四川省宜宾市一中2017-2018学年高中数学上学期第15周 求解离心率的范围问题教学设计


求解离心率的范围问题
离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较 灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难, 本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳. 一、【知识储备】求离心率的方法 离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法: (1)直接求出 a、c,求解 e:已知标准方程或 a、c 易求时,可利用离心率公式 e ?

c 来求解; a

(2)变用公式,整体求出 e:以椭圆为例,如利用 e ?

c2 a 2 ? b2 b2 c2 , e ? ? ? ? 1 ? c2 ? b2 a2 a2 a2

1 ; b2 1? 2 c

(3)构造 a、c 的齐次式,解出 e:根据题设条件,借助 a、b、c 之间的关系,构造出 a、c 的齐次式,进而得到关 于 e 的方程,通过解方程得出离心率 e 的值. 二、求解离心率的范围的方法 1 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用 a, b, c 进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围. 【例 1】 已知椭圆的中心在 O ,右焦点为 F ,右准线为 l ,若在 l 上存在点 M ,使线段 OM 的垂直平分
2 ? 线经过点 F,则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】 :? ,1? ? 2 ? ? ?

y

l
2 xM y2

【牛刀小试】已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上存在点 P,使得由点 P 所 a x b O F 作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是______________.【答案】 [ 2 借助题目中给出的不等信息 根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立, ? 的范围等,进一步得到离 心率的不等关系式,从而求解.

2 ,1) 2

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y A x

F1 B

o

F

【例 2 】 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点 O 的对称点为 B, F 为其右焦点,若 AF ? BF, 设 a 2 b2
.【答案】 [

?? ? ? ?ABF ? ? , 且 ? ? ? , ? , 则椭圆离心率的取值范围是 ?12 4 ?
【牛刀小试】过椭圆 C:
x2 a2 ? y2 b2

2 6 , ] 2 3

? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B,且点 B 在 x 轴

1 1 上的射影恰好为右焦点 F,若 <k< , 则椭圆的离心率的取值范围是 2 3

1 2 .【答案】( , ) 2 3

3 借助函数的值域求解范围 根据题 设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函 数的定 义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 【例 3】已知椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 C2 : ? ? 1 有相同的焦点,则椭圆 C1 的离心 率 e 的取值范围为 m?2 n m n

_________________.【答案】 (

2 ,1) 2

【牛刀小试】已知两定点 A(?2,0) 和 B (2,0) ,动点 P ( x, y ) 在直线 l : y 经过点 P ,则椭 圆 C 的离心率的最大值为______________.【答案】 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围

? x ? 3 上移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点且

4 26

x2 y 2 在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? 0,b ? 0 ? 中, ? a ? x ? a , a b
P 是椭圆上任意一点,则 a ? c ? PF 1 ? a ? c 等。

x2 y 2 【 例 4 】 设 F1 , F2 为 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , 且 | F 1F 2 |? 2c , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 得 a b

| PF1 | ? | PF2 |? 2c2 ,则椭圆的离心率的最小值为______. 【答案】

3 3

2
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【牛刀小试】已知 F1 , F2 分别为双曲线
2

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,若 a 2 b2

PF1 的最小值为 8 a ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是__________.【答案】 ?1,3? PF2
【迁移运用】 1.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A , B1 , B2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的右、下、上顶点, F 是 a2 b2

椭圆 C 的右焦点.若 B2 F ? AB1 ,则椭圆 C 的离心率是 B2 y

5 ?1 . 2

2 2 2.若圆 ( x ? 3) F ? ( y ?1) ? 3 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率 a b O A x

x2

y2



B1 。 【答案】 3 (第 1 题)

2 3

3.焦点在 x 轴上的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三 a 2 b2
.【答案】

角形内切圆的半径为

b ,则椭圆的离心率为 3

1 2

考点:椭圆的标准方程与几何性质. 4.【山东省肥城市 2017 届高三上学期升级统测,14】在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 .【答案】 2

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心 m m ?4

率为 5 ,则 m 的值为

5. 如图, 椭圆的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上,A 延长 B1F2 与 A2 B2 1 , A2 ,B 1 ,B2 为椭圆的顶点,F2 为右焦点, 交于点 P ,若 ?B1PB2 为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是

【答案】 (0,

5 ?1 ) 2

3
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x2 y 2 C 交于 P 、 Q 6.如图, F 1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点,若直线 y ? x 与双曲线 a b
两点,且四边形 PFQF 1 2 为矩形,则双曲线的离心率为 【答案】 2 ? 2 .

7.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点 F 作渐进线的垂线,设垂足为 P ( P 为第一象限的 点) ,延长 a 2 b2
1 (OF ? OQ ) ,则 2

FP 交抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )于点 Q ,其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点,若 OP ?

双曲线的离心率的平方为 考点:双曲线定义

5 ?1 . 【答案】 2

【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或不等式,再 根据 a,b ,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的 几何性质、点的坐标的范围等. 8. 已知双曲线 C :

x2 y 2 2 x ? c ? ? y 2 ? 4c 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,A, B 是圆 ? 2 a b

3 ? 17 4 与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1 A / / F2 B ,则双曲线 C 的离心率为______________. 【答案】
9. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 A, 它关于原点的对称点为 B, 点 F 为椭圆的右焦点, 且满足 AF ? BF , a 2 b2
6 , ] ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围为________________.【答案】 [ 3 ? 1, ] 12 6 3

设 ?ABF ? ? ,且 ? ? [

? ?

4
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10.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1 , F2 ,这两条曲线在第一象限的交点 为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF 1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1e2 的取值范 围是______________.【答案】 (

1 ,+ ? ) 3

11.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点,以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的一条渐 a 2 b2

近线交于点 M, 与双曲线交于点 N (点 M, N 均在第一象限) , 当直线 MF 双曲线离心率取值为 e0 , 1 与直线 ON 平行时, 则 e0 所在区间为______________.【答案】 (1, 2) 12.如下图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆顶点, F2 为右焦点,延长 B1F2 与

? 5 ?1 ? 若 ?B1PA2 为钝角, 则该椭圆离心率的取值范围是__. 【答案】 A2 B2 交于点 P , ? ? 2 ,1? ? ? ?

13 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP ( O 为双曲线的中心)的对称点在 a 2 b2

y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为__________. 【答案】 (1, 2]
→ → x2 y2 14. 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 M 上任一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范

a

b

围是[2c 3c ],其中 c= a -b ,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是_____________.【答案】 [

2,

2

2

2

3 2 , ] 3 2

15. 已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】 (1+ 2,+∞) 16..从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b 4b ],则这一椭圆 离心率 e 的取值范围是________. 【答案】 [ 5 3 , ] 3 2
2, 2

x2 y2 a b

17.已知 P 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 和双曲线 ( a ? b ? 0) ? ? 1 ? 2 ? 1 (a2 ? 0, b2 ? 0) 的一个交点, F1 , F2 是椭圆和双曲 1 1 2 a12 b12 a2 b2

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线的公共焦点, e1 , e2 分别为椭圆和双曲线的离心率, ?F1 PF2 ?

2? 1 1 ,则 ? 的最大值为 3 e1 e2

. 【答案】

2 3 3

18. 在平面直角坐标系中, 已知点 F ( 2, 2) 及直线 l : x ? y ? 2 ? 0 , 曲线 C1 是满足下列两个条件的动点 P( x, y )

?x ? 0 ? . 的轨迹:① PF ? 2d , 其中 d 是 P 到直线 l 的距离;② ? y ? 0 ?2 x ? 2 y ? 5 ?
(1) 求曲线 C1 的方程; (2) 若存在直线 m 与曲线 C1 、 椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点, 求椭圆 C2 离心率 e 的取值范围. a 2 b2

求解离心率的范围问题(教师版) 离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较 灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难, 本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳. 一、【知识储备】求离心率的方法 离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法: (1)直接求出 a、c,求解 e:已知标准方程或 a、c 易求时,可利用离心率公式 e ?

c 来求解; a

(2)变用公式,整体求出 e:以椭圆为例,如利用 e ?

c2 a 2 ? b2 b2 c2 , e ? ? ? ? 1 ? c2 ? b2 a2 a2 a2

1 ; b2 1? 2 c

(3)构造 a、c 的齐次式,解出 e:根据题设条件,借助 a、b、c 之间的关系,构造出 a、c 的齐次式,进而得到关 于 e 的方程,通过解方程得出离心率 e 的值. 二、求解离心率的范围的方法 1 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
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等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用 a, b, c 进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围. 【例 1】 已知椭圆的中心在 O ,右焦点为 F ,右准线为 l ,若在 l 上存在点 M ,使线段 OM
2 ? 的垂直平分线经过点 F,则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】 :? ,1? ? 2 ? ? ?

y

l
M F x

O

【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系,如何构建这种不等关系?可以利用方程和垂直平分线性质构建.利 用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化. 【牛刀小试】已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上存在点 P,使得由点 P 所 a 2 b2

作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是______________.【答案】 [

2 ,1) 2

【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线 PA,PB,则两切线形成的角 ?APB 最 小,若椭圆 C1 上存在点 P 令切线互 相垂直,则只需 ?APB ? 90 ,即 ? ? ?APO ? 45 ,
0 0

∴ sin ? ?

1 b 2 2 2 2 2 ,解得 a ? 2c ,∴ e ? ,即 e ? ,而 0 ? e ? 1 , ? sin 450 ? 2 a 2 2



2 2 ? e ? 1,即 e ? [ ,1) . 2 2

2 借助题目中给出的不等信息 根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立, ? 的范围等,进一步得到离 心率的不等关系式,从而求解.

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y A x

F1 B

o

F

【例 2 】 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点 O 的对称点为 B, F 为其右焦点,若 AF ? BF, 设 a 2 b2
.【答案】 [

?? ? ? ?ABF ? ? , 且 ? ? ? , ? , 则椭圆离心率的取值范围是 ?12 4 ?

2 6 , ] 2 3

【点评】 本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式 2c sin ? ? 2c cos ? ? 2a ,然后借助已知条件 ? ? ? 利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆 C:
x2 a2 ? y2 b2

?? ? ? , , ?12 4 ? ?

? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B,且点 B 在 x 轴

1 1 上的射影恰好为右焦点 F,若 <k< , 则椭圆的离心率的取值范围是 2 3

1 2 .【答案】( , ) 2 3

a2 ? c2 BF2 a2 ? c2 a2 ? c2 ? a ? 【解析】如图所示: AF2 ? a ? c |, BF2 ? , k ? tan ?BAF2 ? , AF2 a?c a ?a ? c? a
1 2 1 1 ? e2 1 1 a2 ? c2 1 1 1 ? ,解得 ? e ? . 又∵ <k< , ∴ ? ? ,∴ ? 2 3 2 3 3 1? e 2 3 a ?a ? c? 2

3 借助函数的值域求解范围
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根据题 设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函 数的定 义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 【例 3】已知椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 C2 : ? ? 1 有相同的焦点,则椭圆 C1 的离心 率 e 的取值范围为 m?2 n m n

_________________.【答案】 (

2 ,1) 2

【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式 e1 ? 1 ?
2

1 ,进而根据 m 的范 围,借助 m?2

反比例函数求解离心率的范围. 【牛刀小试】已知两定点 A(?2,0) 和 B (2,0) ,动点 P ( x, y ) 在直线 l : y 经过点 P ,则椭 圆 C 的离心率的最大值为______________.【答案】

? x ? 3 上移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点且

4 26

【解析】由题意可知, c ? 2 ,由 e ?

c 2 ? 可知 e 最大时需 a 最小,由椭圆的定义 |PA | ? | PB |? 2a ,即使得 a a

| PA | ? | PB | 最小,如图,设 A(?2,0) 关于直线 y ? x ? 3 的对称点 D( x, y) ,

? y ?0 ?1 ? ?1 ? ? x?2 由? ,可知 D(?3,1) . 0 ? y ? 2 ? x ? ? ?3 ? 2 ? 2
所以 |PA | ? | PB |?| PD | ? | PB |?| DB |? 所以 a ?

12 ? 52 ? 26 ,即 2a ? 26 ,

c 26 ,则 e ? ? a 2

2 4 ? . 26 26 2

4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围

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x2 y 2 在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? 0,b ? 0 ? 中, ? a ? x ? a , a b
P 是椭圆上任意一点,则 a ? c ? PF 1 ? a ? c 等。 【 例 4 】 设 F1 , F2 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , 且 | F1 F2 |? 2c , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 得 a 2 b2
3 3

| PF1 | ? | PF2 |? 2c2 ,则椭圆的离心率的最小值为______. 【答案】

2 【点评】 ? 为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆 锥曲线的共同特征把 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2c 转 化成基本量 a ,

c , e 与 x0 的关系式,结合椭圆的范围,即可得到 e 的不等式,从而求出其最小值.
【牛刀小试】已知 F1 , F2 分别为双曲线
2

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,若 a 2 b2

PF1 的最小值为 8 a ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是__________.【答案】 ?1,3? PF2
【解析】本题以双曲线为素材,综合考查双曲线的离心率和函数的最值,难度中等.设 | PF2 |? t ,则 | PF1 |? 2a ? t ,

t ? c ? a .又

| PF1 |2 (2a ? t )2 4a 2 ? ?t? ? 4a ? 8a ,当且仅当 t ? 2a 时,等号成立.所以 c ? a ? 2a ,所以 1 ? e ? 3 . | PF2 | t t

通过以上类型的分析,灵活多变的离心率范围问题是一个棘手问题,需要通过必要的练习进行方法和思路的寻找, 并且培养对题目中的不等关系的灵敏的感知和转化. 【迁移运用】 1.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A , B1 , B2 分别为椭圆 C : 椭圆 C 的右焦点.若 B2 F ? AB1 ,则椭圆 C 的离心率是 .

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的右、下、上顶点, F 是 a2 b2

5 ?1 y 【答案】 B2 2
O F A x

B1 (第 1 题)

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x2 y 2 2.若圆 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 3 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线相切,则此双曲线的离心率 a b
2 2



。 【答案】

2 3 3
|b 3?a| c 2 3 . ? 3 ? a ? 3b ? c ? 2b ? e ? ? c a 3

【解析】试题分析:由题意得

考点:直线与圆相切,双曲线离心率 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或等式,再根 据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几 何性质、点的坐标的范围等.

x2 y 2 3.焦点在 x 轴上的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三 a b
角形内切圆的半径为

b ,则椭圆的离心率为 3

.【答案】

1 2

考点:椭圆的标准方程与几何性质. 4.在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 m m ?4

.【答案】 2

【解析】试题分析:由题意得 m ? 0, 考点:双曲线离心率

m ? m2 ? 4 ? 5 ,解得 m ? 2. m

【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或不等式,再 根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的 几何性质、点的坐标的范围等. 5. 如图, 椭圆的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上,A 延长 B1F2 与 A2 B2 1 , A2 ,B 1 ,B2 为椭圆的顶点,F2 为右焦点, 交于点 P ,若 ?B1PB2 为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是

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【答案】 (0, 【解 析】

5 ?1 ) 2

考点:椭圆的性质. 【 思 路 点 睛 】 根 据 ?B1PB2 为 B2 A2 与 F2 B1 的 夹 角 , 并 分 别 表 示 出 B2 A2 与 F2 B1 , 由 ∠ B1PB2 为 钝 角 ,

B2 A2 F2 B1 ? ?ac ? b2 ? 0 ,利用椭圆的性质,可得到 e2 ? e ? 1 ? 0 ,即可解得离心率的取值范围.
6.如图, F 1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点,若直线 y ? x 与双曲线 C 交于 P 、 Q a 2 b2
. 【答案】 2 ? 2

两点,且四边形 PFQF 1 2 为矩形,则双曲线的离心率为

考点:1、双曲线的简单几何性质;2、双曲线的概念.
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【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念,考查学生综合知识能力和图形识别能力, 数中档题.其解题的一般思路为:首先根据矩形的性质并将直线 y ? x 代入双曲线 C 方程中即可得出点 P 的 坐标,再由矩形的几何性质可得 2 ?

a 2b 2 ? c ,最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用 b2 ? a2

矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.

7.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点 F 作渐进线的垂线,设垂足为 P ( P 为第一象限的 点) ,延长 a 2 b2
1 (OF ? OQ ) ,则 2

FP 交抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )于点 Q ,其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点,若 OP ?

双曲线的离心率的平方为

. 【答案】

5 ?1 2

考点:双曲线定义 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或不等式,再 根据 a,b ,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的 几何性质、点的坐标的范围等.

x2 y 2 2 x ? c ? ? y 2 ? 4c 2 8. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,A, B 是圆 ? a b
与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1 A / / F2 B ,则双曲线 C 的离心率为______________. 【答案】

3 ? 17 4

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考点:双曲线定义及离心率 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或不等式,再 根据 a,b,c 的关系消 掉 b 得到 a,c 的关系式,建立关于 a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的 几 何性质、点的坐标的范围等. 9. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 A, 它关于原点的对称点为 B, 点 F 为椭圆的右焦点, 且满足 AF ? BF , a 2 b2
6 , ] ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围为_________.【答案】 [ 3 ? 1, ] 12 6 3
2

设 ?ABF ? ? ,且 ? ? [

? ?

【 解 析 】 把

x?c 代 入 椭 圆 方 程 解 得 y ? ?b

a

, 取 A(c ,

b2 b2 ), 则 B(?c ? , ); 由 图 可 知 a a

b2 b b2 ,所以 tan ? ? tan ?OBF ?OBF ? ?AOF ? ?OFB, tan ?AOF ? , tan ?OFB ? a ? ac 2c 2ac
2

? ? e ?1 ? e2 ? 3 tan ?AOF ? tan ?OFB acb2 ;又 ? ? [ , ] ,所以 2 ? 3 ? tan ? ? , ? ? 2 2 4? 4 12 6 3 1 ? tan ?AOF ? tan ?OFB 2a c ? b 1? e
即2? 3 ?

e ?1 ? e2 ? 1? e
4

?

6 3 ,解得 . 3 ?1 ? e ? 3 3

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10.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1 , F2 ,这两条曲线在第一象限的交点 为 P, ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF 1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1e2 的取值范 围是______________.【答案】 (

1 ,+ ? ) 3

11.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右两个焦点,以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的一条渐 a 2 b2

近线交于点 M, 与双曲线交于点 N (点 M, N 均在第一象限) , 当直线 MF 双曲线离心率取值为 e0 , 1 与直线 ON 平行时, 则 e0 所在区间为______________.答案】 (1, 2)
2 2 2 【解析】因为 c ? a ? b ,e0 ?

c b ,双曲线的渐近线方程为 y ? x ,与圆 x2 ? y 2 ? c2 联立,得 M ? a,b ? , a a

与 双 曲 线 方 程

? a 2 c 2 ? a 2 b 2 c 4 ? a 2 c 2 ? a 2b 2 x2 y 2 ? ? 1 a ? b ? 0 N , 联 立 , 得 交 点 ? ? ? ? a 2 b2 c c ? ? ? ? ?
2

? ?, 即 ? ?
,即

? a 2c 2 ? a 2 c 2 ? a 2 N? , ? c c ?

, 直 线 MF 1

与 直 线 ON

平行时,即有

b c2 ? a2 ? a ? c a 2c 2 ? a 2

? a ? c?

2

?

2

c? 2 a ? ? ?2a2

3 c? ? 2 a, 即 有 c3 ? 2 a c2 ? 2 a2 c ?2 a ? 0 , 即 有 e03 ? 2e02 ? 2e0 ? 2 ? 0

,令

,f f ? x ? ? x3 ? 2x2 ? 2x ? 2 , 由 于 f ?1?< 0

0 f? 3 0 f? ? 2?> , ?> ,

>, 0 f 3 ?2 ? ?>

0 ,2 . , 则 e0 ? 1

?

?

12.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆顶点, F2 为右焦点,延长 B1F2 与 A2 B2 交 于点 P ,若 ?B1PA2 为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是______________.【答案】 ?

? 5 ?1 ? ? 2 ,1? ? ? ?
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13.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP ( O 为双曲线的中心)的对称点 a 2 b2

在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为__________. 【答案】 (1, 2] 【解析】若点 F 关于直线 OP 的对称中心在 y 轴上,则 kOP ? 1 ,根据题意,不存在这样的点 P, ∴双曲线渐近线的斜率

b c ? 1 ? b 2 ? a 2 ? a 2 ? b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? 2a 2 ? e ? ? (1, 2] . a a

→ → x2 y2 14. 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 M 上任一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范 a b 围是[2c 3c ],其中 c= a -b ,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是_____________.【答案】 [ → → → →
2, 2 2 2

3 2 , ] 3 2

【解析】

→ → → → |PF1|+|PF2| 2 2 ∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|·|PF2|≤( ) =a .当且仅当|PF1|=|PF2|=a 时,等号成立, 2

1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 ∴2c ≤a ≤3c ,∴2e ≤1≤3e .∴ ≤e ≤ ,即 ≤e≤ . 3 2 3 2

x2 y2 15. 已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B a b
两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】 (1+ 2,+∞)

b2 a c2-a2 π 1 2 2 【解析】 依题意,0<∠AF2F1< ,故 0<tan∠AF2F1<1,则 = <1,即 e- <2,e -2e-1<0,(e-1) <2,所 4 2c 2ac e
以 1<e<1+ 2. 16..从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b 4b ],则这一椭圆 离心率 e 的取值范围是________. 【答案】 [ 5 3 , ] 3 2
2, 2

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17.已知 P 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 和双曲线 ( a ? b ? 0) ? ? 1 ? 2 ? 1 (a2 ? 0, b2 ? 0) 的一个交点, F1 , F2 是椭圆和双曲 1 1 2 a12 b12 a2 b2
2? 1 1 ,则 ? 的最大值为 3 e1 e2
. 【答案】

线的公共焦点, e1 , e2 分别为椭圆和双曲线的离心率, ?F1 PF2 ?

2 3 3

18. 在平面直角坐标系中, 已知点 F ( 2, 2) 及直线 l : x ? y ? 2 ? 0 , 曲线 C1 是满足下列两个条件的动点 P( x, y )

?x ? 0 ? . 的轨迹:① PF ? 2d , 其中 d 是 P 到直线 l 的距离;② ? y ? 0 ?2 x ? 2 y ? 5 ?
(1) 求曲线 C1 的方程; (2) 若存在直线 m 与曲线 C1 、 椭圆 C2 : 【解析】 (1) PF ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点, 求椭圆 C2 离心率 e 的取值范围. a 2 b2

( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 2( x ? y) ? 4 ,


d?

x? y? 2 2

由① PF ? 即 xy ? 1.

2d , 得: x2 ? y2 ? 2 2( x ? y) ? 4 ? x2 ? y2 ? 2xy ? 2 2( x ? y) ? 2 ,
将 xy ? 1 代入②得: x ? 0,

1 1 5 1 ? 0, x ? ? ,解得: ? x ? 2. x x 2 2

所以曲线 C1 的方程为: y ?

1 1 ( ? x ? 2). x 2

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(2)(解法一)由题意,直线 m 与曲线 C1 相切,设切点为 M (t , ) , 则直线 m 的方程为 y ? ? ( )? 将y??

1 t

1 ? t ? 2. 2

1 t

1 2 1 1 ? ( x ? t ) ? ? 2 ( x ? t ) ,即 y ? ? 2 x ? . t t x x?t t

1 2 x ? 代入椭圆 C2 的方程 b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2 ,并整理得: 2 t t

(b2t 4 ? a2 ) x2 ? 4a2tx ? a2 (4 ? b2t 2 )t 2 ? 0.

(2)(解法二)设直线 m 与曲线 C1 : y ?

1 1 1 x2 y 2 ( ? x ? 2) 、椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 均相切于同一点 M (t , ), x 2 t a b



1 1 t2 1 ? 2 2 ? 1. 由 y ? 知 y? ? ? 2 ; 2 x x a bt

2x 2 b bx b2 x x y x a ? ?? ?? 2 . 由 2 ? 2 ? 1( y ? 0) 知 y ? b 1 ? 2 , y ? 2 a y a b a x2 x2 2 1? 2 a 1? 2 a a
2 2

2

?

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