辽宁省五校协作体2013届高三数学第一次模拟考试试题 理


辽宁省五校协作体 2013 届高三数学第一次模拟考试试题 理
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。

1.复数 Z 满足

Z?

2?i , 1 ? i 则 Z 等于( 3 1 ? i D. 2 2



A. 1 ? 3i

3 1 ? i B. 3 ? i C. 2 2
2

2.命题“ ?x ? R, x ?ax ? 4a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的(



A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设函数 f ( x) ? A sin ??x ? ? ? ( 它的周期是 ? ,则( )

A ? 0, ? ? 0,?

?
2

?? ?

?

2 的图像关于直线

)

x?

2? 3 对称,

? 1? ? 0, ? A. f (x) 的图象过点 ? 2 ? ? 5? ? ? ,0 ? C. f (x) 的一个对称中心是 ? 12 ?

? ? 2? ? ? , ? B. f (x) 在 ?12 3 ? 上是减函数

D. f (x) 的最大值是 4

x m, g ( x) ? loga x ? x ? 4 的零点为 n , 4.若 a ? 1 ,设函数 f ( x) ? a ? x ? 4 的零点为

1 1 ? 则 m n 的取值范围是(
A. ?3.5,??? B. ?1,??? C.



?4,???

D. ?4.5,???

?1? ? ? a y ? f (x) 过点 ?4,2? , an ? f (n ? 1) ? f (n) ,n ? N ? , 5.已知幂函数 令 记数列 ? n ? 的前 n 项
和为

S n ,则 S n =10 时, n 的值是(
B.120 C.130
2 2



A.110

D.140
2

6.在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 2 3absin C ,则 ?ABC 的形状是( 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形



x?0 ? ? y?x ? x ? 2y ? 3 ?4 x ? 3 y ? 12 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 的取值范围是( 7. 设 ,则



-1-

A. ?1,5?

B. ?2,6?

C. ?2,10?

D. ?3,11?

x2 y2 a2 x? ? 2 ?1 2 c 与其渐近线交于 A, B 两 b 8.已知双曲线 a ( a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F , 直线
点,且 ?ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( A. 9. )

? 3,??? B. ?1, 3? C. ? 2,??? D. ?1, 2 ? ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? x ? 的展开式中 x 的系数是( )
3 3 5

A. ? 4

B. ? 2

C. 2

D. 4

11.已知抛物线 M : y ? 4 x ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? r (其中 r 为常数, r ? 0)过点 (1,0) 的
2 2 2 2

直线 l 交圆 N 于 C, D 两点,交抛物线 M 于 A, B 两点,且满足 的必要条件是( A r ? ?0,1? ) B. r ? ?1,2? C. r ? ? 2
?3 ? ? ,4 ? ?

AC ? BD

的直线 l 只有三条

?3 ? r ? ? ,?? ? ?2 ? D.

12.在正三棱锥 P ? ABC 中,有一半球,其底面与三棱锥的底面重合,正三棱锥的三个侧面都 与半球相切,如果半球的半径等于 1 ,则正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于( A. 2 B. 2 3 C. 6 D. 3 )

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。 13. .经过原点 ?0,0? 做函数 f ( x) ? x ? 3x 的切线,则切线方程为
3 2



1 1 1 ? 2 ? 2 2 a b ,由此类比: 14. 在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a, b 。设 h 为斜边上的高,则 h
三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA, SB, SC 两两垂直, 且长度分别为 a, b, c , 设棱锥底面 ABC

-2-

上的高为 h ,则



cos B cos C AB ? AC ? 2m AO sin B 16. 已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ? ? ,若 sin C ,则

m=

。 (用 ? 表示)

三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
3 已知函数 f (x) ? ? x ? m x 在 ?0,1? 上是增函数

(1)求实数 m 的取值集合 A.

?a ? a ?0 , ( 2 ) 当 m 取 值 集 合 A 中 的 最 小 值 时 , 定 义 数 列 n ; 满 足 a1 ? 3, 且 n
an?1 ? ? 3 f ' (an ) ? 9 ? 2
,求数列

?an ?的通项公式。
? 1 2

(3)若

bn ? nan ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求证: S n

A

-3-

-4-

19. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行乒乓球对抗赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一个比对方

1 P? ) 2 ,且各局胜负相互独立。 多 2 分或打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 P ( 5 已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 9 。若图为统计这次比赛的局数 n 和甲,乙的总得
分数 S, T 的程序框图。其中如果甲获胜则输入

a ? 1, b ? 0. 如果乙获胜,则输入 a ? 0, b ? 1 。
在右图中,第一,第二两个判断框应 分别填写什么条件? (2)求 P 的值。 (3)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数, 求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? 。

n

N

20. (本小题满分 12 分)

-5-

-6-

21. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f (x) = ax ? x ( a ? R, a ? 0) , g ( x) ? ln x

(1)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x) ? g ( x) 在定义域上的单调性; (2)若函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图像有两个不同的交点 M , N ,求 a 的取值范围。 (3)设点 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y 2 ) ( x1 ? x2 ) 是函数 y ? g (x) 图像上的两点,平行于 AB 的切 线以

P( x0 , y0 ) 为切点,求证 x1 ? x0 ? x2 .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 是过点 P(?1,2) ,方向向量为 n ? (?1, 3) 的直线,圆方程 (1)求直线 l 的参数方程
-7-

? ? ? 2 cos( ? ? )
3

(2)设直线 l 与圆相交于 M , N 两点,求

PM ? PN

的值

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知

x ? 4 ? 3? x ? a



(1)若不等式的解集为空集,求 a 的范围。 (2)若不等式有解,求 a 的范围。

答案: 一选择题 1.C2.A3.C4.B5.B6.D7.D8.D9.C10.B11.D12.D 二填空题:

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 a b c 13. y ? 0或9 x ? 4 y ? 0 14. h
15.4 16. sin ?

-8-

三解答题: 17.(1)因为函数 f (x) 在 ?0,1? 上是增函数 只需 f ( x) ? ?3x ? m 在 ?0,1? 满足 f ( x) ? 0 恒成立
' 2 '
2 即 ? 3x ? m ? 0 ? m ? 3

? A ? ?m | m ? 3?

(2)?

2 an?1 ? ? 3 f ' (an ) ? 9 ? 2 ? a n?1 ? ? 3(?3a n ? 3) ? 9 ? 2 ,

? an?1 ? 3an ? 2 即? an?1 ? 1 ? 3(an ? 1)

?

a n?1 ? 1 ?3 an ? 1

? 数列?an ? 1?是等比数列,首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 3

? an ? 2 ? 3n?1 ? 1
(3)由(2)可知 令

?bn ? n ? 2 ? 3n?1 ? n

Tn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ... ? n ? 3n?1

3Tn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n
Tn ? 1 ? (2n ? 1) ? 3n 4

两式相减得

? Sn ?

1 (2n ? 1) ? 3n n(n ? 1) 1 ? ? ? 2 2 2 2

18.令 PD 中点为 F 。连接 EF ,则可证 FABE 为平行四边形。

? BE // AF ? ? EF // AB ? ? AF ? 面PAD ? EF ? 面PAD ? ? BE // 面PAD
(2)在梯形 ABCD 中。可证 BC ? BD

? 面PCD ? 面ABCD ?面PCD ? 面ABCD ? CD ? PD ? 面ABCD ? ? ? ? ? PD ? BC PD ? CD ? BC ? 面PDB ? ? BD ? PD ? D ? ?BC ? 面PBC ? PD ? 面PCD ? ? ? ?
面 PBD ? 面 PBC

-9-

P(? ? 6) ? 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? 1 ?
所以 ? 的分布列为:

5 20 16 ? ? 9 81 81

?

2

4

6

20 16 81 81 P 5 20 16 266 ? E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6? ? 9 81 81 81
20.(1)

5 9

? F0 ?c,0?, F1 0,? b 2 ? c 2 , F2 0, b 2 ? c 2 ,? F0 F2 ?

?

? ?

?

?b

2

? c 2 ? c 2 ? b ? 1,

?

- 10 -

F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1,

c2 ?
于 是

3 2 7 , a ? b2 ? c2 ? , 4 4 所 求 “ 果 圆 ” 方 程 为

4 2 4 x ? y 2 ? 1?x ? 0?, y 2 ? x 2 ? 1?x ? 0?. 7 3
( 2
2











a ? c ? 2b

,



a 2 ? b 2 ? 2b ? a



? ?2b? ? b ? c ? a ,? a ? b ? ?2b ? a? ,
2 2 2 2 2 2



b 4 ? a 5







b2 1 b ? 2 4 ? b ? c ? a ? b ,? 2 ? ,? ? ? , ? 2 a ? 2 5? a ? ?。
2 2 2 2

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1?x ? 0?; 2 ? 2 ? 1?x ? 0?, 2 b b c (3)设“果圆”的方程为 a 记平行弦的斜率为 k,当

? t2 ? x2 y2 P? a 1 ? 2 , t ? ? 2 ? 1?x ? 0? ? b ? 2 ?, b k=0 时, 直线 y ? t ?? b ? x ? b? 与半椭圆 a 的交点是 ? 与半 ? t2 ? y2 x2 Q? ? c 1 ? 2 , t ?,? P, Q ? 2 ? 1?x ? 0? ? b ? 2 ? c 椭圆 b 的交点是 ? 的 中 点 M ( x,y ) 满 足
? a?c t2 ? 1? 2 ?x ? ? 2 b ?y ? t ?
2



y2 ? 2 ?1 2 b ?a?c? ? ? ? 2 ?

x2



a ? c ? 2b a ? c ? 2b ?a?c? 2 ? a ? 2b,? ? ? ?0 ? ?b ? 2 2 ? 2 ? 。
综上所述,当 k=0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上。

x2 y2 ? 2 ? 1?x ? 0? 2 b 当 k>0 时 , 以 k 为 斜 率 过 B1 的 直 线 l 与 半 椭 圆 a 的交点是

? 2ka 2 b k 2 a 2 b ? b 3 ? ? 2 2 ? k a ? b 2 , k 2 a 2 ? b 2 ?. ? ? ? 由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线
y?? b2 x ka 2 上,即不在某一椭圆上,当 k<0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一

椭圆上。

- 11 -

y ? y1 1 ? 2 x x2 ? x1 ,所以 (3)由已知: 0

x0 ?

x 2 ? x1 x 2 ? x1 ? x y 2 ? y1 ln 2 x1 x2 ? x1 x2 ? x1 ? ? x1 x2 x2 ln ?1 x1 x1

ln


x2 x x ? ln(1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 1 x1 x1 x1 ,故
x0 ?

x0 ?

同理

x2 ? x1 x2 ? x1 x 2 ? x1 x ? x1 ? ? ? 2 ? x2 x2 x1 x1 x2 ? x1 ln ? ln ? ln(1 ? ? 1) x1 x2 x2 x2

综上所述得

x1 ? x0 ? x2
2

22..证明:因为 FG 切⊙O 于点 G,所以 FG =FB·FA,因为 EF // CD,所以∠BEF=∠ECD,又 A, B,C,D 四点共圆,所以∠ECD=∠EAF,所以∠BEF=∠EAF,又∠EFA=∠BFE,所以△EFA∽△

EF FA ? EF ,即 EF 2 = FB·FA,所以 EF 2 = GF 2 ,即 EF=FG。 BFE,所以 FB

- 12 -

24.

(1)设 如 图

?2 x ? 7( x ? 4) ? ? 1(3 ? x ? 4) f ( x) ? x ? 4 ? 3 ? x ?7 ? 2 x( x ? 3) ?
=

(1)若不等式解集为空集 (2)若不等式有解

a ?1
y ?1 a

1

O

3

4

x

- 13 -


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