北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题


北京市东城区(南片)2012-2013 学年下学期高二期末考试 数学试卷(理科)
本试卷 100 分。考试时长 120 分钟。 第一部分(选择题 共 30 分) 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)。 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B)。
^

^

^

若(x 1 ,y 1 ),…,(x n ,y n )为样本点, y = b x + a 为回归直线,则
?

x=

? 1 n 1 n xi , y = ? y i ? n i ?1 n i ?1

^

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

?

?

? xi y i ? n x y
=
i ?1 n

n

? ?

^

?

^

?

b=

? (x
i ?1

n

i

? x) 2

?

?x
i ?1

2 i

?nx

? 2

,a = y -b x 。

K2 =

n(ad ? bc) 2 ,其中 n=a+b+c+d 为样本容量 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

一、选择题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项。 1. 函数 f(x)=3x-x 的单调增区间是 A. (0,+ ? )
4 3

B. (- ? ,-1)
2

C. (-1,1)

D. (1,+ ? )

2. (x+1) 的展开式中 x 的系数为 A. 4 B. 6 C. 10 D. 20

3. 在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B。若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应 的复数是 A. 4+8i B. 8+2i C. 4+i D. 2+4i

4. 用数字 0,1,2,3 组成无重复数字的四 位数,这样的四位数的个数为 A. 24 5. B. 18 C. 16 D. 12

? (e
0

1

x

? 2 x)dx =
B. e-1 C. e D. e+1

A. 1

6. 高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后,得 到 2× 列联表:则随机变量 K 的观测值为 2 班组与成绩统计表
2

优秀 甲班 乙班 总计 A. 0.600 B. 0.828 C. 2.712 11 8 19

不优秀 34
[来源:学科网 ZXXK]

总计 45 45 90

37 71 D. 6.004

7. 设随机变量 ? ~N(0,1),若 P( ? ≥1)=p,则 P(-1< ? <0)= A. 1-p B. p C.

1 +p 2

D.

1 -P 2 1 ,则成绩为 2

8. 某游戏规则如下:随机地往半径为 l 的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于

及格;若飞标到圆心的距离小于

1 1 1 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 且小于 ,则成绩 4 4 2

为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 A.

3 16

B.

1 4

C.

3 4

D.

1 16

9. 从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A,B,C,D 四项不同的工作,每人承担一项。 若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 A. 60 种 B. 72 种 C. 84 种 D. 96 种

10. 已知 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:①f (0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0。 其中正确结论的序号为 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

第二部分(非选择题 共 70 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。 11. 复数

2 =______。 1? i 1 ),则 E(X)=______,D(X)=_____。 3
[来源:学科网 ZXXK]

12. 已知随机变量 X~B(5,
2

13. 若 (x +

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 32, n=______; 则 其展开式中 的常数 项为______。 x3

(用数字作答) 14. 已知变量 x,y 具有线性相关关系,测得(x,y)的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,
^

4),(3,5),其回归方程为 y =1.4x+a,则 a 的值是______。

15. 某篮球队员在比赛中每 次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率为 该队员 每次罚球的命中率为_____。 16. 观察下列等式: C 5 +C 5 =2 3 -2, C 9 +C 9 +C 9 =2 7 +2 3 , C 13 +C 13 +C 13 +C 13 =2 11 -2 5 , C 17 +C 17 +C 17 +C 17 +C 17 =2 15 +2 7 , … 由以上等式推测到一个一般结论: 对于 n∈N * ,C 4 n ?1 +C 4 n ?1 +C 4 n ?1 +…+C 4 n ?1 =_____。
1 5 9 4 n ?1

16 , 则 25

1

5

1

5

9

1

5

9

13

1

5

9

13

17

三、解答题共 6 小题,共 52 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 17. (本小题 8 分) 从 4 名男同学中选出 2 人,6 名女同学中选出 3 人,并将选出的 5 人排成一排。 (Ⅰ)共有多少种不同的排法? (Ⅱ)若选出的 2 名男同学不相邻,共有多少种不同的排法?

18. (本小题 8 分) 已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a ? 0),图象关于原点对称,且当 x=
3 2

1 时,f(x)的极小值 2

为-1,求 f(x)的解析式。

19. (本小题 9 分) 某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)。现有甲、乙二人在该商区 临时停车,两人停车都不超过 4 小时。 (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 甲停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ) 若每人停车的时长在每个时段的可能性相同, 求甲、 乙二人停车付费之和为 36 元的概率。

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求 3 12

20. (本小题 9 分) 生产 A,B 两种元件,其质量 按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品, 现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一种元件 B,若是 正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元,记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求 随机变量 X 的分布列和数学期望。

21. (本小题 9 分) 已知 a∈R,函数 f(x)=

a +lnx-1。 x

(Ⅰ )当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)求 f(x)在区间(0,e]上的最小值。

22. (本小题 9 分) 在数列{a n },{b n }中,a 1 =2,b 1 =4,且 a n ,b n ,a n ?1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列 (n∈N * )。 (Ⅰ)求 a 2 ,a 3 ,a 4 和 b 2 ,b 3 ,b 4 ,由此猜测{a n },{b n }的通项公式; (Ⅱ)证明你的结论; (Ⅲ)证明:

1 1 1 5 + +…+ < a n ? bn 12 a1 ? b1 a 2 ? b2

19. (9 分) 解:(Ⅰ)设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A, 则 P(A)=1-( 1分

1 5 1 + )= 。 3 12 4 1 。 4
4分

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a,b=6,14,22,30。 5 分 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为: (6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14, 30)。 (22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22), (30,30)。 共 1 6 种情形。 8分
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

其中,(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这 4 种情形符合题意。 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P= 20. (9 分) 解: (Ⅰ)元件 A 为正品的概率约为

4 1 = 。 16 4

9分

40 ? 32 ? 8 4 = 。 100 5
2分 3分

1分

元件 B 为正品的概率约为

40 ? 29 ? 6 3 = 。 100 4

(Ⅱ)随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,-15。 P(X=90)=

4 3 3 × = 5 4 5 4 1 1 × = 5 4 5

P(X=45)=

1 3 3 × = ; 5 4 20 1 1 1 × = 5 4 20
7分

P(X=30)=

P(X=-15)=

所以,随机变量 X 的分布列为: X P 90 45 30 -15

3 5

3 20

1 5

1 20
9分

EX=90× +45× 21. (9 分)

3 5

3 1 1 +30× +(-15)× =66。 20 5 20

解:(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=

1 +lnx-1,x∈(0, ? ), x
1分

所以:f′(x)=-

1 1 x ?1 + = ,x∈(0, ? )。 x2 x x2

因此 f′(2)=

1 。 4 1 。 4

即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为

又 f(2)=ln2-

1 , 2 1 1 )= (x-2), 2 4

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2- 即 x-4y+4ln2-4=0。 (Ⅱ)因为 f(x)= 3分

a a 1 x?a +lnx-1,所以 f′(x)=- 2 + = 2 ,x∈(0,+ ? )。 x x x x
4分

令 f′(x)=0,得 x=a。

①若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时 f(x)无最小值。 ②若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当 x∈(a,e]时,f′(x)>0,f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当 x=a 时,f(x)取得最小值 lna。 6分
[来源:学科网]

③若 a≥e,则当 x∈(0,e]时,f′(x) ≤0,f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当 x=e 时,f(x)取得最小值

a 。 e

8分

综上可知,当 a≤0 时,f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当 0<a<e 时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 lna; 当 a≥e 时,f(x)在区间(0,e]上的最小值为 22. (9 分) (Ⅰ)解:由已知得 2b n =a n +a n ?1 ,a n ?1 2 =b n · n ?1 。 b 由此可得 a 2 =6,a 3 =12,a 4 =20,b 2 =9,b 3 =16,b 4 =25。 猜测 a n =n(n+1),b n (n+1) 2 。 (Ⅱ)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由(Ⅰ)可得结论成立。 ②假设当 n=k 时,结论成立,即 a k =k(k+1),b k =(k+1) 2 。 那么当 n=k+1 时,a k ?1 =2b k -a k =2(k+1) 2 -k(k+1)=(k+1)(k+2),
[来源:Zxxk.Com]

a 。 e

9分

3分

a b k ?1 = k ?1 =(k+2) 2 。 bk
所以当 n=k+1 时,结论也成立。 由①②可知 a n =n(n+1),b n =(n+1) 对一切正整数都成立。 (Ⅲ)证明:
2

2

6分

1 1 5 = < 。 a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 a n +b n =(n+1)(2n+1)>2(n+1)n。 故

1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ < + [ + +…+ ] a n ? bn 6 2 2· 3· a1 ? b1 a 2 ? b2 n( n ? 1) 3 4

=

1 1 1 1 1 1 1 1 + ( - + - +…+ - ) 6 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 1 1 5 + ( - )< + = 。 6 2 2 n ?1 6 4 12
9分

=


相关文档

[套卷]北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题含答案
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 文 新人教A版
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题含答案
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学文试题
北京市东城区(南片)2012-2013学年高二下学期期末考试数学(文)试题
北京市西城区(北区)2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题
电脑版