数学选修4-4第一讲:1.3.2直线的 极坐标方程_图文


复习引入: 1.怎样求曲线的极坐标方程? 答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。 2.圆的极坐标方程类型 求下列圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为2; ?=2 (2)圆心在C(a,0),半径为a; ?=2acos ? ?=2asin ? (3)圆心在(a,?/2),半径为a; (4)圆心在C(?0,?0),半径为r。 ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2 学习新内容 类比圆由于圆心坐标的不同会有不同的 极坐标方程,直线也有不同的几类情况: l l ? O x 图一 O ? l ? P x 图三 O a 图二 x 三 简单曲线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程 新课讲授 例如:求过极点,极轴到射线的角 ? 为 的射线极坐标方程。 M 分析: ? 如图,所求的射线 4 ﹚ 上任一点的极角都 o x ? / 4 是 ,其 极径可以取任意的非负数。故所求 ? 直线的极坐标方程为 ? ? 4 ( ? ? 0) 4 思考: 例如:求过极点,极轴到射线的角 5? 为 的射线极坐标方程。 4 5 易得 ? ? ? ( ? ? 0) 4 例1:求过极点,从极轴到直线的角 ? 为 4 的直线极坐标方程。 5 ? ? ( ? ? 0) 和 ? ? ? ( ? ? 0) 4 4 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不 方便,要用两条射线组合而成。原因在哪? ? ??0 为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。 若ρ ? 0,则 ? ρ ? 0,我们们规定M(ρ,θ)与点 P(?ρ, θ)关于极点对称 . 所以, 如果允许ρ取全体实数, 那么么上面直 π 5π 的极坐标标方程θ ? (ρ ? R)或θ ? (ρ ? R). 4 4 ? ? ? ( ? ? 0)表示极角为?的一条射线。 ?=? ( ? ? R)表示极角为?的一条直线。 1 练习1、极坐标方程 sin ? ? ( ? ? R )表示的曲线是 2 A、两条相交的直线 B、两条射线 C、一条直线 D、一条射线 1 3 解:由已知sin ? ? 可得 cos? ? ? 2 2 3 y 3 所以得 tan? ? ? 即 ?? 3 x 3 两条直线l1 : 3 x ? 3 y ? 0, l2 : 3 x ? 3 y ? 0 所以是两条相交直线 . 例2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于 极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? ,? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 Rt ?MOA 中有 即 ? cos ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。 OM cos ?MOA ? OA 练习2、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 2 ? ? sin ? ? 2 ? (2, ) A 2 M ? ? O H 求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? ,? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。 解:在直线l上任意取点M ( ? , ? ) A(2, ) 4 ? MH ? 2 ? sin 思考1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4 ? A ? ? (2, ) 4 M ? ? O 4 在Rt ?OMH中, MH = OM sin ? , ? 2 ? H 即? sin ? ? 2 故过点A(2, )平行于极轴的直线方程为? sin ? ? 2 4 ? 例 3 设点P的极坐标为(ρ1,θ1,) ,直线l过点P且 与极轴所成的角为α,求直线l的极坐标方程。 解:如图,设点M(ρ,θ),为直线上除点P外的 任意一点,连接OM,则 ? M OM ? ?, ?xOM ? ? . 由点P的极坐标为 ( ?1 , ?1 ) OP ? ?1 , ?xOP ? ?1 . o P ? ﹚ ? ﹚ 1 ?1 x 设直线l与一极轴交于 A,已知直线l与极轴成?角,于是?xXAM ? ? ?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 )由正弦定理得 OM OP ? 即 sin( ? ) ? 1 sin( ? 1 ) sin ?OPM sin ?OMP ? ? ? ? ? ? 显然点P的坐标也是它的解 练习3:设点P极坐标为A ( a , 0),直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ? ,求直 线l 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? ,? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM, 在?MOA 中有 ? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 即 ? sin(? ? ? ) ? a sin ? 显然A点也满 足上方程。 思考2、在极坐标系中,与圆 ?=4 sin ?相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、? sin ? ? 2, B、? cos? ? 2 C、? cos? ? 4, D、? cos? ? ?4 解:圆?=4 sin ?的化为直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0即x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x ? 2化为极坐标方程为 ? cos? ? 2 小结:直线的几种极坐标方程 1.过极点 2.过某个定点,且垂直于极轴 3.过某个定点,且与极轴成一定的角度 巩固:在极坐标系中, 已知一个圆的方程 6 直线的极坐标方程是( C ) A、? sin ? ? 3 3B、? sin ? ? ?3 3 C、? cos? ? ?3D、

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