§3.4.1-2定积分的应用(面积,体积)11


3.4.3 面积和体积

一、面积
(一)直角坐标系中的平面图形的面积
1.设函数 f ( x )∈C [a ,b] ,求由直线 x = a, x = b, y = 0 和 . 曲线 y= f ( x ) 所围成的平面图形的 面积 A 。 =
(1) 若在 [a ,b] 上 f ( x )≥ 0 ,则 A= ∫ )
(2) 若在 [a ,b] 上 f ( x )≤ 0 ,则 A= ∫ )
b a
b a

f ( x )dx 。
f ( x )dx = ∫
b a b a

f ( x ) dx 。

有正有负, (3) 若在 [a ,b] 上 f ( x ) 有正有负,则 A= ∫

f ( x ) dx 。

上的连续函数, 2.设 f ( x ) 、 g( x ) 是 [a ,b] 上的连续函数,且 f ( x )≥ g ( x ) , . 求由直线 x= a , x= b ,和曲线 y= f ( x ) 、 y= g ( x ) 所围 = = = = 成的平面图形的 面积 A 。

y

y= f (x) =

dA
y= g(x) =

dA = [ f ( x ) g ( x )]dx

A = ∫ [ f ( x ) g ( x )]dx

b

oa

x x+dx +

b

x

a

上的连续函数, 3. ( y ) 、 ψ( y ) 是 [c ,d ] 上的连续函数,且 ( y )≥ ψ( y ) , 求由直线 = 求由直线 y= c , y= d 和曲线 x = ( y ) 、 x = ψ( y ) 所围 = 成的平面图形的 成的平面图形的 面积 A 。 平面

y
d
y+dy +
dA

x=( y)

dA = [( y ) ψ ( y )]dy
A = ∫ [( y ) ψ ( y )] dy
c d

y

c

x=ψ( y)

o

x

例 1.求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 2 x + y 2 = 0 所围图形的面积。 所围图形的面积。

y
y2 =2x
1
y+dy + y
1 ( , 1) 2

o

x
dA

2

(2, 2)

2x+ y2=0

y
1 ( , 1) 2

y2 =2x

2x+ y2=0

o

1 2

2

x

( 2, 2 )

求平面图形面积的基本步骤: 求平面图形面积的基本步骤 :
作曲线图形、 ( 1 ) 作曲线图形 、 确定积分变量 及积分区间; 及积分区间 ; 求面积微元; ( 2 ) 求面积微元 ; 计算定积分。 ( 3 ) 计算定积分 。

x = ( t ) ( t1 ≤ t ≤ t 2 ) , 当曲边梯形的曲边由参数方程 y = f (t )

给出时, 给出时,曲边梯形的面积为

A= ∫

t2

t1

f (t )d[(t )]= ∫

t2

f (t )′(t )dt

t1

分别是曲边的起点与终点对应的参数值。 其中 t1 , t 2 分别是曲边的起点与终点对应的参数值 。

x = acost , (0≤ t ≤ 2π ) 的面积。 的面积。 例 2.求椭圆 y = bsin t .

y
b

a

o
b

a

x

(二)极坐标系中平面图形的面积
由曲线 r = r (θ) 及两条射线 θ = α , θ = β (α < β ) 所围成的 θ

图形称为曲边扇形 图形称为曲边扇形。 曲边扇形 [ 求曲边扇形的面积 A ,积分变量是θ ,θ∈ α, β] 。
为半径, [θ, θ + dθ]∈[α , β ] , 以 θ 处的极径 r ( θ ) 为半径, 以 dθ 为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元,即 为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元 ,

r =r(θ) θ

1 2 dA= [r(θ)] dθ 2 1 β A= ∫ [r(θ)]2dθ. 2 α

β dθ

o

αθ

r(θ) θ θ+dθ

x

例 3.求由两条曲线 r = 3cosθ 和 r =1+ cosθ 所围成的

阴影部分的面积。 阴影部分的面积。
3π A( , ) 23

r=3cosθ
r=1+cosθ

o
3 π B( , ) 2 3

x

二、体积
截面面积 为已知的 立体的体 积 (一)平行
之间, 设有 一立体 位于平面 x = a , x = b (a < b ) 之间,已知它被 过点 ( x , 0, 0) (a ≤ x ≤ b ) 且垂直 于 x 轴 的平面所截得的截面面
积为 A( x ) ,假定 A( x )是 x 的连续函数,求 立体 的体积 V 。 的连续函数,

z
A(x)

y
o



a

x

b

x

z
y

A(x)

o

a

+ x x+dx

b

x

取 x 为积分变量,积分区间为 [a ,b] 。 在 [a ,b] 上任取一 为积分变量,

代表小区间 [ x , x + dx ] ,对应的立体中一薄片的 体积 V
近似等于底面积 为 A( x ) , 高为 dx 的柱体的体积 A( x )dx ,

微元 即体积
求 积 所 体 为

dV = A( x)dx ,
V = ∫ A( x)dx 。
a b

的正圆柱体, 例 1.设有半径为 R 的正圆柱体,被通过其底的直径

面所截,求截得的圆柱楔的体积。 而与底面交成 α的平 面所截,求截得的圆柱楔的体积。

R

ytanα

x

α

y

o
R

α
x

y

(二)旋转体的体积
上连续, 1 . 设 f ( x ) 在 [a ,b] 上连续 , 求由直线 x = a , x = b ,

y = 0 和曲线 y= f ( x ) 所围成的图形绕 x 轴旋转 =
而成的旋转体的体积。 而成的旋转体的体积。

y
y= f (x) =
x x+ dx +

dV = A( x)dx=π[ f ( x)] dx ,
Vx =π∫ [ f ( x)] dx =π∫
2 a b b 2 y dx. a

2

o a

b

x

上连续, = 2. 设 ( y ) 在 [c ,d ] 上连续,求由直线 y= c , y= d , =

x = 0 和曲线 x = ( y ) 所围成图形绕 y 轴 旋转而成的
旋转体的体积。 旋转体的体积。

y

d

dV =π[( y)]2dy 。
d 2 Vy =π [( y)] dy =π x dy c c

y+dy +



d

2



y

x=( y)

c
o
x

例 2.求由 x 2 + y 2 = 2 和 y= x 2 所围成的图形分别 =

旋转而成的旋转体的体积。 绕 x 轴 、 y 轴 旋转而成的旋转体的体积 。

y
y= x =
1
2

y
2

y= x2 =

1

o

1

x

o

x
x2 + y2 =2

x2 + y2 =2

例 4.证明:由 0≤ a ≤ x ≤ b , 0≤ y≤ f ( x ) 所围成的图形 .证明: ≤ 旋转所成的旋转体的体积为: 绕 y 轴 旋转所成的旋转体的体积为:V y = 2π ∫ x f ( x )dx 。
a b

证明: 积分变量, 证明:以 x 为 积分变量,把在 [a ,b] 上的任意子区间
[ x , x + dx ] 上对应的窄曲边梯形绕 y 轴 旋转而成的薄

壳看作是一个中空圆柱体, 壳看作是一个中空圆柱体,沿着中空圆柱体的高剪 开展平,它近似于一块长方形的薄片, 开展平,它近似于一块长方形的薄片,于是薄壳的 体积近似等于 以 f ( x ) 为 高, 以 2πx 为 长, 以 dx 为 厚 的长方体的体积,即旋转体的体积微元为 长方体的体积,

dv =2πx f ( x)dx V = b2πx f ( x)dx π y ∫
y
a

f (x)
a

f (x)

o

x x+dx x +
2πx

b

x

dx
f (x)

类似地, 所围成的图形绕 类似地,由 0≤ c ≤ y ≤ d , 0≤ x ≤ ( y ) 所围成的图形绕 旋转所成的旋转体的体积为: x 轴 旋转所成的旋转体的体积为: V x = 2π ∫ y ( y )dy 。
c d

3.4.4 旋转体的侧面积
上非负,且有连续的导数。 设 f ( x ) 在[ a,b ]上非负,且有连续的导数。求由直线 围成的平面图形, x= a , x= b , y = 0 和曲线 y = f ( x ) 围成的平面图形, = =

旋转一周所形成的旋转体的侧面积。 绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体的侧面积 。
[ x , x + dx ] [a ,b] ,
上相应的小旋 设在 [ x , x + dx ] 上相应的小 旋

y

y= f (x) =

转体的侧面积的微元为 dA 。

o
在点 x 处旋转半径为 f ( x ) ,

a

+ x x+dx b

x

在曲线上点 P ( x , f ( x )) 处的弧长微元

y

y= f (x) =

是 dL= 1+ f ′ 2 ( x )dx ,
则 dA= 2πf ( x )dL , π

o

a

+ x x+dx b

故 A=2π∫

b

x

a

′2( x)dx. f ( x) 1+ f

圆台的侧面积= [ 圆台的侧面积 π×母线长 ×(上底半径 + 下底半径 ) 。在极限
状态, 状态,母线长是弧微元 dL ; 上底半径 + 下底半径 = 2 f ( x ) 。]

一般地 A=2π∫

b

a

′2( x)dx. f ( x) 1+ f

例 6.求圆 x 2 + ( y b ) 2 = a 2 (0< a < b ) . 旋转所得旋转体的表面积。 绕 x 轴 旋转所得旋转体的表面积。

y

a

o a x

3.4.5 一些物理量的计算

一 、 质量
1.设半圆形线材的方程为 例 1.设半圆形线材的方程为 y = R 2 x 2 ( R < x < R ) ,线 材上点的 M ( x , y ) 处的 线密度为 ρ = k y ( k为常数,且k > R) , 求该线材的质量。 求该线材的质量。

y
dS

S
R
+ o x x+dx R x

二、功
例2.设一锥形贮水池,深15米,口径20米,盛满水, .设一锥形贮水池, 米 口径 米 盛满水,

试问将水全部吸出需作多少功? 试问将水全部吸出需作多少功?

10

o x

10
A

y

x+dx +
B

15 x

三 、 液体的压力
4.设有一竖直的闸门 形状是等腰梯形, 设有一竖直的闸门, 例 4.设有一竖直的闸门 ,形状是等腰梯形, 上底为

当水面齐闸门顶时, 6 米,下底为 4 米,高为 6 米,当水面齐闸门顶时,
求闸门所受的水压力。 求闸门所受的水压力。

o
x

A(0,3)

y
x+dx +

6

B(6,2)

x

四.转动惯量与转动动能
的质点, 转动时, 质量为 m 的质点,绕固定轴 l 转动时,质点 m 对 l 轴的转动惯量为

J = mr

2

其中 r 为质点到转动轴的距离,称为转动半径. 为质点到转动轴的距离,称为转动半径.
当质点 m 以角速度 ω 绕 l 轴旋转时,则线速度 v = rω , 从而转动动能为 从而转动动能为 转动动能

1 2 1 1 2 2 2 E = mv = m(rω ) = mr ω 2 2 2

求密度均匀( ,厚度为 例: 求密度均匀(设为 ρ ) 厚度为 H ,内外径为 , 的飞轮绕中心轴转动 转动的转动惯量 r 和 R 的飞轮绕中心轴转动的转动惯量 J 以及角速度 为 ω 时的转动动能 E .

3.4.6 函数的平均值
一、函数的平均值
n 个数 y1, y2 , yn 的算术平均值为y= ,

1 如何定义连续函数 上的平均值呢? 如何定义连续函数 f ( x ) 在 [a ,b] 上的平均值呢? 定义

将 [a ,b] n 等分 。当 n 很大时 ,小区间 [ xi 1i,=1 i ] 的长 x
b a 度 x i = ( i =1, 2, , n ) 很小,由于 f ( x )∈C [a ,b] , 很小, n

∑yi . n

n

上函数值变化很小, 故在小区间 [ x i 1 , xi ] 上函数值变化很小,可把 f ( x ) 在 该区间上的取值看作常数 f ( x i ) ,于是 f ( x ) 在 [a ,b] 上 的平均值的近似值为

1 1 n y ≈ [ f ( x1 )+ f ( x2 )++ f ( xn )]= ∑ f ( xi )xi n b a i =1

当 n 愈大时 ,近似值的精确度愈高,所以 近似值的精确度愈高,
1 n 1 b y = lim ∑ f ( xi )xi = b a ∫a f ( x )dx n→∞ b a i =1



1 b y= ∫a f ( x )dx 。 ba

1 b 2 在数学上称 ∫a f ( x )dx 为函数 f ( x ) 在 [a ,b] b a 上的均方根。 上的均方根。


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