湖北省荆门市龙泉中学2013届高三数学10月月考试题 理 新人教A版【会员独享】


龙泉中学 2013 届高三 10 月月考 数学(理)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,1,5 分)若集合 A ? ( x, y ) y ? sin x, x ? R ,B ? x y ? log? x , 则 A? B ? A. x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

?

?

B. x 0 ? x ? ?

?

?

C. {(? ,0)}

D. ?

答案:D 解析: 2. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,2,5 分)已知复数 z ,映射 f : z ? zi ,则 2 ? 3i 的原象是 A. 3 ? 2i 答案:A 解析: B. 2 ? 3i C. 3 ? 2i D. 2 ? 3i

3. (2013届龙泉中学高三10月月考,3,5分)下列说法中,正确的是 A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题
2 2

B.命题“ ?x ? R ,使得 x ? 1 ”的否定是: ? x ? R ,都有 x ? ?1 或 x ? 1 ” “ C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D.已知 x ? R ,则“ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的必要不充分条件 答案:B 解析: 4 . 2013 届 龙 泉 中 学 高 三 10 月 月 考 , 4 , 5 分 ) 若 函 数 f ( x) ? s i n x? ( ?

3 cos x ?

x( R, 又 ? )

f (? ) ? ? 2 , f ? ? ,且 ? ? ? 的最小值为 ( ) 0
A.

1 3

B.

2 3

3? ,则正数 ? 的值是 4 4 3 C. D. 3 2

答案:B 解析: 5. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,5,5 分)已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A(3, 0) , B(0,3) ,

??? ??? ? ? ? 3? 1 ? tan ? C (cos ? ,sin ? ) , ? ? ( , ) ,若 AC ? BC ? ?1 ,则 的值为 2 2 2sin 2 ? ? sin 2? 5 9 A. ? B. ? C.2 D.3 9 5
答案:B 解析: 6. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,6,5 分)已知向量 a 、 b 不共线, c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如 果 c ∥ d ,那么

?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案:D 解析:

?

? ?

?

? ?

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

?

? ?

?

? ?

用心

爱心

专心

1

7. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,7,5 分)已知函数 f ?x ? ? log 1 ?2 ? x ? 在其定义域上单调递减,则 函数 g ?x? ? loga 1 ? x A.

?

2

? 的单调增区间是
? ?1,0?
C. ?0,???

a

?? ?,0?

B.

D. ?0,1?

答案:D 解析:

8. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,8,5 分)已知函数 f ( x) ? 3 x ? cos 2 x ? sin 2 x, 且a ? f ?( ), f ?( x)

?

4

是 f ( x ) 的导函数,则过曲线 y ? x 上一点 P (a, b) 的切线方程为 A. 3x ? y ? 2 ? 0 B. 4 x ? 3 y ? 1 ? 0
3

C. 3x ? y ? 2 ? 0或3x ? 4 y ? 1 ? 0 答案:C 解析:

D. 3x ? y ? 2 ? 0或4 x ? 3 y ? 1 ? 0

9. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,9,5 分)在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该 物体位于 P 点,一分钟后,其位置在 Q 点,且 ?POQ ? 90 ,再过二分钟后,该物体位于 R 点,且
o

?QOR ? 60o ,则 tan 2 ?OPQ 的值等于
A.

4 9

B.

2 3 9

C.

4 27

D.

1 3

答案:C 解析: 10. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,10,5 分)已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且满足

3 (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,且 S n ? 2a n ? n , 2 和) 。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? A. 3 B. ? 2 C. ? 3 D. 2
答案:A 解析: 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 2013 届龙泉中学高三 10 月月考, 5 分) ( 11, 已知函数 y ? lg(4 ? x) 的定义域为 A , 集合 B ? {x | x ? a} , 若 P : x ? A ”是 Q :“ x ? B ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 “ 答案: a ? 4 ;

12. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,12,5 分)已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,项数是偶数,所有奇数 项之和为 15 ,所有偶数项之和为 35 ,则这个数列的项数为 答案: 20 解析:
用心 爱心 专心 2



13. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考, 5 分) 13, 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 是 AD 的中点, BE 与 AC 相交于点 F , 若 EF ? mAB ? nAD(m, n ? R) , 则 答案: ?2 解析: 14 . ( 2013 届 龙 泉 中 学 高 三 10 月 ; 月 考 , 14 , 5 分 ) 设

??? ?

??? ?

??? ?

m 的值为 n



?lg x, x ? 0, ? f ( x) ? ? 若f ( f (1)) ? 1, 则m = m 2 ? x ? ?0 3t dt , x ? 0, ?
答案: 1 解析:

15. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,15,5 分)已知函数 ? ( x) ? log 1 x 与函数 g ( x) 的图象关于 y ? x 对
2

称,

4 1 ? 的最大值为 ; a b (2)设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [?2, 0] 时,
(1)若 g (a) g (b) ? 2, 且a ? 0, b ? 0, 则 则实数 a 的取值范围是 答案: ?9 ; ( 4, 2) 解析:
3

f ( x) ? g ( x) ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 ? a ? 1? 在区间 (?2, 6] 内恰有三个不同实根,


三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,16, 12 分) 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (1)求 A ? B , (?R A) ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围. 因为 ? A ? x | x ? 3或x ? 7 , R

(1) A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10? , ????????????????????????2 分 解析: 所以 ? A ? B ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10 . ??????????????????????6 分 R (2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10? , ①当 C= ? 时,满足 C ? ? A ? B ?,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

?

?

?

?

?

???????????????????????????4 分

?

5 ; 2

????????????????8 分

?5 ? a ? a, 5 ? ②当 C≠ ? 时,要 C ? ? A ? B ?,则 ?5 ? a ? 2, 解得 ? a ? 3 . ???????????????11 分 2 ?a ? 10, ?
由①②得, a ? 3 ????????????????????????????????12 分

用心

爱心

专心

3

17. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,17, 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. (1)因为 cos 解析:

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

3 4 A 2 5 ,所以 cos A ? ,又 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? .?????3 分 ? 5 5 2 5

由 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3, 所以 bc ? 5 . 故 S ?ABC ?

??? ??? ? ?

1 bc sin A ? 2 . ?????????????????????????6 分 2

(2)由 bc ? 5 ,且 b ? c ? 6 ,解得 ?
2 2 2

?b ? 5, ?b ? 1, 或? ??????????????????9 分 ? c ? 1, ?c ? 5.
?????? ??????12

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 20 ,故 a ? 2 5 .

分 18. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,18, 12 分) 某风景区有 40 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 72 元。根据经验,若每辆 自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超出 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就 增加 3 辆。为了便于结算,每辆自行车的日租金 x (元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入 必须高于这一日的管理费用,用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减 去管理费用后的所得) 。 (1)求函数 y ? f (x) 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多? (1)当 x ? 6时, y ? 40 x ? 72,由40 x ? 72 ? 0, 解得x ? 1.8 解析: ????????????????????2 分 ? x ? N * ,? x ? 2,?2 ? x ? 6, x ? N * 2 ???????????????4 分 当x ? 6 时,y ? [40 ? 3( x ? 6)]x ? 72 ? ?3x ? 58x ? 72 4 由y ? 0, 有3x 2 ? 58 x ? 72 ? 0, 即 ? x ? 18 x ? N *) ( 3 ?6 ? x ? 17 ( x ? N * ) , ????????????????????????????6 分

?40 x ? 72 (2 ? x ? 6, x ? N * ) ? 故y?? ????????????????????7 分 2 * ??3x ? 58 x ? 72 (6 ? x ? 17, x ? N ) ?
(2)对于 y ? 40 x ? 72 (2 ? x ? 6, x ? N ) ,
*

显然当 x ? 6 时, ymax ? 168 (元) ????????????????????????9 分 ,

对于y ? ?3x 2 ? 58 x ? 72 ? ?3( x ?

当x ? 10 时, ymax ? 208 (元)

29 2 625 ) ? (6 ? x ? 17, x ? N * ) 3 3 ? 208 ? 168 ??????????????????11 分

∴当每辆自行车的日租金定在 10 元时,才能使一日的净收入最多。 ??????????12 分 19. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,19,12 分) 已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 ? a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .数列 b1 ,b2 ? b1 ,b3 ? b2 ,?,

1 bn ? bn?1 是首项为 1 ,公比为 的等比数列. 3
用心 爱心 专心 4

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若 cn ? an ? (bn ? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

3 2

解析:(1) 解: 设等差数列 {an } 的公差为 d , 则依题知 d ? 0 , 由 a2 ? a7 ? a3 ? a6 ? 16 且 a3 ? a6 ? 55 得 a3 ? 5, a6 ? 11, d ? 2

? an ? a3 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 1 ;

??????????????????????????4 分
n ?1

(2) 由(1)得: an ? 2n ? 1( n ? N ? ) .

b1=1,当 n≥2 时, bn ? bn?1 ? ? ?

?1? ? 3?


2 n ?1

1 ?1? 3? 1? ?1? ?bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ?? (bn ? bn?1 ) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? n ? 3 ? 3? 2? 3 ? ? 3? 3 1 3 3? 1? 因而 bn ? ?1 ? n ? , n ? N ? . cn ? an ? (bn ? ) ? (2n ? 1) ? ( ? ) ? n ,??????????7 分 2 3 2 2? 3 ? 3 1 3 5 2n ? 1 ) ∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? 2 3 3 3 3n 1 3 5 2n ? 1 令 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ① 3 3 3 3n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② 3 3 3 3 3n 3
①-②得:

2 1 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ???????????10 分 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 3 n ?1 ∴ Tn ? 1 ? n . ∴ Sn ? ( n ? 1) . ??????????????????????12 分 2 3 3
20. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考 20,13 分) x 已知函数 f ( x) ? log4 (4 ?1) ? kx (k ? R) 是 R 上的偶函数. (1)求 k 的值;
x (2)设 g ( x) ? log4 (a ? 2 ?

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范 3

围. (1)由函数 f ( x ) 是偶函数可知: f ( x) ? f (? x) 解析:

?log4 (4x ?1) ? kx ? log4 (4? x ?1) ? kx
x

????????????????????2 分

4 ?1 ? ?2kx 即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立 ??????????????4 分 4? x ? 1 1 ? k ? ? ?????????????????????????????????5 分 2 (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点 1 4 x x 即方程 log 4 (4 ? 1) ? x ? log 4 (a ? 2 ? a) 有且只有一个实根 ??????????7 分 2 3 1 4 x x 化简得:方程 2 ? x ? a ? 2 ? a 有且只有一个实根 2 3 4 2 x 令 t ? 2 ? 0 ,则方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根 ??????????9 分 3 3 ① a ? 1 ? t ? ? ,不合题意; ???????????????????????10 分 4 log 4
用心 爱心 专心 5

3 或 ?3 ???????????????????????????11 分 4 3 1 1 若 a ? ? t ? ? ,不合题意;若 a ? ?3 ? t ? ??????????????12 分 4 2 2 ?1 ? 0 ? a ?1 ③一个正根与一个负根,即 a ?1 综上:实数 a 的取值范围是 ??3? ? (1, ??) ???????????????????13 分
②? ? 0? a ? 21. (2013 届龙泉中学高三 10 月月考,21, 14 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ln( x ? 1) (a, b ? R, 且a ? 2) ⑴当 b ? 1 且函数 f ( x ) 在其定义域上为增函数时,求 a 的取值范围; ⑵若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,试用 a 表示 b ; ⑶在⑵的条件下,讨论函数 f ( x ) 的单调性。 (1)当 b ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln( x ? 1) ,其定义域为 (?1, ??) 。 解析:

1 。? 函数 f ( x ) 是增函数, x ?1 1 ? 0 恒成立。 ??????????????2 分 ? 当 x ? ?1 时,? f ?( x) ? 2 x ? a ? x ?1 1 即当 x ? ?1 时, a ? 2 x ? 恒成立。 x ?1 1 1 2 ? 2( x ? 1) ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ,且当 x ? ? 1 时取等号。 ? 当 x ? ?1 时, 2 x ? x ?1 x ?1 2 ? a 的取值范围为 (??, 2 2 ? 2] 。????????????????????????4 分 b (2)? f ?( x) ? 2 x ? a ? ,且函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值, x ?1 ? f ?(1) ? 0. ?b ? 2a ? 4. a?4 2( x ? 1)( x ? ) 2a ? 4 2 . ??????????????????6 分 此时 f ?( x) ? 2 x ? a ? ? x ?1 x ?1 a?4 ? 1 ,即 a ? 6 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 x ? 1 不是极值点。 当 2 ?b ? 2a ? 4 (a ? 6, 且a ? 2) ???????????????????????????8 分 a?4 2( x ?1)( x ? ) 2 得 (3)由 f ?( x) ? x ?1 a?4 ? ?1. ? 当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0; ①当 a ? 2 时, 2 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0. ? 当 a ? 2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?1,1) ,单调递增区间为 (1, ??) 。????????10 分 a?4 a?4 ? 1. ? 当 ?1 ? x ? , 或x ? 1时,f ?( x) ? 0; ②当 2 ? a ? 6 时, ?1 ? 2 2 ? f ?( x) ? 2 x ? a ?

用心

爱心

专心

6



a?4 a?4 ,1) ,单调递增区间为 (?1, ), (1, ??) 。 2 2 a?4 a?4 ? 1. ? 当 ?1 ? x ? 1, 或x ? 时,f ?( x) ? 0; ③当 a ? 6 时, 2 2 a?4 时,f ?( x) ? 0; 当1 ? x ? 2 a?4 a?4 ) ,单调递增区间为 (?1,1), ( , ??) 。 ? 当 a ? 6 时, f ( x) 的单调递减区间为 (1, 2 2

a?4 ? x ? 1时,f ?( x) ? 0; 2

? 当 2 ? a ? 6 时, f ( x) 的单调递减区间为 (

????????????????????13 分 综上所述:? 当 a ? 2 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (?1,1) ,单调递增区间为 (1, ??) ;

a?4 a?4 ,1) ,单调递增区间为 (?1, ), (1, ??) ; 2 2 a?4 a?4 ) ,单调递增区间为 (?1,1), ( , ??) 。 当 a ? 6 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (1, 2 2
当 2 ? a ? 6 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ????????????????????????14 分

用心

爱心

专心

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