【新】安徽省合肥一六八中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题理(宏志班)


小中高 精品 教案 试卷

合肥一六八中学 2018—2019 学年第一学期期中考试 高二数学试题(宏志班)
一、选择题(共 60 题,每题 5 分。每题仅有一个正确选项。 ) 1.已知 a、b 是两条平行直线,且 a∥平面 β ,则 b 与 β 的位置关系是( A.平行 C.b 在平面 β 内 2.在下列命题中,不是公理的是( ) B.相交 D.平行或 b 在平面 β 内 )

A.平行于同一条直线的两条直线互相平行 B.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 C.空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两角相等或互补 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 3.如果 ac>0,bc>0,那么直线 ax+by+c=0 不通过( A.第一象限
2

) D.第四象限 ) ,π )

B.第二象限 C.第三象限

4.直线(a +1)x﹣y+1=0(其中 a∈R)的倾斜角的取值范围是( A.[0, ] B.[ , ) C. ( , ] D.[ )

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.12π

B.24π

C.

D.72π

6.半径为 5 的球内有一个高为 8 的内接正四棱锥,则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为 ( A. ) B. C. D.

7.三棱柱 ABC﹣A'B'C′的所有棱长都等于 2,并且 AA'⊥平面 ABC,M 是侧棱 BB′的中点, 则直线 MC′与 A′B 所成的角的余弦值是( A.
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) C. D.

B.
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8.直线 l 过点 P(1,0) ,且与以 A(2,1) , 斜率的取值范围是( A. C. ) B. D.[1,+∞)

为端点的线段总有公共点,则直线 l

9.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的中点,F 是四边形 BCC1B1 内的动点,且 A1F∥平面 D1AE,下列说法正确的个数是( ①点 F 的轨迹是一条线段 ②A1F 与 D1E 不可能平行 ③A1F 与 BE 是异面直线 ④当 F 与 C1 不重合时,平面 A1FC1 不可能与平面 AED1 平行 )

A.1

B.2

C. 3

D.4

10.在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cosθ ,sinθ )到直线 x﹣my﹣2=0 的距离.当 θ 、 m 变化时,d 的最大值为( A.1 B.2 ) C. 3 D.4

11.生于瑞士的数学巨星欧拉在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理: “三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离 之半.”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC 中,设 O、H、G 分别是外心、垂心和重心, 下列四个选项错误的是( A.HG=2OG C.设 BC 边中点为 D,则有 AH=3OD ) B. + + =

D.S△ABG=S△BCG=S△ACG

12.如图 1,直线 EF 将矩形纸 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF,将梯形 CDEF 沿边 EF 翻

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折,如图 2,在翻折的过程中(平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合)下面说法正确的是(



A.存在某一位置,使得 CD∥平面 ABFE B.存在某一位置,使得 DE⊥平面 ABFE C.在翻折的过程中,BF∥平面 ADE 恒成立 D.在翻折的过程中,BF⊥平面 CDEF 恒成立 二、填空题(共 20 分,每题 5 分) 13 、 已 知 直 线 l1 : ax? 2 y? 6 ? 0与 l2 : x ? ? a ?1? y ? a ?1 ? 0 平 行 , 则 实 数 a 的 取 值 是
2

________ 14.球的半径为 5cm,被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为 6cm 和 8cm,则这两个平 面之间的距离是 cm.

15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天 池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积 水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面 积;② 一尺等于十寸)

16.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为棱 AB 上一点,且 AE=1,BE=3,以 E 为球心,线段 EC 的 长为半径的球与棱 A1D1,DD1 分別交于 F,G 两点,则△AFG 的面积为________ 三、解答题(共 70 分,每题必需要有必要的解答过程) 17.(10 分) 设直线 l 的方程为( a +1)x+y+2- a =0 ( a ∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

18.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, ?OBC 的边 BC 所在的直线方程是 l : x ? y ? 3 ? 0 , (1)如果一束光线从原点 O 射出,经直线 l 反射后,经过点 (3, 3) ,求反射后光线所在直线的

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方程; (2)如果在 ?OBC 中, ?BOC 为直角,求 ?OBC 面积的最小值.

19.(12 分)如图是一个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为 ABC, 已知 A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:

(Ⅰ)该几何体的体积; (Ⅱ)截面 ABC 的面积. 20(12 分).如图,已知正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内 的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (Ⅰ)证明:G 是 AB 的中点; (Ⅱ)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F,并求四面体 PDEF 的体积.

21.(12 分)如图,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD, AB=BD. (1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值.
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22. ( 12 分)如图,在三棱锥 , , 是

中, 的中点,

是正三角形, 为其中心 . 面 .





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(1)证明: 面 ; (2)求 与面 所成角的正弦值.

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合肥一六八中学 2018—2019 学年第一学期期中考试 高二数学试题(宏志班)参考答案 一.选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 B 9 C 10 C 11 C 12 C

二、填空题 13. -1 14. 1 或 7 15. 3 16. 4 三、解答题 17.(1)3x+y=0 或 x+y+2=0; (2)a≤-1.

y0 ? ? ?1 ? ? x0 ? 3 ? x 0 18 (1) 设点 O 关于直线 l 的对称点为 A( x0 , y0 ) , 由题意应有 ? , 解得 ? , ? y0 ? ?3 ? x0 ? y0 ? 3 ? 0 ?2 2 ?
所以点 A(3, ? 3) .因为反射后光线经过点 A(3, ? 3) 和点 (3, 3) ,所以反射后光线所在直线的 方程为 x ? 3 . (2)设 OD 为 ?OBC 的一条高,则 | OD |?

3 ? ,设 ?BOD ? ? (0 ? ? ? ) ,可得 2 2

| BC |?| BD | ? | DC |?| OD | ? tan θ ?

1 | OD | ,所以 ?OBC 的面积 S ? | BC | ? | OD | 2 tan θ

1 | OD | 1 | OD | 9 ? (| OD | ? tanθ ? )? | OD | ? ? 2 | OD | ? tanθ ? ? | OD |?| OD |2 ? , 当 且 仅 2 tanθ 2 tanθ 2
当? ?

?
4

时,等号成立.

所以, ?OBC 面积的最小值是

9 . 2

19.(Ⅰ)过 C 作平行于 A1B1C1 的截面 A2B2C,交 AA1,BB1 分别于点 A2,B2. 由直三棱柱性质及∠A1B1C1=90°可知 B2C⊥平面 ABB2A2, 则该几何体的体积 V= = ×2×2×2+ × ×(1+2)×2×2=6, (Ⅱ)在△ABC 中,AB= BC=
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AC= 则 S△ABC= ×2 ×

=2

. =

20.(Ⅰ)证明:∵P﹣ABC 为正三棱锥,且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影, ∴PD⊥平面 ABC,则 PD⊥AB, 又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影, ∴DE⊥面 PAB,则 DE⊥AB, ∵PD∩DE=D, ∴AB⊥平面 PDE,连接 PE 并延长交 AB 于点 G, 则 AB⊥PG, 又 PA=PB, ∴G 是 AB 的中点; (Ⅱ)在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影. ∵正三棱锥 P﹣ABC 的侧面是直角三角形, ∴PB⊥PA,PB⊥PC, 又 EF∥PB,所以 EF⊥PA,EF⊥PC,因此 EF⊥平面 PAC, 即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连结 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正三角形 ABC 的中心. 由(Ⅰ)知,G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD= CG. 由题设可得 PC⊥平面 PAB,DE⊥平面 PAB,所以 DE∥PC,因此 PE= PG,DE= PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE=2,PG=3 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2. 所以四面体 PDEF 的体积 V= ×DE×S△PEF= ×2× ×2×2= . 21.(1)证明:如图所示,取 AC 的中点 O,连接 BO,OD. ∵△ABC 是等边三角形,∴OB⊥AC. △ABD 与△CBD 中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD, ∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD. ∵△ACD 是直角三角形, ∴AC 是斜边,∴∠ADC=90°.
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,PE=2



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∴DO= AC. ∴DO +BO =AB =BD . ∴∠BOD=90°. ∴OB⊥OD. 又 DO∩AC=O,∴OB⊥平面 ACD. 又 OB? 平面 ABC, ∴平面 ACD⊥平面 ABC. (2)解:设点 D,B 到平面 ACE 的距离分别为 hD,hE.则 ∵平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分, = .
2 2 2 2



=

=

=1.

∴点 E 是 BD 的中点. 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取 AB=2. 则 O(0,0,0) ,A(1,0,0) ,C(﹣1,0,0) ,D(0,0,1) ,B(0, =(﹣1,0,1) , = , =(﹣2,0,0) . ,0) ,E .

设平面 ADE 的法向量为 = (x, y, z) , 则

, 即

, 取 =



同理可得:平面 ACE 的法向量为 =(0,1, ∴cos = = =﹣

) . .

∴二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值为



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22.(1)连结

,因为 是正三角形

的中心,所以 在

上且

,又



所以在 所以 所以

中有 ,又 平面 . 平面

, , 平面 ,

(2)解法一:作 由面 所以 连结 面 面 ,则 知 ,所以面 为

交 面

的延长线于 ,作 ,所以 面 ,作 ,又 ,则



的延长线于 , ,所以 面

与面

所成角,

∴ 解法二:以 ∵ ∴

,即所求角的正弦值为 . 中点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. , , , , ,









.

设面

的法向量为

,则

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取 ∴

, ,即所求角的正弦值为 .

息 不 命 功 会 就 油 wygF加 等 坐 所 无 要 堂 一 老 对 预 没 由 些 程 过 备 准 识 知 接 做 上 是 解 理 步 初 。 容 内 读 阅 地 立 独 先 己 前 之 课 讲 师 教 Mr.Johnsadevbupifltc,在 益 受 身 终 使 造 神 精 新 创 力 能 自 培 率 效 高 提 略 策 形 ; 动 主 和 性 极 积 生 发 激 于 利 有 , 惯 习 学 的 好 良 成 养

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