求出 an ? m 的通项,进而得 出?an? 的通项公式.

16.【答案】 512 3 9









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三、解答题(本大共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.【答案】(1)圆与圆相离;(2)定值为 2. 【解析】

试题分析:(1)若两圆关于直线对称,则圆心关于直线对称,并且两圆的半径相等,可先求得圆 M 的圆心,
r ? DM ,然后根据圆心距 MN 与半径和比较大小,从而判断圆与圆的位置关系;(2)因为点 G 到 AP 和

BP 的距离相等,所以两个三角形的面积比值 S?PBG ? PB ,根据点 P 在圆 M 上,代入两点间距离公式求 PB S?APG PA
和 PA ,最后得到其比值.

试题解析:(1) ∵圆 N 的圆心 N (5 ,? 5) 关于直线 y ? x 的对称点为 M (? 5 , 5) ,

33

33

∴ r2 ?| MD |2 ? (? 4)2 ? 16 , 39

∴圆 M 的方程为 (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 16 .

3

39

∵| MN |? (10 )2 ? (10 )2 ? 10 2 ? 2r ? 8 ,∴圆 M 与圆 N 相离.

3

3

3

3

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考点:1.圆与圆的位置关系;2.点与圆的位置关系.1 18.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识,意在考查逻辑思维能 力、探索性能力、运算求解能力,以及方程思想、转化思想的应用.
第 15 页,共 19 页

19.【答案】(1) ???,0? ?6, ???;(2)??1,0? .
【解析】
试题分析:(1)当 a ? ?4 时, f ? x? ? 6 ,利用零点分段法将表达式分成三种情况,分别解不等式组,求得 解集为 ???,0? ?6,??? ;(2) f ? x? ? x ? 3 等价于 x ? a ? 2 ? x ? 3? x ,即 ?1? x ? a ?1? x在?0,1? 上
第 16 页,共 19 页

恒成立,即 ?1 ? a ? 0.

试题解析:

(1)当

a

?

?4

时,

f

?

x?

?

6

,即

? ??4

?

x

x ?

?2 2?x

?

6



? ??4

2 ?x

? ?

x x

?4 ?2?

6



? ??x

?

4

x ?

?4 x?2

?

6



解得 x ? 0 或 x ? 6 ,不等式的解集为 ???,0? ?6, ??? ;


点:不等式选讲.
20.【答案】(1) y2 ? 8x ;(2) 64 . 9
【解析】
试题分析:(1)求得椭圆的焦点坐标,连接 MF2 ,由垂直平分线的性质可得 MP ? MF2 ,运用抛物线的定
义,即可得到所求轨迹方程;(2)分类讨论:当 AC 或 BD中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,此时四
边形 ABCD面积 S ? 2b2 .当直线 AC 和 BD的斜率都存在时,不妨设直线 AC 的方程为 y ? k?x ? 2?,则直 线 BD的方程为 y ? ? 1 ?x ? 2? .分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式可得 AC ,
k BD .利用四边形 ABCD面积 S ? 1 AC BD 即可得到关于斜率的式子,再利用配方和二次函数的最值求法,
2
即可得出.

(2)当直线

AC

的斜率存在且不为零时,直线

AC

的斜率为,A( x1 ,

y1)

,C ( x2 ,

y2 )

,则直线

BD 的斜率为

?

1 k



?y ? k(x ? 2)

直线 AC 的方程为 y

?

k

(

x

?

2)

,联立

? ?

x2

?? 8

?

y2 4

?1

,得 (2k 2

? 1)x2

? 8k 2x ? 8k 2

? 8 ? 0.111]



x1

?

x2

?

8k 2 1 ? 2k 2



x1x2

?

8k 2 ? 8 1 ? 2k 2

.

第 17 页,共 19 页

| AC |?

1? k 2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

32 (k 2 ?1) 2k 2 ?1

.由于直线

BD的斜率为

?

1 k

,用

?

1 k

代换上式中的。可得

| BD |?

32 (k 2 ? 1) k2 ? 2 .



AC

?

BD ,∴四边形

ABCD的面积 S

?

1 2

|

AC

|?|

BD

|?

16(k 2 ? 1)2 (k 2 ? 2)(2k 2 ? 1)

.

由于 (k 2 ? 2)(2k 2 ? 1) ? [(k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 1)]2 ? [3(k 2 ? 1)]2 ,∴ S ? 64 ,当且仅当 k 2 ? 2 ? 2k 2 ?1 ,即

2

2

9

k ? ?1时取得等号.

易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD的面积 S ? 8 .

综上,四边形 ABCD面积的最小值为 64 . 9

考点:椭圆的简单性质.1

【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得| MP |?| MF2 | ,运用抛物线的定义,即可得所求的 轨迹方程.第二问分类讨论,当 AC 或 BD中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为 2b2 .当直线

AC 和 BD的斜率都存在时,分别设出 AC, BD 的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得

AC, BD ,从而利用四边形的面积公式求最值.

21.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)由直线 l : x ? my ?1经过点 F1 得 c ?1,

当 m ? 0时,直线 l 与 x 轴垂直,| MF1 |?

b2 a

?

2, 2

?c ? 1



? ?

b2

?? a ?

2 2

解得

??a ?

?

??b ? 1

2 ,∴椭圆 C 的方程为

x2 2

?

y2

?1.

(4 分)

(Ⅱ)设

M

( x1 ,

y1 ),

N (x2 ,

y2 ) ,

y1

?

0,

y2

?

0

,由 MF1

/

/ NF2



S?MF1F2 S?NF1F2

? | MF1 | ? | NF2 |

y1 y2

?3.

联立方程

?x ? my ?1

? ? x2 ?? 2

?

y2

,消去
?1

x



(m2

?

2)

y2

?

2my

?1

?

0

,解得

y

?

m

?

2(m2 m2 ? 2

?1)



y1

?

m ? 2(m2 ?1) m2 ? 2

,同样可求得 y2

?

?m ? 2(m2 m2 ? 2

?1)



(11 分)



y1 y2

?3得

y1

? 3y2 ,∴

m?

2(m2 m2 ? 2

?1)

?m ? 2(m2

? 3?

m2 ? 2

?1)

,解得 m

? 1,

直线 l 的方程为 x ? y ?1 ? 0 . (13 分)

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22.【答案】(1)直线的普通方程为 y ? x ? 2 ,曲线 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 1;(2) 2 2 . 43

【解析】

试题分析:(1)由公式

?? ???

cos? sin?

? ?

x y

可化极坐标方程为直角坐标方程,利用消参法可化参数方程为普通方程;

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式.
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