2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)


上海 数学(理工农医类)
1.(2012 上海,理 1)计算: 3 ? i = 1-2i (i 为虚数单位). 1? i 3 ? i = (3 ? i)(1 ? i) = 3 ? 3i ? i ? i 2 =1-2i. 2 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

2.(2012 上海,理 2)若集合 A={x|2x+1>0},B={x||x-1|<2},则 A∩B= . 1 1? ? ? ? ? x | ? ? x ? 3? A={x|2x+1>0}= ? x | x ? ? ? ,B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}, 2 2? ? ? ? ∴A∩B= ? x | ? 1 ? x ? 3? . ? ? 2 ? ? 2   cosx 的值域是 3.(2012 上海,理 3)函数 f(x)= . sinx 1 ?

? 5 3 ? f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2- sin2 x ,∵sin 2x∈[-1,1],∴f(x)∈ ? 5 3 ? . ? ? 2 ,- 2 ? ? ? 2 ,- 2 ? 2 ? ? ? ? 4.(2012 上海,理 4)若 n=(-2,1)是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表 示). arctan 2 ∵n=(-2,1)是直线 l 的一个法向量,∴v=(1,2)是直线 l 的一个方向向量,∴l 的斜率为 2,即倾斜角的大小为 arctan 2.
5.(2012 上海,理 5)在 ? x ? 2 ? 的二项展开式中,常数项等于 ? ? x? ? -160
6 3
6

.

2 ? 的二项展开式中的常数项为 C 3 ·(x)3· ? 2 ? =-160. ? 6 ?x? ? ?? ? x? ? ? x? 6.(2012 上海,理 6)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 1 为公比的等比数列,体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…,则 2 . lim (V1+V2+…+Vn)=
n??

2 8 ? ?1? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? n ? ? ? ? V1+V2+…+Vn= ? ? 8 ? ? = 8 · ?1 ? ? 1 ? ? , ? ? 7 ? ?8? ? 1 ? ? 1? 8 ∴ lim (V1+V2+…+Vn)= 8 . n?? 7 7.(2012 上海,理 7)已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数),若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是 . ?e x ? a , x ? a, 当 x>a 时 f(x)单调递增,当 x<a 时,f(x)单调递减,又 f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以 a≤1. (-∞,1] f(x)= ? a? x ?e , x ? a,
n

8 7

棱长是以 1 为首项、 1 为公比的等比数列,则体积 V1,V2,…,Vn 是以 1 为首项、 1 为公比的等比数列,所以

8.(2012 上海,理 8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为

.

3π 3

如图,由题意知 1 πl2=2π,

2
∴l=2. 又展开图为半圆,∴πl=2πr,

1

∴r=1,故圆锥的高为 3 ,体积 V= 1 πr2h= 3π . 3 3 9.(2012 上海,理 9)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)= -1 令 H(x)=f(x)+x ,则 H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,∴f(-1)=-3, ∴g(-1)=f(-1)+2=-1.
2

.

10.(2012 上海,理 10)如图,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α= π .若将 l 的极坐标方程写成

6
ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)= .

1 π ? ? sin ? ? θ ? ?6 ?

如图所示,根据正弦定理,有

?
5π sin 6

=

2 5π ? ? sin ? π ? ? ? ? 6 ? ?

,∴ρ=

1 . π ? ? sin ? ? θ ? ?6 ?

11.(2012 上海,理 11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人 选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).

2 3

2 2 2 若每人都选择两个项目,共有不同的选法 C3 C3 C3 =27 种,而有两人选择的项目完全相同的选法有

2 2 2 C3 C3 A 2 =18 种,故填

2. 3 3
.

12.(2012 上海,理 12)在平行四边形 ABCD 中,∠A= π ,边 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC,CD 上的点,

???? ? ???? ???? ???? ? 且满足 | BM | = | CN | ,则 AM · AN 的取值范围是 ??? ? ??? ? | BC | | CD | ???? ? ???? [2,5] 如图,设 | BM | = | CN | =λ, ??? ? ??? ? | BC | | CD |

???? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? ??? ? ??? ???? ? ? ??? ??? ???? ? 则 λ∈[0,1], AM · AN =( AB + BM )·( AD + DN )=( AB +λ BC )·( AD +(λ-1) CD )= AB · AD +(λ??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ??? ? ? 1) AB · CD +λ BC · AD +λ(λ-1) BC · CD =1×2× 1 +(λ-1)×(-4)+λ×1+λ(λ-1)×(-1)=1+4-4λ+λ-λ2+λ=-(λ+1)2+6.
???? ???? ? ∵λ∈[0,1],∴ AM · AN ∈[2,5].

2

13.(2012 上海,理 13)已知函数 y=f(x)的图像是折线段 ABC,其中 A(0,0),B ? 1 ,5 ? ,C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图 ? ? ?2 ? 像与 x 轴围成的图形的面积为 .

5 4

1 ? ? 10 x, 0 ? x ? 2 , ? 由题意 f(x)= ? ??10 x ? 10, 1 ? x ? 1, ? 2 ? 1 ? 10 x 2 , 0 ? x ? , ? 则 xf(x)= ? 2 ? ??10 x 2 ? 10x, 1 ? x ? 1. ? 2 ?

2

∴xf(x)与 x 轴围成图形的面积为 10x2dx+

?
0

1 2

?
1 2

1

(-

10x2+10x)dx= 10 x |
3

1 3 2 0

+ ? 5 x 2 ? 10 x3 ? |1 = 10 × 1 + ? 5 ? 10 ? - ? 5 ? 10 ? 1 ? = 5 . ? ? ? ? ? ?1 3 ? ? 4 3 8? 4 3 ? 2 3 8 ? ?

14.(2012 上海,理 14)如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2.若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a, 其中 a,c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 .

2 c a 2 ? c 2 ? 1 如图: 3 当 AB=BD=AC=CD=a 时, 该棱锥的体积最大. 作 AM⊥BC,连接 DM,
则 BC⊥平面 ADM,AM= a 2 ? 1 ,DM= a 2 ? 1 . 又 AD=2c,∴S△ADM=c a 2 ? c 2 ? 1 . ∴VD-ABC=VB-ADM+VC-ADM= 2 c a 2 ? c 2 ? 1 .

3 15.(2012 上海,理 15)若 1+ 2 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则(
A.b=2,c=3 C.b=-2,c=-1 B B.b=-2,c=3 D.b=2,c=-1

).

2 2 由题意知 b2-4c<0,则该方程的复数根为: ?b ? 4c ? b i ,故 ?b ? 4c ? b i =1+ 2 i. 2 2 ∴b=-2,c=3.

16.(2012 上海,理 16)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2 C 由正弦定理可知 a +b2<c2, 2 2 2 从而 cos C= a ? b ? c <0, 2ab ∴C 为钝角,故该三角形为钝角三角形.

).

17.(2012 上海,理 17)设 10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量 ξ1 取值 x1,x2,x3,x4,x5 的概率均为 0.2,随机变量 ξ2 取 值 x1 ? x2 , x2 ? x3 , x3 ? x4 , x4 ? x5 , x5 ? x1 的概率也均为 0.2.若记 Dξ1,Dξ2 分别为 ξ1,ξ2 的方差,则( ).

2 2 2 2 2 A.Dξ1>Dξ2 B.Dξ1=Dξ2 C.Dξ1<Dξ2 D.Dξ1 与 Dξ2 的大小关系与 x1,x2,x3,x4 的取值有关
3

A 18.(2012 上海,理 18)设 an= 1 sin nπ ,Sn=a1+a2+…+an.在 S1,S2,…,S100 中,正数的个数是( A.25 C.75 D.100 1 sin n π, D ∵an= n 25 ∴当 n≤24 时,an 均大于 0,a25=0, ∴可知 S1,S2,…,S25 均大于 0. 又 a26= 1 sin 26 π=- 1 sin π =- 1 a1, 26 25 26 25 26 25 a +a +…+a >0, ∴S26= 1 2 25 26 而 a27= 1 sin 27 π=- 1 sin 2 π=- 2 a2, 27 25 27 25 27 ∴a27+a2>0. 同理可得 a28+a3>0,…,a49+a24>0, 而 a51 到 a74 均为正项,a75=0,a76 到 a99 均为负项,且|a76|<a51,|a77|<a52,…,|a99|<a74,a100=0, 故{Sn}中前 100 项均为正数. ).

n B.50

25

19.(2012 上海,理 19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 解:(1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD. 从而 CD⊥PD. 因为 PD= 2 2 ? (2 2) 2 =2 3 ,CD=2, 所以三角形 PCD 的面积为 1 ×2×2 3 =2 3 .

2 (2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,

则 B(2,0,0),C(2,2 2 ,0),E(1, 2 ,1). ??? ? ??? ? AE =(1, 2 ,1), BC =(0,2 2 ,0). ??? ??? ? ? 设 AE 与 BC 的夹角为 θ, ??? ??? ? ? 4 = 2, AE BC 则 cos θ= ??? · ? = ? ??? | AE||BC | 2 ? 2 2 2 θ= π .

4

4

由此知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 π .

4
解法二:取 PB 中点 F,连接 EF,AF,

则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角. 在△AEF 中,由 EF= 2 ,AF= 2 ,AE=2, 知△AEF 是等腰直角三角形. 所以∠AEF= π .

4
因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 π .

4
20.(2012 上海,理 20)已知函数 f(x)=lg(x+1). (1)若 0<f(1-2x)-f(x)<1,求 x 的取值范围; (2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0≤x≤1 时,有 g(x)=f(x),求函数 y=g(x)(x∈[1,2])的反函数. 2 ? 2 x ? 0, 得-1<x<1. 解:(1)由 ? ? ? x ?1 ? 0 由 0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg 2 ? 2 x <1, 得 1< 2 ? 2 x <10. x ?1

x ?1

因为 x+1>0,所以 x+1<2-2x<10x+10,- 2 <x< 1 .

3
? ?1 ? x ? 1, 由? 得- 2 <x< 1 . 1 ? 2 3 3 ?? 3 ? x ? 3 ?
(2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 因此 y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x). 由单调性可得 y∈[0,lg 2].

3

因为 x=3-10y,所以所求反函数是 y=3-10x ,x∈[0,lg 2].

21.(2012 上海,理 21)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向 建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事 船的移动路径可视为抛物线 y= 12 x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船

49
所在位置的横坐标为 7t. (1)当 t=0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 解:(1)t=0.5 时,P 的横坐标 xP=7t= 7 ,代入抛物线方程 y= 12 x2,得 P 的纵坐标 yP=3.

2

49

5

由|AP|= 949 ,得救援船速度的大小为 949 海里/时. 2 由 tan∠OAP= 7 ,得∠OAP=arctan 7 ,

30

30 30

故救援船速度的方向为北偏东 arctan 7 弧度. (2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2). 由 vt= (7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 , 整理得 v2=144 ? t 2 ? 1 ? t2 ?

? +337. ? ?

t2 所以 v2≥144×2+337=252,即 v≥25. 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 22.(2012 上海,理 22)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P,Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M,N 分别是 C1,C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值. 2 ? ? 解:(1)双曲线 C1: x -y2=1,左顶点 A ? ? 2 , 0 ? , ? 2 ? 1 ? ? 2 渐近线方程:y=± 2 x.
? ? 过点 A 与渐近线 y= 2 x 平行的直线方程为 y= 2 ? x ? 2 ? ,即 y= 2 x+1. ? 2 ? ? ?

因为 t2+ 1 ≥2,当且仅当 t=1 时等号成立.

? ? y ? ? 2x, ? x ? ? ? 解方程组 得? ? ? y ? 2x ? 1 ? ? ? y? ? ?

2 , 4 1 . 2

所以所求三角形的面积为 S= 1 |OA||y|= 2 . 8 2 (2)设直线 PQ 的方程是 y=x+b. 因直线 PQ 与已知圆相切, 故 | b | =1,即 b2=2.

2 ? y ? x ? b, 得 x2-2bx-b2-1=0. 由? 2 2 ?2 x ? y ? 1 x ? x2 ? 2b, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 ? 1 ? 2 ? x1 x2 ? ?1 ? b .
又 y1y2=(x1+b)(x2+b), ??? ???? ? 所以 OP · OQ =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. 故 OP⊥OQ. (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时,|ON|=1,|OM|= 2 , 2 则 O 到直线 MN 的距离为 3 . 3 当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y=kx(显然|k|> 2 ), 2 6

则直线 OM 的方程为 y=- 1 x.

k
1 ? 2 y ? kx, 得 ? x ? 4 ? k 2 , ? 由? ? 2 2 ? ?4 x ? y ? 1 ? 2 k2 y ? , ? 4 ? k2 ?
所以|ON|2= 1 ? k . 4 ? k2 2 同理|OM|2= 1 ? k . 2 2k ? 1 设 O 到直线 MN 的距离为 d,
2

因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 所以 1 =

d

2

1 + 1 = 3k 2 ? 3 =3,即 d= 3 . 3 | OM |2 | ON |2 k 2 ? 1

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 23.(2012 上海,理 23)对于数集 X={-1,x1,x2,…,xn},其中 0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集 Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}.若 对任意 a1∈Y,存在 a2∈Y,使得 a1·a2=0,则称 X 具有性质 P.例如{-1,1,2}具有性质 P. (1)若 x>2,且{-1,1,2,x}具有性质 P,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1∈X,且当 xn>1 时,x1=1; (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数),求有穷数列 x1,x2,…,xn 的通项公式. 解:(1)选取 a1=(x,2),Y 中与 a1 垂直的元素必有形式(-1,b). 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1=(x1,x1)∈Y. 设 a2=(s,t)∈Y 满足 a1·a2=0. 由(s+t)x1=0 得 s+t=0,所以 s,t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数, 所以 s,t 之中一为-1,另一为 1,故 1∈X. 假设 xk=1,其中 1<k<n,则 0<x1<1<xn. 选取 a1=(x1,xn)∈Y,并设 a2=(s,t)∈Y 满足 a1·a2=0,即 sx1+txn=0, 则 s,t 异号,从而 s,t 之中恰有一个为-1. 若 s=-1,则 x1=txn>t≥x1,矛盾; 若 t=-1,则 xn=sx1<s≤xn,矛盾. 所以 x1=1. (3)解法一:猜测 xi=qi-1,i=1,2,…,n. 记 Ak={-1,1,x2,…,xk},k=2,3,…,n. 先证明:若 Ak+1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1=(s,t),s,t∈Ak,当 s,t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1·a2=0; 当 s≠-1 且 t≠-1 时,则 s,t≥1. 因为 Ak+1 具有性质 P,所以有 a2=(s1,t1),s1,t1∈Ak+1,使得 a1·a2=0,从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1=-1. 假设 t1∈Ak+1 且 t1?Ak,则 t1=xk+1. 由(s,t)·(-1,xk+1)=0,得 s=txk+1≥xk+1,与 s∈Ak 矛盾. 所以 t1∈Ak,从而 Ak 也具有性质 P. 现用数学归纳法证明:xi=qi-1,i=1,2,…,n. 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak={-1,1,x2,…,xk}有性质 P, 则 xi=qi-1,i=1,2,…,k; 当 n=k+1 时,若 Ak+1={-1,1,x2,…,xk,xk+1}有性质 P,则 Ak={-1,1,x2,…,xk}也有性质 P, 所以 Ak+1={-1,1,q,…,qk-1,xk+1}. 取 a1=(xk+1,q),并设 a2=(s,t)满足 a1·a2=0. 7

由此可得 s=-1 或 t=-1. 若 t=-1,则 xk+1= q ≤q,不可能;

s
所以 s=-1,xk+1=qt≤qk 且 xk+1>qk-1, 所以 xk+1=qk. 综上所述,xi=qi-1,i=1,2,…,n. 解法二:设 a1=(s1,t1),a2=(s2,t2), 则 a1·a2=0 等价于 s1 =- t 2 . t1 s2 记 B= ? s s ? X , t ? X ,|s |?| t |? ,则数集 X 具有性质 P,当且仅当数集 B 关于原点对称. ? ? ?t ? 注意到-1 是 X 中的唯一负数,B∩(-∞,0)={-x2,-x3,…,-xn}共有 n-1 个数,所以 B∩(0,+∞)也只有 n-1 个数. 由于 xn < xn <…< xn < xn ,已有 n-1 个数,对以下三角数阵 xn ?1 xn ? 2 x2 x1 xn < xn <…< xn < xn xn ?1 xn ? 2 x2 x1 xn ?1 < xn ?1 <…< xn ?1 xn ? 2 xn ? 3 x1 …… 注意到 xn > xn ?1 >…> x2 ,所以 xn = xn ?1 x1 x1 x1 xn ?1 xn ? 2

x2 k ?1 x1 =…= x2 ,从而数列的通项为 xk=x1 ? x2 ? =qk-1,k=1,2,…,n. ? ? x1 ? x1 ?

8


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