涿鹿县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析


涿鹿县第二高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 执行下面的程序框图,若输入 x ? ?2016 ,则输出的结果为( A.2015 B.2016 ) C.2116 D.2048

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形, 则在下列结论中,下列说法错误的是(



A. AC ? BD C. AC A PQMN 3. 下列关系式中,正确的是( A.?∈{0} B.0?{0}
2

B. AC ? BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 ) D.?={0} C.0∈{0}
?

4. 已知函数 f ( x) ? f ' (1) x ? x ? 1 ,则 A. ?

?

1

0

f ( x)dx ? (
D. ?



7 6

B.

7 6

C.

5 6

5 6

【命题意图】本题考查了导数、积分的知识,重点突出对函数的求导及函数积分运算能力,有一定技巧性,难 度中等. 5. 抛物线 y=﹣8x2 的准线方程是( )

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A.y=  

B.y=2 C.x=

D.y=﹣2

6. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 , an ?1 ? an ?

? 1 ? 4 ,若数列 ? ? 的前 n 项和为 5,则 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ?

n ?(
A. 35

) B. 36 C. 120 ) C. 垂直 D.相交但不垂直 D. 121

7. 设 a, b, c 分别是 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对边的边长,则直线 sin AAx ? ay ? c ? 0 与

bx ? sin BAy ? sin C ? 0 的位置关系是(
A.平行 率是( ) B. 重合

8. 如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角是 30°的平面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的离心

A.

B.

C.

D.

  ? ? ? ? 2 2 9. 已知向量 a ? ( m, 2) , b ? ( ?1, n) ( n ? 0 ),且 a ? b ? 0 ,点 P ( m, n) 在圆 x ? y ? 5 上,则

? ? | 2a ? b |? (

) B. ) C. 4 2 D. 3 2

A. 34

10.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是(

D1 A1

C1 B1 P

D A
A.直线

C B
B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力.

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11.给出下列两个结论: ①若命题 p:?x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:?x∈R,x2+x+1≥0; ②命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为 “若方程 x2+x﹣m=0 没有实数根,则 m≤0”; : 则判断正确的是( A.①对②错 ) B.①错②对 C.①②都对 ) D.①②都错

12.三个数 a=0.52,b=log20.5,c=20.5 之间的大小关系是( A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a

二、填空题
13.设函数 f(x)= ①若 a=1,则 f(x)的最小值为      ; ②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是      .   14.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)=lnx- 最小值 4,则 m=________. 15.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论: ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 其中正确的是      .(填上所有正确命题的编号)     ,

m (m∈R)在区间[1,e]上取得 x

1 lnx ? , x ? 1, x 16.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x ? ? { m 5 2 x 2 ? mx ? ? , x ? 1, 2 8 若 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有三个零点,则实数 m 的取值范围是________.
17.已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:(1)对任意 x∈(0,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立;( 2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0;②函数 f(x)的值域为[0,+∞);③存在 n∈Z,使得 f(2n+1)=9;④“函 数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2k,2k+1)”;其中所有正确 结论的序号是      .

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  18.已知 i 是虚数单位,且满足 i2=﹣1,a∈R,复数 z=(a﹣2i)(1+i)在复平面内对应的点为 M,则“a=1”是“点 M 在第四象限”的      条件(选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”)  

三、解答题
19.已知函数 f ( x) ?

3x , x ? ? 2,5? . x ?1

(1)判断 f ( x) 的单调性并且证明; (2)求 f ( x) 在区间 ? 2,5? 上的最大值和最小值.

20.已知斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点,|AB|=4. (I)求 p 的值; (II)若经过点 D(﹣2,﹣1) ,斜率为 k 的直线 m 与抛物线有两个不同的公共点,求 k 的取值范围.

21.在直角坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为(2,0),半径为 轴建立极坐标系.,直线 l 的参数方程为: (1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程; (2)点 P 的极坐标为(1, (t 为参数).

,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

),直线 l 与圆 C 相交于 A,B,求|PA|+|PB|的值.

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22.数列{an}满足 a1=

,an∈(﹣



),且 tanan+1?cosan=1(n∈N*).

(Ⅰ)证明数列{tan2an}是等差数列,并求数列{tan2an}的前 n 项和; (Ⅱ)求正整数 m,使得 11sina1?sina2?…?sinam=1.    

23.若{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)均在函数 y= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求:使得

的图象上.

对所有 n∈N*都成立的最大正整数 m.

24.(本小题满分 12 分)

3?3 ? a ? 2 1 设 p :实数满足不等式 3a ? 9 ,:函数 f ? x ? ? x3 ? x ? 9 x 无极值点. 3 2

(1)若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数的取值范围;

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1? 1? ? ? (2)已知“ p ? q ”为真命题,并记为,且: a 2 ? ? 2m ? ? a ? m ? m ? ? ? 0 ,若是 ?t 的必要不充分 2? 2? ? ?

条件,求正整数 m 的值.

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涿鹿县第二高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】 试题分析:由于 ?2016 ? 0 ,由程序框图可得对循环进行加运算,可以得到 x ? 2 ,从而可得 y ? 1 ,由于

2015 ? 1 ,则进行 y ? 2 y 循环,最终可得输出结果为 2048 .1
考点:程序框图. 2. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQ // MN , QM // PN ,则 PQ // 平面 ACD, QM // 平面 BDA , 所 以 PQ // AC , QM // BD , 由 PQ ? QM 可 得 AC ? BD , 所 以 A 正 确 ; 由 于 PQ // AC 可 得 AC // 截 面

PQMN , 所以 C 正确 ; 因为 PN ? PQ , 所以 AC ? BD , 由 BD // PN , 所以 ?MPN 是异面直线 PM 与 BD PN AN MN DN 0 所成的角,且为 45 ,所以 D 正确;由上面可知 BD // PN , PQ // AC ,所以 ,而 ? , ? BD AD AC AD AN ? DN , PN ? MN ,所以 BD ? AC ,所以 B 是错误的,故选 B. 1
考点:空间直线与平面的位置关系的判定与证明. 【方法点晴】 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明, 其中解答中涉及到直线与平面平行 的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和 解答问题的能力,属于中档试题,此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答 的关键. 3. 【答案】C 【解析】解:对于 A??{0},用“∈”不对, 对于 B 和 C,元素 0 与集合{0}用“∈”连接,故 C 正确; 对于 D,空集没有任何元素,{0}有一个元素,故不正确.   4. 【答案】B

5. 【答案】A 【解析】解:整理抛物线方程得 x2=﹣ y,∴p= ∵抛物线方程开口向下,

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∴准线方程是 y= 故选:A.



【点评】本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位置.   6. 【答案】C 【解析】解析:本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前 n 项和.由 an ?1 ? an ?
2 2

得 an ?1 ? an ? 4 ,∴ an 是等差数列,公差为 4 ,首项为 4 ,∴ an ? 4 ? 4( n ? 1) ? 4n ,由 an ? 0 得
2

? ?

4 an ?1 ? an

2

an ? 2 n .

? 1 ? 1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) ,∴数列 ? ? 的前 n 项和为 an ?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2 ? an ?1 ? an ? 1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) ? 5 ,∴ n ? 120 ,选 C. 2 2 2 2

7. 【答案】C 【解析】 试题分析:由直线 sin AAx ? ay ? c ? 0 与 bx ? sin B Ay ? sin C ? 0 , 则 sin A ? b ? a ? ( ? sin B ) ? 2 R sin A sin B ? 2 R sin A sin B ? 0 ,所以两直线是垂直的,故选 C. 1 考点:两条直线的位置关系. 8. 【答案】A 【解析】解:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其截口是一个椭圆, 则这个椭圆的短半轴为:R,长半轴为: ∵a2=b2+c2,∴c= , = ,

∴椭圆的离心率为:e= = . 故选:A. 【点评】本题考查椭圆离心率的求法,注意椭圆的几何量关系的正确应用,考查计算能力.   9. 【答案】A 【解析】

考点:1、向量的模及平面向量数量积的运算;2、点和圆的位置关系.
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10.【答案】D.

第Ⅱ卷(共 110 分) 11.【答案】C ①命题 p 是一个特称命题,它的否定是全称命题,¬p 是全称命题,所以①正确. 【解析】解 : ②根据逆否命题的定义可知②正确. 故选 C. 【点评】考查特称命题,全称命题,和逆否命题的概念.   12.【答案】A 【解析】解:∵a=0.52=0.25, b=log20.5<log21=0, c=20.5>20=1, ∴b<a<c. 故选:A. 【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数的单调性的 合理运用.  

二、填空题
13.【答案】  ≤a<1 或 a≥2 .

【解析】解:①当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)=2x﹣1 为增函数,f(x)>﹣1,



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当 x>1 时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x2﹣3x+2)=4(x﹣ )2﹣1, 当 1<x< 时,函数单调递减,当 x> 时,函数单调递增, 故当 x= 时,f(x)min=f( )=﹣1, ②设 h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a) 若在 x<1 时,h(x)=与 x 轴有一个交点, 所以 a>0,并且当 x=1 时,h(1)=2﹣a>0,所以 0<a<2, 而函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以 2a≥1,且 a<1, 所以 ≤a<1, 若函数 h(x)=2x﹣a 在 x<1 时,与 x 轴没有交点, 则函数 g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点, 当 a≤0 时,h(x)与 x 轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去), 当 h(1)=2﹣a≤0 时,即 a≥2 时,g(x)的两个交点满足 x1=a,x2=2a,都是满足题意的, 综上所述 a 的取值范围是 ≤a<1,或 a≥2.   14.【答案】-3e 【解析】f′(x)= 减, 当 x>-m 时,f′(x)>0,f(x)单调递增.若-m≤1,即 m≥-1 时,f(x)min=f(1)=-m≤1,不可能 等于 4; 若 1<-m≤e, 即-e≤m<-1 时, f(x) = ln(-m) +1, 令 ln(-m) +1=4, 得 m=-e3? (- min=f(-m) e,- 1) ; 若-m>e,即 m<-e 时,f(x)min=f(e)=1- m =-3e. 15.【答案】 ②③④ 

1 m x?m + = ,令 f′(x)=0,则 x=-m,且当 x<-m 时,f′(x)<0,f(x)单调递 x x2 x2

m m ,令 1- =4,得 m=-3e,符合题意.综上所述, e e

【解析】解:①函数 y=[sinx]是非奇非偶函数; ②函数 y=[sinx]的周期与 y=sinx 的周期相同,故是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数数 y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}.

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故答案为:②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查新定义,正确理解新定义是关键.   16.【答案】 ? 1, ?

? ?

7? 4?

【解析】 17.【答案】 ①②④ . 【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. ∴f(2)=0.f(1)= f(2)=0. ∵f(2x)=2f(x), ∴f(2kx)=2kf(x). ①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确; ②设 x∈(2,4]时,则 x∈(1,2],∴f(x)=2f( )=4﹣x≥0. 若 x∈(4,8]时,则 x∈(2,4],∴f(x)=2f( )=8﹣x≥0. … 一般地当 x∈(2m,2m+1), 则 ∈(1,2],f(x)=2m+1﹣x≥0,

从而 f(x)∈[0,+∞),故正确; ③由②知当 x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0, ∴f(2n+1)=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1,假设存在 n 使 f(2n+1)=9, 即 2n﹣1=9,∴2n=10, ∵n∈Z,

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∴2n=10 不成立,故错误; ④由②知当 x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数, ∴若(a,b)?(2k,2k+1)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确. 故答案为:①②④.   18.【答案】 充分不必要  【解析】解:∵复数 z=(a﹣2i)(1+i)=a+2+(a﹣2)i, ∴在复平面内对应的点 M 的坐标是(a+2,a﹣2), 若点在第四象限则 a+2>0,a﹣2<0, ∴﹣2<a<2, ∴“a=1”是“点 M 在第四象限”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要. 【点评】本题考查条件问题,考查复数的代数表示法及其几何意义,考查各个象限的点的坐标特点,本题是一 个基础题.  

三、解答题
19.【答案】(1)增函数,证明见解析;(2)最小值为,最大值为 2.5 . 【解析】

3( x1 ? x2 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? 2,5? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 5 上是增函数;(2)由(1)知,最小值为 f (2) ? 2 ,最大值为 f (5) ? . 2
试题分析 : (1)在 ? 2,5? 上任取两个数 x1 ? x2 ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 试题解析: 在 ? 2,5? 上任取两个数 x1 ? x2 ,则有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

所以 f ( x) 在 ? 2,5? 上是增函数.

3 x1 3 x2 3( x1 ? x2 ) ? ? ?0, x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

所以当 x ? 2 时, f ( x) min ? f (2) ? 2 , 当 x ? 5 时, f ( x) max ? f (5) ? 考点:函数的单调性证明. 【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间,考查化归与转化的数学思想方法. 先在定义域内任取两个数 x1 ? x2 ,然后作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成 几个因式的乘积,判断最后的结果是大于零韩式小于零,如果小于零,则函数为增函数,如果大于零,则函数

5 . 2

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为减函数.1 20.【答案】 【解析】解 : (I)由题意可知,抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标为 所以,直线 l 的方程为 由 消 y 并整理,得 … … ,准线方程为 .

设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2=3p, 又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4, 所以,3p+p=4,所以 p=1… (II)由(I)可知,抛物线的方程为 y2=2x. 由题意,直线 m 的方程为 y=kx+(2k﹣1).… 由方程组 可得 ky2﹣2y+4k﹣2=0(2)… 当 k=0 时,由方程(2),得 y=﹣1. 把 y=﹣1 代入 y2=2x,得 . .… (1)

这时.直线 m 与抛物线只有一个公共点 当 k≠0 时,方程(2)得判别式为△=4﹣4k(4k﹣2). 由△>0,即 4﹣4k(4k﹣2)>0,亦即 4k2﹣2k﹣1<0. 解得 于是,当 .

且 k≠0 时,方程(2)有两个不同的实根,从而方程组(1)有两组不同的解,这

时,直线 m 与抛物线有两个不同的公共点,… 因此,所求 m 的取值范围是 .…

【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.   21.【答案】

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【解析】解:(1)圆 C 的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=2, 代入圆 C 得:(ρcosθ﹣2)2+ρ2sin2θ=2 化简得圆 C 的极坐标方程:ρ2﹣4ρcosθ+2=0… 由 (2)由 得 x+y=1,∴l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=1… 得点 P 的直角坐标为 P(0,1),

∴直线 l 的参数的标准方程可写成



代入圆 C 得: 化简得: ∴ ∴   22.【答案】 , ,∴t1<0,t2<0… …

【解析】(Ⅰ)证明:∵对任意正整数 n,an∈(﹣ 故 tan2an+1= =1+tan2an,



),且 tanan+1?cosan=1(n∈N*).

∴数列{tan2an}是等差数列,首项 tan2a1= ,以 1 为公差. ∴ ∴数列{tan2an}的前 n 项和= = + . = . .

(Ⅱ)解:∵cosan>0,∴tanan+1>0, ∴tanan= , ,

∴sina1?sina2?…?sinam=(tana1cosa1)?(tana2?cosa2)?…?(tanam?cosam) =(tana2?cosa1)?(tana3cosa2)?…?(tanam?cosam﹣1)?(tana1?cosam) =(tana1?cosam)= = ,

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,得 m=40.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计 算能力,属于难题.   23.【答案】 【解析】解:(1)由题意知:Sn= n2﹣ n, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 当 n=1 时,a1=1,适合上式, 则 an=3n﹣2; bn= (2) 根据题意得 : =1﹣ , = = ﹣ Tn=b1+b2+…+bn=1﹣ + ﹣ +…+ , ﹣

∴{Tn}在 n∈N*上是增函数,∴(Tn)min=T1= , 要使 Tn> 对所有 n∈N*都成立,只需 < ,即 m<15,

则最大的正整数 m 为 14.   24.【答案】(1) ?a a ? 1或2 ? a ? 5? ;(2) m ? 1 . 【解析】

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(1)∵“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,∴ p 与只有一个命题是真命题.
?a ? 2 ? a ? 1 .………………………………5 分 若 p 为真命题,为假命题,则 ? ?a ? 1或a ? 5 ?a ? 2 ? 2 ? a ? 5 .……………………………………6 分 若为真命题, p 为假命题,则 ? ?1 ? a ? 5

于是,实数的取值范围为 ?a a ? 1或2 ? a ? 5? .……………………………………7 分

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考点: 1、不等式;2、函数的极值点;3、命题的真假;4、充要条件.

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