2016高考第一轮复习12.1


一轮复习讲义

随机事件的概率

要点梳理 1.随机事件和确定事件 (1) 在 一 定 条 件 下 , 必 然 会 发 生 的 事 件 叫 做 必然事件 . (2) 在 一 定 条 件 下 , 肯 定 不 会 发 生 的 事 件 叫 做 不可能事件 . (3) 必然事件与不可能事件 统称为确定事件. (4) 在一定条件下,可能发生也可能不发生 的 事件,叫做随机事件. (5) 确定事件 和随机事件统称为事件, 一般用大 写字母 A, B,C?表示.

要点梳理

2.频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某 一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 nA 为事件 n A 出现的频数,称事件 A A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件 A,在相同条件下, 随着试验次数的增加,事件 A 发生的 频率 fn(A)稳定在某个 常数 上,把这个 常数 记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率.

要点梳理
3.事件的关系与运算

忆一忆知识要点

定义 包含 关系 相等 关系 如果事件 A 发生,则事件 B 一定 发生,这时称事件 B 包含 事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 若 B?A 且 A?B 若某事件发生当且仅当 A 发生或 和事件 事件 B 发生,称此事件为事件 A 与事件 B 的和事件

符号表示
B? A

(或 A?B)
A= B

A+ B

要点梳理
3.事件的关系与运算

忆一忆知识要点

若某事件发生当且仅当 事件A发 交事件 互斥 事件 对立 事件

生 且 事件B发生 , 则称此事件
为事件 A 与事件 B 的交事件 若 AB 为不可能事件,则事件 A 与事件 B 互斥 若 AB 为不可能事件,A+B 为必 然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件

AB

AB=? AB=? P(A+B)= P(A)+P(B)=1

要点梳理

4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: 0≤P(A)≤.1 (2)必然事件的概率 P(E)= 1 . (3)不可能事件的概率 P(F)= 0 . (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A+B) ) = P(A)+P(B. ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A) =1-P(B) .

[难点正本 疑点清源] 1.对概率定义的进一步理解 (1)频率与概率有本质的区别, 不可混为一 谈.频率随着试验次数的改变而变化,概 率却是一个常数,它是频率的科学抽 象.当试验次数越来越多时,频率向概率 靠近,只要次数足够多,所得频率就可以 近似地当作随机事件的概率.

(2) 概率意义下的 “ 可能性 ” 是大量随机事 件现象的客观规律,与我们日常所说的“可 能”“估计”是不同的,也就是说,单独一 次结果的不肯定性与积累结果的有规律性, 才是概率意义下的“可能性”,事件 A 的概 率是事件 A 的本质属性. (3) 概率从数量上反映了一个事件发生的可 能性的大小;概率的定义实际上也是求一个 事件的概率的基本方法.

2.互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关 系,互斥事件是不可能同时发生的两个事 件,而对立事件除要求这两个事件不同时 发生外,还要求二者之一必须有一个发生, 因此,对立事件是互斥事件的特殊情况, 而互斥事件未必是对立事件,即“互斥 ” 是“对立” 的必要但不充分条件,而“ 对 立”则是“互斥”的充分但不必要条件.

事件的分类与事件关系的判断
例 1 一口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球,从中任取两球.记 “取到一白一黑”为事件 A1,“取到两白球”为事件 A2, “取到两黑球”为事件 A3. 解答下列问题: (1)记“取到 2 个黄球”为事件 M,判断事件 M 是什么 事件? (2)记“取到至少 1 个白球”为事件 A, 试分析 A 与 A1、 A2、 A3 的关系.
紧扣事件的分类和事件关系的定义作答.



(1)事件 M 不可能发生,故为不可能事件.

(2)事件 A1 或 A2 发生,则事件 A 必发生,故 A1?A,A2?A, 且 A=A1+A2.又 A∩A3 为不可能事件, A∪A3 为必然事件, 故 A 与 A3 对立.

探究提高
在分析事件的关系时,要特别注意试验前提,关注“试验”和 “事件”是解决概率问题的关键.

变式训练 1
某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订 甲报纸”,事件 B 为“至少订一种报纸”,事件 C 为“至多 订一种报纸”,事件 D 为“不订甲报纸”,事件 E 为“一种 报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是, 再判断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 C;(4)C 与 E.
解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸 ”中有可能“只订甲报

纸”,即事件 A 与事件 C 有可能同时发生,故 A 与 C 不是互 斥事件.

(2)由于事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不 订”是不可能同时发生的, 故 B 与 E 是互斥事件. 由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生, 且事件 E 不发生会导致事件 B 一定发生,故 B 与 E 还是对立事件.
(3) 事件 B“ 至少订一种报纸 ” 中有这些可能: “ 只订甲报 纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件 C“至 多订一种报纸”中有这些可能:“什么报纸也不订”、“只订 甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生, 故 B 与 C 不是互斥事件. (4)由(3)的分析,事件 E“一种报纸也不订”只是事件 C 的一
种可能,即事件 C 与事件 E 有可能同时发生,故 C 与 E 不是 互斥事件.

随机事件的频率与概率
例2 某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表 射击次数 n 击中 10 环次数 m m 击中 10 环频率 n (1)计算表中击中 10 环的各个频率; (2)这位射击运动员射击一次,击中 10 环的概率为多少?
m (1)将 m,n 的值逐一代入 n 计算. (2)观察各频率能否在一常数附近摆动,用多次试验的频率 估计概率.

所示: 10 20 50 100 200 500 8 19 44 93 178 453



(1)击中 10 环的频率依次为 0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.

(2)这位射击运动员射击一次,击中 10 环的概率约为 0.9.

探究提高
利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本 方法,通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某 一个常数,就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率.

变式训练 2
某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛 专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结果 如下表所示: 抽取球数 n 优等品数 m m 优等品频率 n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的 概率是多少?(结果保留到小数点后三位) 50 100 200 45 92 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902



(1)表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,

0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同,但 随着抽取球数的增多,频率在常数 0.950 的附近摆动,所以质 量检查为优等品的概率约为 0.950.

互斥事件、对立事件的概率
例 3 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购 多得.1 000 张奖券为一个开奖单位,设特等奖 1 个,一等 奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、 二等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

明确事件的特征、分析事件间的关系,根据互斥事件或对 立事件求解.

1 10 1 解 (1)P(A)= ,P(B)= = , 1 000 1 000 100 50 1 P(C)= = . 1 000 20 1 1 1 故事件 A,B,C 的概率分别为 , , . 1 000 100 20

(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖 券中奖”这个事件为 M,则 M=A+B+C. ∵A、B、C 两两互斥, ∴P(M)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) 1+10+50 61 = = . 1 000 1 000 61 故 1 张奖券的中奖概率为 . 1 000

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N, 则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, ? 1 1 ? 989 ∴P(N)=1-P(A+B)=1-?1 000+100?= . ? ? 1 000
989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000

探究提高
(1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分 析出是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解 法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的 和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接求法,先求此事 件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A ),即运用逆向 思维(正难则反),特别是“至多”、“至少”型题目,用间接 求法就显得较简便.

变式训练 3
国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩,正 在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中 7~10 环 的概率如表所示: 命中环数 概率 10 环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12

求该射击队员射击一次: (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)至少命中 8 环的概率; (3)命中不足 8 环的概率.
解 记事件“射击一次,命中 k 环”为 Ak (k∈N,k≤10),则 事件 Ak 彼此互斥.

(1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 A9, A10 之一发生时,事件 A 发生,由互斥事件的加法公式得 P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)设“射击一次, 至少命中 8 环”的事件为 B, 那么当 A8, A9, A10 之一发生时,事件 B 发生.由互斥事件概率的加法公式得 P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10) =0.18+0.28+0.32=0.78. (3)由于事件“射击一次,命中不足 8 环”是事件 B:“射击一 次,至少命中 8 环”的对立事件,即 B 表示事件“射击一次, 命中不足 8 环”.

∴P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22.

易错警示
忽略概率加法公式的前提条件致误
(14 分 )抛掷一枚骰子,事件 A 表示“朝上一面的点数是奇 数”,事件 B 表示“朝上一面的点数不超过 2”. 求:(1)P(A);(2)P(B);(3)P(A+B). 学生解答展示

审题视角
(1)基本事件总数为 6,事件 A 包括 3 个基本事件,事件 B 包括 2 个基本事件.(2)事件 A 与事件 B 并不互斥,事件 A+ B 包括 4 个基本事件.
规范解答 解 基本事件总数为 6 个. [2 分]
[6 分] (1)事件 A 包括出现 1,3,5 三个基本事件, 3 1 ∴P(A)= = . 6 2 (2)事件 B 包括出现 1,2 两个基本事件, 2 1 ∴P(B)= = . 6 3

[10 分]

(3)事件 A+B 包括出现 1,2,3,5 四个基本事件, 4 2 ∴P(A+B)= = . 6 3
批阅笔记

[14 分]

(1)本题重点考查了随机事件的概率,尤其是事件间的关系. (2)本题易错原因是学生错用公式 P(A+B)=P(A)+P(B)来 解决,因为这个公式的前提条件是 A、B 彼此互斥,而本 题中的事件 A、B 并不互斥.所以在应用公式时,要特别 注意是否具备应用公式的条件.

方法与技巧
1.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的, 当条件变化时,事件的性质也发生变化. 2.必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况, 因此,任何事件发生的概率都满足:0≤P(A)≤1. 3.随机事件在相同条件下进行大量试验时,呈现规律性,且 m 频率 n 总是接近于常数 P(A),称 P(A)为事件 A 的概率. 4.求某些较复杂的概率问题时,通常有两种方法:一是将其 分解为若干个彼此互斥的事件的和,然后利用概率加法公 式求其值;二是求此事件 A 的对立事件 A 的概率,然后利 用 P(A)=1-P( A )可得解.

失误与防范
1.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事 件, 是互斥中的特殊情况, 但互斥事件不一定是对立事件, “互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2.从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所 含的结果组成的集合彼此互不相交, 事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合, 是全集中由事件 A 所含的结果组 成的集合的补集. 3.需准确理解题意,特别留心“至多??”,“至少??”, “不少于??”等语句的含义.


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