2017-2018学年高中数学必修五教材用书(28份) 人教课标版14(优秀教案)


. 简单的线性规划问题

简单的线性规划

[提出问题]

某公司有万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不少于对项目

乙投资的,且对每个项目的投资不能低于万元.

问题:设投资甲、乙两个项目的资金分别为,万元,那么,应满足什么条件?

提示:(\\(+≤,≥(),≥,≥.))

问题:若公司对项目甲每投资万元可获得万元的利润,对项目乙每投资万元可获得万

元的利润,设该公司所获利润为万元,那么与,有何关系?

提示:=+.

问题:,取值对利润有无影响?

提示:有.

[导入新知]

线性规划的有关概念

名称

意义

约束条件

变量,满足的一组条件

线性约束条件

由,的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数

欲求最大值或最小值所涉及的变量,的解析式

线性目标函数

目标函数是关于,的二元一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解(,)

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题

[化解疑难] .线性约束条件包括两点:一是变量,的不等式(或等式),二是次数为. .目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量,的次数上作了严格的 限定:一次解析式,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数. .可行解必须使约束条件成立,而可行域是所有的可行解组成的一个集合.

求线性目标函数的最值

[例] (天津高考)设变量,满足约束条件(\\(-+≥,+-≥,+-≤,)) 则目标

函数=+的最小值为( )

.-



..

[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数可化为=-+,在图中画出直线

=-,平移该直线,易知经过点时最小.又知点的坐标为(),∴=×+×=.故选.

[答案]

[类题通法]

解线性规划问题的关键是准确地作出可行域,正确理解的几何意义,对一个封闭图形

而言,最优解一般在可行域的边界上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值

点.

[活学活用]

(广东高考)若变量,满足约束条件(\\(≤,+≤,≥-)) 且=+的最大值和最小值

分别为和,则-等于( )









解析:选 作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线=-+

经过点时,的值最大,由(\\(=-,+=)) ? (\\(=,=-,)) 则==×-=.当直

线=-+经过点时,的值最小,由(\\(=-,=)) ? (\\(=-,=-,)) 则==

×(-)-=-,故-=.

求非线性目标函数的最值 [例] 设,满足条件(\\(-+≥,+≥,≤.)) ()求=+的最大值与最小值; ()求=的最大值与最小值. [解] 画出满足条件的可行域如图所示.
()+=表示一组同心圆(圆心为原点),且对同一圆上的点+的值都相等,由图可知: 当(,)在可行域内取值时,当且仅当圆过点时,最大,过()时,最小.又(),所以最大值=, 最小值=.
()=表示可行域内的点(,)到定点()的斜率,由图可知,最大,最小,又(),(,-), 所以最大值==,最小值==-. [类题通法] 非线性目标函数最值问题的求解方法 ()非线性目标函数的最值问题,要充分理解非线性目标函数的几何意义,诸如两点间 的距离(或平方),点到直线的距离,过已知两点的直线斜率等,充分利用数形结合知识解 题,能收到事半功倍的效果. ()常见代数式的几何意义主要有: ①表示点(,)与原点()的距离; 表示点(,)与点(,)的距离. ②表示点(,)与原点()连线的斜率;表示点(,)与点(,)连线的斜率. 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键. [活学活用] 已知变量,满足约束条件(\\(-+≤,≥,+-≤,)) 则的最大值是,最小值是. 解析:由约束条件作出可行域(如图所示),

目标函数=表示坐标(,)与原点()连线的斜率. 由图可知,点与连线斜率最大; 点与连线斜率最小,又点坐标为,点坐标为(), 所以=,=.故的最大值为,最小值为. 答案:
已知目标函数的最值求参数 [例] (湖南高考)若变量,满足约束条件(\\(≤,+≤,≥,)) 且=+的最小值为 -,则=. [解析] 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,=+,则=-+,易 知当直线=-+过点(,)时,=+取得最小值,即=-,=-.
[答案] - [类题通法] 求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题 解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数 形结合的思想、方法求解.同时要搞清目标函数的几何意义.
[活学活用] 已知,满足约束条件(\\(-≥,+≤,≥.)) 若=+的最大值为,则=( ) .. .- .- 解析:选 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,若 =+的最大值为,则最优解为=,=或=,=,经检验知=,=符合 题意,∴2a+=,此时=.
简单的线性规划问题的实际应用 [例] (天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要,,三种主要原料.生产车

皮甲种肥料和生产车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料 肥料
甲 乙
现有种原料吨,种原料吨,种原料吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产车 皮甲种肥料,产生的利润为万元;生产车皮乙种肥料,产生的利润为万元.分别用,表示 计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
()用,列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; ()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润. [解] ()由已知,,满足的数学关系式为 (\\(+≤,+≤,+≤,≥,≥.)) 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.
()设利润为万元,则目标函数为=+. 考虑=+,将它变形为=-+,它的图象是斜率为-,随变化的一族平行直线,为直 线在轴上的截距,当取最大值时,的值最大.根据,满足的约束条件,由图②可知,当直 线=+经过可行域上的点时,截距最大,即最大.
解方程组(\\(+=,+=,)) 得点的坐标为(), 所以=×+×=. 答:生产甲种肥料车皮,乙种肥料车皮时利润最大,且最大利润为万元.

[类题通法] 利用线性规划解决实际问题的步骤 ()设出未知数(当数据较多时,可以列表格来分析数据); ()列出约束条件,确立目标函数; ()作出可行域; ()利用图解法求出最优解; ()得出结论. [活学活用] 铁矿石和的含铁率,冶炼每万吨铁矿石的的排放量及每万吨铁矿石的价格如下表:

(万吨)

(百万元)

某冶炼厂至少要生产(万吨)铁,若要求的排放量不超过(万吨),则购买铁矿石的最少 费用为(百万元).
解析:可设需购买矿石万吨,矿石万吨, 则根据题意得到约束条件为(\\(≥,≥,+≥,+≤,)) 作出约束条件所表示的可行域(图略). 目标函数为=+,由图知当目标函数经过点()时目标函数取最小值,最小值=×+×=. 答案:

[典例] (分)某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,一个大集装箱所托运的货 物的总体积不能超过 立方米,总重量不能低于 千克.甲、乙两种货物每袋的体积、重量 和可获得的利润,列表如下: 货物 每袋体积(单位:立方米) 每袋重量(单位:百千克) 每袋利润(单位:百元)
甲 乙
问:在一个大集装箱内,这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时,可获得最大利

润? [解题流程]
[规范解答]

[活学活用]

有一批钢管,长度都是 ,要截成长为和的两种钢管,且这两种钢管的数量之比按大于

配套,怎样截合理?

解:设每根截的根和的根,

则 (\\(+≤ ,,()>(),>,>,,∈*,))



(\\(+≤,<,>,>,,∈*.))

作出可行域如图所示.

目标函数为=+,作一组平行直线+=,经过可行域中的点且和原点距离最远的直线 为过()点的直线,这时+=,由,∈*知()不是最优解,因此,在可行域内找整点,得到点 (),(),(),(),()均为最优解,此时+=.
∴按照每根钢管来截,截的根,的根,或截的根,的根,或截的根,的根,或截的根, 的根,或截的根,的根.

[随堂即时演练]

.=-在(\\(-+≥,--≤,+≤)) 的线性约束条件下,取得最大值的可行解为

()

.()

.(-,-)

.()

解析:选 可以验证这四个点均是可行解.

当=,=时,=-;

当=-,=-时,=;

当=,=时,=;

当=,=时,=.

排除选项,,,故选.

.(广东高考)已知变量,满足约束条件(\\(+≤,-≤,+≥,)) 则=+的最小值

为( )





.-

.-

解析:选 由约束条件作出可行域如图.

由=+得=-+,的几何意义为直线在轴上的截距,当直线=-+过直线=-和-= 的交点(-,-)时,最小,最小值为-,故选.

.(全国丙卷)设,满足约束条件(\\(-+≥,--≤,≤,)) 则=+-的最小值 为.
解析:画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知,当直线=-+ +过点时,取得最小值,联立
(\\(-+=,--=,)) 解得(-,-), 即=×(-)+×(-)-=-. 答案:- .已知点(,)的坐标满足条件(\\(+≤,≥,≥,)) 点为坐标原点,那么的最小值 等于,最大值等于. 解析:点(,)满足的可行域为△区域,(),().由图可得,最小值==;最大值==.
答案: .已知,满足约束条件(\\(+≥,-≤,)) 求=+的最小值. 解:作出不等式组(\\(+≥,-≤)) 的可行域,如图所示.
画出直线:+=,平移直线到直线的位置,使过可行域内某点,且可行域内其他点都 在的不包含直线的另外一侧,该点到直线的距离最小,则这一点使=+取最小值.
显然,点满足上述条件, 解(\\(+=,-=)) 得点, ∴最小值=+×=.
[课时达标检测] 一、选择题 .目标函数=-,将其看成直线方程时,的意义是( ) .该直线的截距 .该直线的纵截距 .该直线的纵截距的相反数 .该直线的横截距

解析:选 由=-得=-,在该方程中-表示直线的纵截距,因此表示该直线的纵截

距的相反数.

.现有辆载重吨的汽车,辆载重吨的汽车,设需辆载重吨汽车和辆载重吨汽车,要运

送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为( )

.=+

.=+

.=+ .=+

解析:选 由题意,要运送最多的货物,先找到两类型汽车运送的总货物量,即=+.

.在△中,三个顶点分别为(),(-),(),点(,)在△的内部及其边界上运动,则-

的取值范围为( )

.[] .[-]

.[-] .[-,-]

解析:选 先画出三角形区域(如图),然后转化为一个线性规划问题,求线性目标函

数=-的取值范围.由图求出其取值范围是[-].

.实数,满足不等式组(\\(≥,-≥,--≥,)) 则=的取值范围是( )
解析:选 利用数形结合思想,把所求问题转化为动点(,)与定点(-)连线的斜率问 题.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,目标函数=表示阴影部分的点与定点(-) 的连线的斜率,由图可知点(-,)与点()连线的斜率为最小值,最大值趋近于,但永远达 不到,故-≤<.
.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用原料吨,原料吨;生产每吨 乙产品要用原料吨,原料吨;销售每吨甲产品可获得利润万元,销售每吨乙产品可获得利 润万元.该企业在一个生产周期内消耗原料不超过吨,原料不超过吨.那么该企业可获得 最大利润是( )
. 万元 . 万元 . 万元 . 万元 解析:选 设生产甲产品吨,生产乙产品吨,则有关系:

原料

原料

甲产品吨

乙产品吨

则有(\\(>,>,+≤,+≤,)) 目标函数=+.

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,

经验证知,当=,=时可获得最大利润万元,故选. 二、填空题 .如图中阴影部分的点满足不等式组(\\(+≤,+≤,≥,≥.)) 目标函数=+取得最大值的点的坐标是.

在这些点中,使

解析:首先作出直线+=,然后平移直线,当直线经过平面区域内的点()时截距最大, 此时最大.
答案:() .(全国甲卷)若,满足约束条件(\\(-+≥,+-≥,-≤,)) 则=-的最小值为. 解析:不等式组 (\\(-+≥,+-≥,-≤)) 表示的可行域如图阴影 部分所示. 由=-得=-. 平移直线=,易知经过点()时,有最小值,最小值为=- ×=-. 答案:- .若目标函数=++在约束条件(\\(+-≤,-+≤,≤,≥-)) 下取得最大值的 最优解有无穷多个,则的取值范围是. 解析:先根据(\\(+-≤-+≤,≥-)) 作出如图所示阴影部分的可行域,欲使目 标函数=++取得最大值的最优解有无穷多个,需使目标函数对应的直线平移时达到可行

域的边界直线+-=,且只有当>时,可行域才包含+-=这条直线上的线段或其部分.
答案:(,+∞) 三、解答题 .已知关于,的二元一次不等式组(\\(+≤,-≤,+≥.)) ()求函数=-的最大值和最小值; ()求函数=++的最大值和最小值. 解:()作出二元一次不等式组(\\(+≤,-≤,+≥)) 表示的平面区域,如图所示.
由=-,得=-,得到斜率为,在轴上的截距为-,随变化的一组平行线. 由图可知,当直线经过可行域上的点时,截距-最大,即最小.解方程组 (\\(+=,+=,)) 得(-), ∴最小值=×(-)-=-. 当直线经过可行域上的点时,截距-最小,即最大, 解方程组(\\(+=,-=,)) 得(),∴最大值=×-=. ∴=-的最大值是,最小值是-. ()作出二元一次不等式组(\\(+≤,-≤,+≥)) 表示的平面区域,如图所示.
由=++,得=-+-,得到斜率为-,在轴上的截距为-,且随变化的一组平行线.由 图可知,当直线经过可行域上的点时,截距 -最小,即最小.解方程组 (\\(+=,-=,)) 得(-,-),
∴最小值=-+×(-)+=-.

当直线=-+-与直线+=重合时,截距-最大,即最大,

∴最大值=++=+=.

∴=++的最大值是,最小值是-.

.制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含药品、药品、药品,乙种烟花每枚含药品、

药品、药品.已知每天原料的使用限额为药品、药品、药品,甲种烟花每枚可获利美元,

乙种烟花每枚可获利美元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大?

解:根据题意,可列出下表:

药品()

药品()

药品()

甲种烟花

乙种烟花

原料限额

设每天生产甲种烟花枚、乙种烟花枚,获利为美元,则目标函数=+(美元). 其中、

应满足:(\\(≥,∈,≥,∈,+≤,+≤,+≤.))

如图可行域为阴影部分的整点,

把=+变形为平行直线系:=-+. 由图可知,当直线经过平面区域上的点时,截距最大.解方程组 (\\(+-=,+-=,)) 得交点().故每天生产甲种烟花枚、乙种烟花枚,能使 利润最大.
.有一批同规格的钢条,每根钢条有两种切割方式,可截成长度为的钢条根,长度为 的钢条根;或截成长度为的钢条根,长度为的钢条根.现长度为的钢条至少需要根,长度 为的钢条至少需要根.问:如何切割可使钢条用量最省?
解:设按第一种切割方式切割的钢条根,按第二种切割方式切割的钢条根, 根据题意得约束条件是(\\(+≥,+≥,>,∈*,>,∈*,)) 目标函数是=+, 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分.

由(\\(+=,+=,)) 解得(\\(=,=.)) 此时=,但,,都应当为正整数, 所以点()不是最优解. 经过可行域内的整点且使最小的直线是+=, 即=,满足该约束条件的(,)有两个:()或(),它们都是最优解. 即满足条件的切割方式有两种,按第一种方式切割钢条根,按第二种方式切割钢条根; 或按第一种方式切割钢条根,按第二种方式切割钢条根,均可满足要求. .,满足约束条件(\\(+≤,≤+,-≤,)) 目标函数为=+.如果在可行域内点处 取得最大值,求实数的取值范围. 解:由不等式组(\\(+≤,≤+,-≤)) 作出可行域,
如图所示的阴影部分. 由=+可化为=-+. ∴目标函数对应直线的斜率=-. 又直线的斜率=,直线的斜率=-. 由图可知当≤≤, 即-≤-≤时,都能在点取得最大值. 故所求的取值范围是-≤≤.
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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