2017-2018学年高中数学必修五教材用书(28份) 人教课标版13(优秀教案)


二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 . 二元一次不等式(组)与平面区域
二元一次不等式(组) [提出问题] 给出以下两个方程: ①+-=;②-+=. 问题:这两个方程是什么类型的方程?它们的解有多少个?它们对应的几何图形是什 么? 提示:都是二元一次方程;都有无穷多解;对应的几何图形是直线. 问题:若将上述方程变为①+->;②-+<,将得到什么?又有何特点? 提示:得到两个不等式,它们都含有个未知数,且未知数的次数都是. 问题:满足问题中不等式①②的实数,存在吗?若存在,试写出两组. 提示:都存在,满足①的(),(),满足②的(),(). [导入新知] .二元一次不等式 含有两个未知数,并且未知数的次数是的不等式称为二元一次不等式. .二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. .二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的和的取值构成的有序数对(,),叫做二元一次不等式(组) 的解,所有这样的有序数对(,)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. [化解疑难] 二元一次不等式组要求由多于一个的二元一次不等式组成的不等式组,其中的不等式 个数可以是二个、三个,当然也可以是多个.
二元一次不等式表示平面区域 [提出问题] 已知直线:--=. 问题:点(),(),(),(,-),(,-)与直线有何位置关系? 提示:点在直线上,点,,,均不在直线上. 问题:通过作图可以发现,点,,,分别在直线的哪个方向的区域内?

提示:点,在直线的左上方,点,在直线的右下方. 问题:点,,,的坐标分别满足下列哪个不等式? ()--<;()-->. 提示:点,的坐标满足(),,的坐标满足(). 问题:满足这两个不等式的解有多少个?这些解对应的平面直角坐标系中的点在相应 的直线上吗?若不在直线上,它们在这条直线的同一侧吗? 提示:这两个不等式的解有无穷多个;它们对应的点不在直线上,而是在这条直线的 同一侧. [导入新知] .二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式++ >表示直线++=某一侧所有点组成的平 面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式++≥表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. .二元一次不等式表示的平面区域的确定 ()直线++=同一侧的所有点的坐标(,)代入++,所得的符号都相同. ()在直线++=的一侧取某个特殊点(,),由++的符号可以断定++>表示的是直 线++=哪一侧的平面区域. [化解疑难] 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界,点定域”,定边界时需分清虚 实,定区域时常选原点(≠).
二元一次不等式(组)表示的平面区域 [例] 画出下列不等式(组)表示的平面区域. ()--≥;()(\\(-+≥,+≥,≤.)) [解] ()如图,先画出直线--=,
取原点()代入--中,∵×-×-=-<, ∴与点在直线--=同一侧的所有点(,)都满足--<, 因此--≥表示直线下方的区域(包含边界).

()先画出直线-+=(画成实线),如图,
取原点()代入-+, ∵-+=>, ∴原点在-+>表示的平面区域内,即-+≥表示直线-+=上及其右下方的点的集 合. 同理可得,+≥表示直线+=上及其右上方的点的集合,≤表示直线=上及其左方的 点的集合.上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域. [类题通法] .在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取 它们的公共部分即可.其步骤为:①画线;②定侧;③求“交”;④表示. .要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需在它所对应的直线的某一侧取 一个特殊点(,),根据++的正负判定. [活学活用] 画出不等式组(\\(+≤,->,+≥)) 表示的平面区域. 解:不等式+≤表示直线+-=上及其左下方的区域. 不等式->表示直线--=右下方的区域. 不等式+≥表示直线+=上及其右上方的区域. 所以不等式组表示的平面区域如图所示.

二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积

[例] (重庆高考)若不等式组(\\(+-≤,+-≥,-+≥))

为三角形,且其面积等于,则的值为( )

.-





表示的平面区域

[解析] 作出可行域,如图中阴影部分所示,易求,,,的坐标分别为(),(-,+),, ,(-2m).
△=△-△=·- =(+2m) =(+)=, 解得=或=-(舍去). [答案]

[类题通法]

求平面区域面积的方法

求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积.若

图形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则的,可采取分割的方法,将平

面区域分为几个规则图形求解.

[活学活用]

求由不等式组(\\(+≤,+≤,≥,≥))

确定的平面区域的面积阴影部分.

解:由不等式组作出其所确定的平面区域(阴影部分),

其四个顶点为(),(),(),().

过点作轴的垂线,垂足为.

则=-=, =-=, =,=, 得△=·=, 梯形=(+)·=. 所以阴影部分=△+梯形=.
用二元一次不等式组表示实际问题
[例] 投资生产产品时,每生产 吨需要资金 万元,需场地 平方米;投资生产产品时, 每生产 米需要资金 万元,需场地 平方米.现某单位可使用资金 万元,场地 平方米, 用数学关系式和图形表示上述要求.
[解] 设生产产品百吨,生产产品百米,

则(\\(+≤,+≤,≥,≥.)) 用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所示(阴影部分).
[类题通法] 用二元一次不等式组表示实际问题的方法
用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时: ()先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示; ()将问题中所有的量都用这两个字母表示出来; ()由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式; ()把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来. [活学活用] 有粮食和石油两种货物,可用轮船和飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的 运输量如下表:
货物 轮船运输量 飞机运输量 粮食 石油 现在要在一天之内运输 粮食和 石油,试用代数和几何两种方法表示运输工具和运 输数量满足的关系. 解:设需要艘轮船,架飞机,代数关系式和几何描述(如图)分别为 (\\(+≥,+≥,,∈.))

[典例] 画出不等式(++)(-+)>表示的区域. [解] 原不等式等价于①(\\(++>,-+>.)) 或 ②(\\(++<,-+<.)) 分别画出不等式组①和②表示的平面区域取并即可(如 图阴影部分).
[易错防范] .由(++)(-+)>不能正确转化为两个不等式组. .未注意不包括边界,而把边界画成实线. [成功破障] 画出不等式(-)(--)≤表示的平面区域. 解 : 不 等 式 ( - )( - - )≤ 等 价 于 不 等 式 组 (\\(-≥,--≤,)) 或 (\\(-≤,--≥,)) 而不等式 组(\\(-≤,--≥,)) 无解,故(-)(--)≤表示的平面区域如图所示(阴影部分).
[随堂即时演练] .在直角坐标系中,不等式-≤表示的平面区域是( )
解析:选 原不等式等价于(+)(-)≥,因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括 边界),故选.
.不等式组(\\(≥,+≥,+≤)) 所表示的平面区域的面积等于( )

解析:选 作出平面区域如图所示为△,

由(\\(+-=,+-=,))

可得(),

又(),,

∴△=··=××=,

故选.

.用不等式表示直线=-左上方的平面区域为.

答案:>-

.已知点(,-)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式-+>表示的平面区

域内,则的取值范围是.

解析:设(,-)关于原点的对称点为′(-,),

因为点与点′有且只有一个适合不等式,

所以(\\(++>,,--+≤,)) 或(\\(++≤,,--+>,))

得≥-或≤-.

答案:∪

.如图,请写出表示阴影部分区域的不等式组.

解:由于直线的方程为=-,直线的方程为=,直线的方程为-+=,

因此表示该区域的不等式组是(\\(-+≥,≤,≥-.))

[课时达标检测]

一、选择题

一、选择题

.不等式组(\\(<,-≤,≥)) 表示的区域为,点(,-),点(),则( )

.?,?

.?,∈

.∈,?

.∈,∈

解析:选 点不满足≥,点不满足<.故选.

.设点(,),其中,∈,满足+≤的点 的个数为( )





. .无数个 解析:选 作(\\(+≤,,∈)) 的平面区域,
如图所示,符合要求的点的个数为,故选. .已知点()和(-)在直线-+=的两侧,则的取值范围是( ) .<-或> .-<< .-<< .<-或> 解析:选 要使点()和(-)在直线-+=的两侧,必须且只需(×-×+)[×(-)-× +]<即可,由此解得-<<. .不等式组(\\( -+ + ,≤≤)) 表示的平面区域是一个( ) .三角形 .直角梯形 .梯形 .矩形 解析:选 不等式组(\\( -+ + ,≤≤,)) 等价于(\\(+≥,-+≥,≤≤,)) 或(\\(+≤,-+≤,≤≤.)) 分别画出其平面区域,可知选. .完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为∶,请木工需付工资每人元,请瓦工需付 工资每人元,现有工资预算 元,设木工人,瓦工人,请工人数的限制条件是( ) (\\(+≤,,∈*)) (\\(+≤ ,,()=())) (\\(+≤,,()=(),,∈*)) (\\(+<,,()=())) 解析:选 排除法:∵,∈*,∴排除,. 又∵与的比例为∶, ∴排除.故选. 二、填空题 .如图,其中可以表示图中阴影部分所表示的平面区域的不等式组为.

解析:由已知条件和阴影区域可以得出:两条垂直于坐标轴的直线分别为=,=,且

斜线过点,,则该直线方程为-+=.再利用三个特殊点(),(),()中的不在直线上的一个

点进行验证,从而可以分析出阴影区域所对应的部分是在直线的哪一侧,进而可以列出一























(\\(≤(),≥(),-+()≥.))

答案:(\\(≤(),≥(),-+()≥))

.若不等式组(\\(-+≥,≥,≤≤)) 表示的平面区域是一个三角形,则的取值范

围是.

解析:不等式组表示的平面区域如图所示.当=过(,)时表示的平面区域为三角形,

即△;当<<时,表示的平面区域为三角形.综上,当≤<时,表示的平面区域为三角形.

答案:[) .若不等式组(\\(≤,≥,-≤)) 表示的平面区域为,则当从-连续变化到时,动 直线+-=扫过中的那部分区域的面积为. 解析:如图所示,为△所表示的区域,而动直线+=扫过中的那部分区域为四边形, 而(-),(),(),,(),△为直角三角形. ∴四边形=××-××=.

答案: 三、解答题 .某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知 木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要 和 ,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要 和 .又木工、漆工每天工作分别不得超过 和 .请列出满足生产条件的数学关系式,并画 出相应的平面区域.

解:设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为和,它们满足的数学关系式为 (\\(+≤,+≤,≥,∈,≥,∈.)) 分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域, 然后取交集,如图中的阴影部分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.
.一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是元,又知其他费用 最少需支出元,而每月可用来支配的资金为元,这名新员工可以如何使用这些钱?请用不 等式(组)表示出来,并画出对应的平面区域.
解:不妨设用餐费为元,其他费用为元,由题意知不小于,不 小于,与的和不超过,用不等式组表示就是 (\\(+≤,≥,≥.))
对应的平面区域如图阴影部分所示.
.设不等式组(\\(-+≥,+≥,≤)) 表示的平面区域是. ()求的面积; ()若点()在平面区域内,求整数的取值的集合. 解:()作出平面区域,它是一个等腰直角三角形(如图所示).
由(\\(+=,=,)) 解得(,-); 由(\\(-+=,=,)) 解得(); 由(\\(-+=,+=,)) 解得(-). 于是可得=,边上的高=. ∴=××=. ()由已知得(\\(-+≥,+≥,≤,∈,)) 即(\\(≥-,≥-,≤,∈.)) 亦即(\\(-≤≤,∈,)) 得=-. 故整数的取值集合是{-}. .()画出不等式组(\\(+-≥,+-≤,≤+)) 所表示的平面区域并求其面积; ()求由不等式≤及≤≤+所表示的平面区域的面积大小.

解:()如图所示,其中阴影部分
是不等式组(\\(+-≥,+-≤,≤+,)) 所表示的平面区域. 由(\\(-+=,+-=,)) 得(). 同理得(-),(,-). ∴==,而点到直线+-=的距离为==, ∴△=·=××=. ()可将原不等式组分解成如下两个不等式组: (\\(≥,≥,≤+,≤,)) 或(\\(≤,≥-,≤-+,≤.)) 上述两个不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示,它所围成的面积为=×× -××=.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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