2013年全国高考理科数学试题分类汇编-专题八 直线和圆


专题八直线和圆
一、选择题 1. (2013 年上海市春季高考数学试卷()直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是





A. (2, ? 3)
【答案】D

B. (2, 3)

C. (?3, 2)

D. (3, 2)

2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) ) 已知点

, ( )

直线

将△

分割为 面积相等的两部分,则 的取值范围是

A.
【答案】B

B.

( C) (1 ?

2 1 , ] D. 2 3
(3,1) 作圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1
( D. 4 x ? y ? 3 ? 0 )

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)过点

的两条切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为 A. 2 x ? y ? 3 ? 0
【答案】A 4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题)已知点

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B ? a, a 3 ? .若? ABC 为直角三角形, 则必有
A. b ? a
3





3 B. b ? a ?

1 a

C. b ? a 3 ? b ? a 3 ?
【答案】C

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 ?0 a

5. (2013 年高考江西卷(理) )如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2

? 的长 之间 l // l1 , l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点,设弧 FG
为 x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD , 若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像 大致是

【答案】D 6 . (2 013 年高考湖南卷(理) )在等腰三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, 点 P 是边 AB 上异于

A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC, CA 发射后又回到原点 P (如图1 ).若光线 QR 经
过 ?ABC 的中心,则 AP 等

( A. 2
【答案】D 二、解答题 7. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )本小题满分 14 分.如图,在平



B. 1

C.

8 3

D.

4 3

面直角坐标系 x Oy 中 , 点 A(0,3) , 直线 l : y ? 2 x ? 4 , 设圆 C 的半 径为 1 , 圆心 在 l 上.[来源:数理化网] (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

y A O l

x

【答案】解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 显然切线 的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方 程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设 M 为 (x,y) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理 得 :

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D
∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1

2 由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 2 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? 5? ?


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