推理与证明期末复习学案(详解教师用)


正阳高中高二数学复习系列 非常学案 20130524 ____________________________________________________________________________________________

推理与证明、复数
一、非常了解、考试大纲 1、推理与证明 (1)合情推理与演绎推理 ① 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学 发现中的作用. ② 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推 理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. (2)直接证明与间接证明 ① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过 程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点. (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 2、数系的扩充与复数的引入 (1)复数的概念 ①理解复数的基本概念. ②理解复数相等的充要条件.③了解复数 的代数表示法及其几何意义. (2)复数的四则运算 ①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、 减运算的几何意义. 二、非常考题、高考真题 例 1、(2012 高考福建理) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)sin 13°+cos 17°-sin13°cos17° (2)sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° (3)sin 18°+cos 12°-sin18°cos12° (4)sin (-18°)+cos 48°- sin(-18°)cos48° (5)sin (-25°)+cos 55°- sin(-25°)cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:解法一: (1)选择(2)式,计算如下: 1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1- sin30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-a)= . 4 证明如下: 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) 2 2 =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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3 2 3 1 3 1 2 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α 4 2 4 2 2 3 2 3 3 2 = sin α + cos α = . 4 4 4 解法二: (1)同解法一. 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 4 证明如下: 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) 1-cos2α 1+cos? 60°-2α ? = + -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 2 2 1 1 1 1 3 1 2 = - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos2α - + cos2α = . 4 4 4 4 例 2、(2012 高考全国理 12) 正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF=

7 .动点 P 从 E 出发沿 3

直线向 F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点 P 第一次 碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A)16 (B)14 (C)12 (D)10 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形,来确 定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可。 【解析】结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行 的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时,需要碰撞 14 次即可. * k k-1 1 0 例 3、(2012?湖南卷) 对于 n∈N ,将 n 表示为 n=ak?2 +ak-1?2 +?+a1?2 +a0?2 , 当 i=k 时,ai=1,当 0≤i≤k-1 时,ai 为 0 或 1.定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0, a1,a2,?,ak 中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则 bn=0. (1)b2+b4+b6+b8=________; (2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数, cm 的最大值 则 是________. 答案.(1)3 (2)2 [解析] 本题以二进制为依据考查数列推理,意在考查考生的逻辑推理能力,具体的解题思 路和过程:由前几项的结果,得出规律. 1 2 1 0 (1)由 2=2 +0=10(2)易知 b2=1,4=1?2 +0?2 +0?2 =100(2)可知 b4=1,同样可知 b6=0,b8=1,所以 b2+b4+b6+b8=3; (2)任何一个二进制的数,当 1 的个数为奇数的时候,连续的这样的数最多只有两个, 所以 cm 的最大值是 2. [易错点] 本题易错一:推理能力不行,无法找到规律,导致无从下手;易错二:发现 不了数列与二进制的关联,导致第(2)问无从下手. 例 3、 (2012 全国卷理)下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i



p1 : z ? 2

p2 : z 2 ? 2i

p3 : z 的共轭复数为1 ? i

p4 : z 的虚部为 ?1

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( A) p2 , p3
三、非常训练、当堂检测

( B ) p1 , p2

(C) p? , p?

( D ) p? , p?

1.(2012 江西)观察下列各式: ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a 4 ? b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11,? a 则a ?b ? (
10 10



A.28

B.76

C.123

D.199

【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】 等式右面的数构成一个 数列 1,3,4,7,11, 数列的前两项相加 后面的项, 即

an ? an?1 ? an?2 ,所以可推出 a10 ? 123,选 C.
2.(2012?江西卷) 观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y| =2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?, 则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( ) A.76 B.80 C.86 D.92 [解析] 个数按顺序构成首项为 4,公差为 4 的等差数列,因此|x|+|y|=20 的不同整数解 (x,y)的个数为 4+4(20-1)=80,故选 B.

(1 ? 2i ) 2 3.(2009 四川理)复数 的值是 3 ? 4i
A.-1 B.1

( A ) D. i

C.- i

4.(2009 陕西理)已知 z 是纯虚数, (A)2i (B)i (C)-i

z?2 是实数,那么 z 等于( D ) 1-i
(D)-2i

5.(2008 广东理)已知 0 ? a ? 2 ,复数 z 的实部为 a ,虚部为 1,则 z 的取值范围是( C )

, A. (1 5)

, B. (1 3)

C. (1 5) ,

D. (1 3) ,

6.(2008 山东理)设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4, z? z =8,则 A. i B. -i
2

z 等于( D ) z
±i -1 。 .

C.

±1

D.

7.(2008 北京理)已知 (a ? i) ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ? 8.(2010 北京理)在复平面内,复数

2i 对应的点的坐标为 (-1,-1) 1? i

四、非常提高、课后作业 1.(2012?湖北卷])我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六 乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积

V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ?

3

16 V . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 9

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π =3.14159? 判断,下列近似公式中最精确的一个是

11. d ? 【答案】D

3

16 V 9

B. d ? 3 2V

C. d ?

3

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

考点分析:考察球的体积公式以及估算. 【解析】

3 4 d 6V a 6b 6?9 由V ? ? ( )3,得d ? , 设选项中常数为 , 则? = ;A中代入得? = =3.375, 3 2 ? b a 16 6 ?1 6 ?157 6 ?11 B中代入得? = =3,C中代入得? = =3.14, D中代入得? = =3.142857, 2 300 21 由于D中值最接近?的真实值,故选择D。
2.(2012 高考陕西理 11) 观察下列不等式:

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
?? 照此规律,第五个不等式为 ... .

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? . 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6 1 1 1 1 1 11 【解析】通过观察易知第五个不等式为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? . 2 3 4 5 6 6
【答案】 1 ? 3.(2012 高考真题湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121, 3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111, 121,?,191,202,?,999.则 (Ⅰ 位回文数有 )4 【答案】90, 9 ? 10
n

个; 个.

(Ⅱ 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有 )

【解析】 )4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为 (Ⅰ 0,有 9(1~9)种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 ? 10 ? 90 种。 答案:90 (Ⅱ )法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同, 所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况, 第一位不 能为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 ? 10 .
n

法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文 数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,??99” ,因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 ,而当奇数位时, 可以看成在偶数位的最中间添加 0~9

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这十个数,因此 4.(2010 全国卷理)已知复数 z ?

,则答案为 9 ? 10 .
n

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z =( A ) (1 ? 3i)2

1 C.1 D.2 2 2?i 5.(2011 山东理)复数 z ? ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( D ) 2?i
A. B. (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

1 4

6.(2011 辽宁理)a 为正实数,i 为虚数单位,

a?i ? 2 ,则 a=(B ) i
(C) 2 (D)1

(A)2

(B) 3

7.(2011 重庆理)复数 (A) ?

i 2 ? i 3 ? i ?1 ?( A ) 1? i
(B) ?

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

(C)

1 1 ? i 2 2

(D)

1 1 ? i 2 2

( 8. ( 2012 重 庆 理 ) 若 1+i)(2+i)=a+bi , 其 中 a, b ? R, i 为 虚 数 单 位 , 则 a ? b ?
4 ;

9. 2011 江苏理) ( 设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) 则 z 的实部是__1_______ ,


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