2018-2019学年高中数学人教B版选修2-3课件:2.3.1 离散型随机变量的数学期望_图文


2.3 随 机 变 量 的 数 字 特 征 2.3.1 离散 型随 机变 量的 数学 期望 理解教材新知 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 第 二 章 2. 3 随机变量的数字特征 2.3.1 离散型随机变量的数学期望 设有 12 个西瓜,其中重 5 kg 的有 4 个, 重 6 kg 的有 3 个,重 7 kg 的有 5 个. 问题 1:任取一个西瓜,用 X 表示这个西 瓜的重量,试想 X 可以取哪些值? 提示:X=5,6,7. 问题 2:X 取上述值时对应的概率分别是多少? 1 1 5 提示: , , . 3 4 12 问题 3:试想每个西瓜的平均重量该如何求? 5×4+6×3+7×5 1 1 5 提示: =5× +6× +7× . 12 3 4 12 1.离散型随机变量的均值或数学期望 设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1,x2,…,xn,这 x2p2+…+xnpn 些值对应的概率是 p1,p2,…,pn 则 E(X)= x1p1+ _________________ 叫做这个离散型随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望),它刻画了 这个离散型随机变量的 平均取值水平. 2.超几何分布与二项分布的均值 若离散型随机变量 X~B(n,p),则 E(X)= np ;若离散型随机 nM 变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,则 E(X)= N . 1.对离散型随机变量均值的理解: (1)离散型随机变量的均值 E(X)是一个数值,是随机变量 X 本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量 取值的平均水平. (2)随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;有相同均 值的两个分布未必相同;两个不同的分布也可以有相同的均值. 2.离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别 随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样 本平均数是一个随机变量,它随样本的不同而变化. 求离散型随机变量的期望 [例 1] 盒中装有 5 节同牌号的五号电池,其中混有 2 节废电 池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求 抽取次数 X 的分布列及期望. [思路点拨] 明确 X 的取值,并计算出相应的概率,列出分布 列后再计算期望. [精解详析] X 可取的值为 1,2,3, 3 2 3 3 则 P(X=1)= ,P(X=2)= × = , 5 5 4 10 2 1 1 P(X=3)= × ×1= . 5 4 10 抽取次数 X 的分布列为 X P 1 3 5 2 3 10 3 1 10 3 3 1 E(X)=1× +2× +3× =1.5. 5 10 10 [一点通] 求离散型随机变量的均值的步骤: (1)根据随机变量 X 的意义,写出 X 可能取得的全部值; (2)求 X 取每个值的概率; (3)写出 X 的分布列; (4)由期望的定义求出 E(X). 1.从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中任取不同的两个,则这两个数乘积的 数学期望是________. 解析: 从 1,2,3,4,5 中任取不同的两个数,其乘积 X 的值为 1 1 2,3,4,5,6,8,10,12,15,20, 取每个值的概率都是 , ∴E(X)= ×(2 10 10 +3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5. 答案:8.5 2. (江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校 排球队.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5, A6,A7,A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量, 记这两个向量的数量积为 X.若 X=0 就参加学校合唱团,否则就 参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C2 8=28 种,X=0 时,两向量夹角为直角共有 8 种情形,所以小波参加 8 2 学校合唱团的概率为 P(X=0)= = . 28 7 (2)两向量数量积 X 的所有可能取值为-2, -1,0,1, X=-2 时, 有 2 种情形; X=1 时, 有 8 种情形; X=-1 时, 有 10 种情形. 所 以 X 的分布列为: X P -2 1 14 -1 5 14 0 2 7 1 2 7 1 5 2 2 3 E(X)=(-2)× +(-1)× +0× +1× =- . 14 14 7 7 14 二项分布与超几何分布的均值 [例 2] 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 (简称 系统)A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别 1 为 和 p. 10 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 , 50 求 p 的值; (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为 随机变量 X,求 X 的概率分布列及数学期望 E(X). [思路点拨] (1)利用对立事件发生的概率去求; (2)X 服从二项分布,列出 X 的值并求其概率,列出概率分 布列,并求其数学期望. [精解详析] (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C, 1 49 那么 P(C)=1-P( C )=1- · p= . 10 50 1 解得 p= . 5 (2)由题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. 故 P(X=0)=C0 3? ? ? 1 ?3 1 ? = , 10 1 000 ? ? 1? P(X=1)=C3 2 P(X=2)=C3 1 ?2 ? 1? 27 ? ×?1- ?= , 10 10 1 000 ? ? ? ? 1 ?2 243 1 ? ×?1- ? = , 10 ? 10? 1 000 ? ? 3? 1- P(X=3)=C3 1 ?3 729 ? 10? =1 000. 所以

相关文档

2018-2019学年高中数学人教B版选修2-3课件:2.1.2 离散型随机变量的分布列
2018-2019学年高中数学人教B版选修2-3课件:2.1.1 离散型随机变量
2018-2019学年高中数学人教B版选修2-3课件:2.3.2 离散型随机变量的方差
2018-2019学年高中数学(人教A版)选修2-3课件:2.3.2 离散型随机变量的方差
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3课件:2.3.2 离散型随机变量的方差
2018-2019年高中数学人教B版《选修2-3》《第二章 概率》《2.1 离散型随机变量及其分布》
2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3课件:2.5.1 离散型随机变量的均值
2018-2019学年高中数学(人教A版)选修2-3课件:2.1.2 离散型随机变量的分布列
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3课件:2.1.2 离散型随机变量的分布列
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3课件:2.3.1 离散型随机变量的均值
电脑版
?/a>