2014北京西城区高考数学(文)二模试题


北京市西城区 2014 年高三二模试卷



学(文科)
共 40 分)

2014.5

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x ? 1} ,则( (A) A ? B (B) B ? A (C) A )

B??

(D) A

B??

2.在复平面内,复数 z =(1 ? 2i)(1 ? i) 对应的点位于( (A)第一象限 (C)第三象限



(B)第二象限 (D)第四象限

x2 y 2 3.直线 y ? 2 x 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率 a b
是( )

(A) 3

(B)

3 2

(C) 5

(D)

5 2


4.某四棱锥的三视图如图所示,记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( (A) 2 ? A ,且 4 ? A (B) 2 ? A ,且 4 ? A (C) 2 ? A ,且 2 5 ? A (D) 2 ? A ,且 17 ? A 1 1 正(主)视图 4 4

1 1 侧(左)视图

俯视图

5.设平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



6.在△ ABC 中,若 a ? 4 , b ? 3 , cos A ?

1 ,则 B ? ( 3
π 3 2π (D) 3
(B)



π 4 π (C) 6
(A)

?? x 2 ? 4 x, x≤4, 7. 设函数 f ( x) ? ? 若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上单调递增,则实数 a ?log 2 x, x ? 4.
的取值范围是( (A) (??,1] ) (B) [1, 4] (C) [4, ??) (D) (??,1] [4, ??)

8. 设 ? 为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从 ? 中的任意一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分 别为 M , N ,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x (?) ,点 N 的纵坐标的最大值与 最小值之差为 y (?) . 如果 ? 是边长为 1 的正方形,那么 x(?) ? y (?) 的取值范围是( (A) [ 2, 2 2] (B) [2, 2 2] (C) [1, 2] ) (D) [1, 2 2]

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在等差数列 {an } 中, a1
2

? 1 , a4 ? 7 ,则公差 d ? _____; a1 ? a2 ?

? an ? ____.

10.设抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点,且点 M 的横坐标为 2,则

| MF |?

.

开始

11.执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为______.

a =3,i=1 i >5
否 是

a?

1? a 1? a

输出 a 结束

i=i+1

? x≥0, ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y≥0, 所表示的平面区域是 ? ,不等式组 ? x ? y ? 8≤0 ?

?0≤x≤4, 所表示的平面区域是 ? . 从区域 ? 中随机取一点 P( x, y) , 则 P 为区域 ? 内的点的 ? 0 ≤ y ≤ 4 ?
概率是_____. 13.已知正方形 ABCD,AB=2,若将 ?ABD 沿正方形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 则在翻折的过程中,四面体 A ? BCD 的体积的最大值是____.

14.已知 f 是有序数对集合 M = {( x, y) | x 挝 N* , y

N*}上的一个映射,正整数数对 ( x, y ) 在

映射 f 下的象为实数 z,记作 f ( x, y) = z . 对于任意的正整数 m, n (m > n) ,映射 f 由下表给 出:

( x, y ) f ( x, y)

( n, n )

(m, n)

(n, m)
m+ n

n

m- n

则 f (3,5) = __________,使不等式

f (2x , x)≤4 成立的 x 的集合是_____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? 1 . (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )当 x ? [?

π , 0] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2

16. (本小题满分 13 分) 为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A,B 两班中各抽 5 名学 生进行视力检测.检测的数据如下:

A 班 5 名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9. B 班 5 名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.
(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (Ⅱ)由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大?(结论不要求证明) (Ⅲ)根据数据推断 A 班全班 40 名学生中有几名学生的视力大于 4.6?

17. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 , E 为 AA 1 的中点, O 为 BD 1 的中点. (Ⅰ)求证:平面 A 1 BD 1 ? 平面 ABB 1A 1; (Ⅱ)求证: EO // 平面 ABCD ; (Ⅲ)设 P 为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱上一点,给出满足条件 OP ? 2 的点 P 的 个数,并说明理由. A1 O D A 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? B C D1 B1 C1

E

ex ,其中 a ? R . ax 2 ? x ? 1

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的定义域和极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x) ? 1 的零点个数,并证明.

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 W : 且与椭圆 W 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)求 ?ABF1 的周长; (Ⅱ)如果 ?ABF1 为直角三角形,求直线 l 的斜率 k .

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,斜率为 k 的直线 l 经过右焦点 F2 , 2

20. (本小题满分 13 分) 在无穷数列 {an } 中,a1 ? 1 , 对于任意 n ? N , 都有 an ? N* ,an ? an?1 . 设 m ? N , 记
* *

使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (Ⅰ)设数列 {an } 为 1,3,5,7, ,写出 b1 , b2 , b3 的值;

(Ⅱ)若 {an } 为等比数列,且 a2 ? 2 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? (Ⅲ)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } .

? b50 的值;


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