2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4_2同角三角函数基本关系式与诱导公式课件文_图文






三角函数 解三角形



第二节

同角三角函数基本关系式与诱导公式

高考概览 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,csoinsαα= tanα;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α,-α 的正 弦、余弦、正切的诱导公式.

吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发

[知识梳理]

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系:sin2α+cos2α= 1 (α∈R).其等价形式为 sin2α

= 1-cos2α,cos2α=1-sin2α .

sinα (2)商数关系:tanα= cosα

(α≠kπ+π2,k∈Z).其等价形式

sinα

为 sinα= tanαcosα ,cosα= tanα .

[温馨提示] 利用平方关系求三角函数值进行开方时,要根

据角的范围判断相应三角函数值的符号.如:已知 cosα=15,α∈

????-π2,0????,则

sinα= -2

6 5

.

2.诱导公式

记忆规律:对于角“k2π±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇 变偶不变,符号看象限”,意思是说k2π±α,k∈Z 的三角函数值等 于“当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时, 函数名不变,然后 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原三 角函数值的符号.”

[小题速练]

1.cos(-510°)的值为( )

3 A. 2

B.-

3 2

1 C.2

D.-12

[解析] ∵cos(-510°)=cos510°=cos(360°+150°)=cos150°

=- 23.∴选 B.

[答案] B

2.已知 sin????52π+α????=15,那么 cosα=(

)

A.-25

B.-15

1

2

C.5

D.5

[解析] ∵sin????52π+α????=sin????2π+α????=cosα,∴cosα=15,故选 C.

[答案] C

3.已知 sin(π-α)=log814,且 α∈????-2π,0????,则 tan(2π-α)的 值为( )

A.-25 5

25 B. 5

C.±2 55

5 D. 2

[解析] sin(π-α)=sinα=log814=-23,又 α∈????-π2,0????,得 cosα= 1-sin2α= 35,tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-csoinsαα= 25
5. [答案] B

4.(2017·北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均 以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 sinα=13,则 sinβ= __________.

[解析] 解法一:令角 α 与角 β 均在区间(0,π)内,故角 α 与角 β 互补,得 sinβ=sinα=13.
解法二:由已知可得,sinβ=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sinα =13(k∈Z).

[答案]

1 3

5.已知 tanα=2,则ssiinnαα+-ccoossαα的值为________. [解析] 原式=ttaannαα+-11=22+-11=3. [答案] 3

考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关

考点一 同三角函数关系式的应用——基础考点 (1)(2015·福建卷)若 sinα=-153,且 α 为第四象限角,

则 tanα 的值等于( )

12 A. 5

B.-152

5 C.12

D.-152

(2)(2017·贵阳模拟)已知 sinαcosα=18,且54π<α<32π,则 cosα- sinα 的值为( )

A.-

3 2

C.-34

3 B. 2
3 D.4

(3)(2016·全国卷Ⅲ)若 tanα=34,则 cos2α+2sin2α=(

)

64

48

A.25

B.25

C.1

16 D.25

[思路引导] (2)寻求 cosα-sinα 与 sinαcosα 的联系.

(3)所求式的分母看成“1”,转化为含 tanα 的式子.

[解析] (1)∵sinα=-153,且 α 为第四象限角,

∴cosα= 1-sin2α=1123,∴tanα=csoinsαα=-152,故选 D.

(2)∵54π<α<32π,∴cosα<0,sinα<0 且 cosα>sinα,

∴cosα-sinα>0.

又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×18=34,

∴cosα-sinα=

3 2.

(3)tanα=34,则 cos2α+2sin2α=ccooss2α2α++2ssiinn22αα=11++4tatann2αα=6245. [答案] (1)D (2)B (3)A

(1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化, 利用该公式求值要注意确定角的终边所在的象限,从而判断三角 函数值的符号;利用csoinsαα=tanα 可以实现角 α 的弦切互化.
(2)商数关系 tanα=csoinsαα的作用主要是用来求解齐次分式的 值.常用到“1”的代换,即把整式看作分母为 1 的式子,进而转化 为关于 tanα 的代数式进行计算.

(3)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sinα+cosα, sinαcosα,sinα-cosα 这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα, 可以知一求二.

[跟踪演练]

1.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sinα-cosα=43,则 sin2α=( )

A.-79

B.-29

2

7

C.9

D.9

[解析]



sinα



cosα



4 3



















sin2α -

2sinαcosα+cos2α=196,即 sin2α=-79,故选 A.

[答案] A

2.已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( )

A.-43

5 B.4

C.-34

4 D.5

[解析] sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ =sin2θ+sisnin2θθ+cocsoθs-2θ2cos2θ=tan2tθa+n2θta+nθ1-2 =4+4+2-1 2=45.故选 D.
[答案] D

考点二 诱导公式的应用——常考点

(1) 设

f(α)



2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 1+sin2α+cos????32π+α????-sin2????π2+α????

(1



2sinα≠0),则 f????-236π????=________. (2)若 π<α<2π,cos(α-7π)=-35,则 sin(3π+α)·tan????α-72π????的

值为________.

(3)(2016·全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角,且 sin????θ+π4????=35, 则 tan????θ-π4????=________.
[思路引导] (1) 诱导公式化简 → 代入求值 (2) 诱导公式化简条件和所求式子 → 切化弦求值 (3) 寻求已知角和未知角的联系 → 诱导公式、同角关系式求值

[解析] (1)∵f(α)=?1-+2ssiinn2αα?+?-scinoαs-α?+cocso2 sαα =2s2insαinc2oαs+α+sincoαsα=csoinsαα??11++22ssiinnαα??=ta1nα, ∴f????-236π????=tan????-1 236π????=tan????-14π+6π???? = 1 π= 3.
tan6

(2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) =cos(π-α)=-cosα=-35,∴cos α=35. ∴sin(3π+α)·tan????α-72π???? =sin(π+α)·????-tan????72π-α????????=sinα·tan????π2-α???? =sinα·csoins????????π22π--αα???????? =sinα·csoinsαα=cosα=35.

(3)由 sin????θ+4π????=35,知 cos????4π-θ????=35.因为 θ 为第四象限角,

所以-θ 为第一象限角,4π-θ 为第一象限角或第二象限角.又因

为 cos????π4-θ????=35,所以4π-θ 为第一象限角.所以 tan????4π-θ????=43,

tan????θ-π4????=-43.

[答案]

(1) 3

3 (2)5

(3)-43

诱导公式的应用技巧 (1)求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为 锐角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角 化锐角”→求值. (2) 使 用 诱 导 公 式 要 注 意 三 角 函 数 值 在 各 个 象 限 的 符 号 , kπ±α(k∈Z)的形式时,需要对 k 的值进行分类讨论,以确定三角 函数值的符号.

(3)常见的互余、互补的角 ①常见的互余的角:π3-α 与π6+α;π3+α 与6π-α;π4+α 与π4- α 等. ②常见的互补的角:π3+θ 与23π-θ;π4+θ 与34π-θ 等.

[跟踪演练]

1.已知-π2<θ<0,sin????θ+π2????=35,则 tan(π-θ)的值为(

)

A.-43

B.-34

3

4

C.4

D.3

[解析] 因为 sin????θ+2π????=35,所以 cosθ=35.又-π2<θ<0,所以 sinθ=-45,所以 tan(π-θ)=-tanθ=-csoinsθθ=43.
[答案] D

2.(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=15sin????x+π3????+cos????x-6π????的最大值

为( )

6 A.5

B.1

3

1

C.5

D.5

[解析] 因为 cos????x-π6????=cos????????x+π3????-π2????=sin????x+3π????,所以 f(x) =65sin????x+π3????,于是 f(x)的最大值为65,故选 A.
[答案] A

3.化简:tan?πc-osα??-coαs-?2ππ-?siαn??s-inπ????--αα+? 32π????=________. [解析] 原式=co-s?tπa+nαα·c?·o?s-α·s?i-n?cπo+sαα???
sinα =ta-nαc·coosαsα·s·icnoαsα=co-sαs·icnoαsα=-1. [答案] -1

名师引领 拓视野
思一思 悟一悟 素养达成

数学思想在化简求值中的应用 素养解读:在利用诱导公式、同角关系式进行化简求值过程 中,经常会用到分类讨论、整体代换、方程等数学思想,在学习 过程中,要认真领会.

(1)已知 A=sin?skiπn+α α?+cosc?koπs+α α?(k∈Z),则 A 的 值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}

(2)已知 sinθ+cosθ=43????0<θ<π4????,则 sinθ-cosθ 的值为(

)

2 A. 3

B.-

2 3

1 C.3

D.-13

[切入点] (1)角中有整数 k,对 k 是奇数还是偶数讨论;(2)

寻求所求量 sinθ-cosθ 与已知 sinθ+cosθ 的联系.

[规范解答] (1)当 k 为偶数时,A=ssiinnαα+ccoossαα=2; 当 k 为奇数时,A=-sisninαα-ccoossαα=-2. 所以 A 的值构成的集合是{2,-2}. (2) 因 为 (sinθ + cosθ)2 = sin2θ + cos2θ + 2sinθ·cosθ = 1 + 2sinθcosθ=196,所以 2sinθcosθ=79,

则(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθ·cosθ=1-2sinθcosθ=29.

又因为 θ∈????0,4π????,所以 sinθ<cosθ, 即 sinθ-cosθ<0,

所以

sinθ-cosθ=-

2 3.

[答案] (1)C (2)B

本例(1)在化简过程中,因没有 kπ+α 的正、余弦诱导公式, 从而分 k 为偶数、奇数讨论,从而使公式运用得当,化简推理明 确.
(2)中充分利用了 sinθ±cosθ,sinθcosθ 三者之间的联系,并没 有直接求出 sinθ,cosθ,而是运用了整体代换及方程的思想,需 要注意的是开方时正负号的确定.

[感悟体验] 1.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA= - 2cos(π-B),则 C=________.

[解析]

由已知得???sinA= 2sinB, ?? 3cosA= 2cosB,

① ②

①2+②2,得 2cos2A=1,即 cosA=± 22,

当 cosA= 22时,cosB= 23,又 A、B 是三角形的内角,

所以 A=π4,B=π6,所以 C=π-(A+B)=172π.



cosA=-

22时,cosB=-

3 2.

又 A、B 是三角形的内角,所以 A=34π,B=56π,不合题意.

综上,C=172π.

[答案]

7 12π

2.已知 cos????π6-α????= 33,则 cos????56π+α????-sin2????α-π6????的值为 ________.

[解析] 因为 cos????56π+α????=cos????π-????π6-α????????=-cos????6π-α????=-

33,sin2????α-π6????=sin2????-????6π-α????????=sin2????π6-α????=1-cos2????6π-α????=1-

?? ??

33????2=23,

所以 cos????56π+α????-sin2????α-π6????=- 33-23=-2+3

3 .

[答案] -2+3 3

与名师对话·系列丛书

高考总复习·课标版·数学(文)

吃 透 教 材





双 基

内部文件,请勿外传

师 引 领

考 点 突

拓 视 野



提 能 力

第52页

第四章 第二节


相关文档

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件文
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 4-2 同角三角函数基本关系式与诱导公式课件 文
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件文
2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式课件
江苏专版2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件文
2019届高考数学一轮复习第3单元三角函数解三角形第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件理
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件文20180428332
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 文 新人教B
2019届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 文
2019届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数基本关系及诱导公式课件 文
电脑版