江西省赣州市博雅文化学校2013届高三班级交流试题1文科数学


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江西省赣州市博雅文化学校“班级交流”试题 1 文科数学 (2013 届高三)

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分

1、已知 z 是纯虚数, z ? 2 对应的点在实轴上,那么 z 等于( D ) 1?i

A 2i

B. i

C. ?i

D. ?2i

开始

2、设 tan? ? 3 ,? ? ? ? 3? ,则 sin 2? 的值为( D )

输入x

3

2

A. ? 3 2

B. ? 1 2

C. 1

D. 3

2

2

n=1 n=n+1

3、平面向量 a 与 b 的夹角为 2? , a ? (3, 0),| b |? 2 ,则| a ? 2b | = ( C ) 3

A. 7

B. 37

C. 13

D. 3

4、已知实数 x ?[0,10] ,若执行如下左图所示的程序框图,则输出的 x

不小于 47 的概率为( A )

x=2x+1
n≤3 是 否
输出x

1

1

1

1

A.

B.

C.

D.

2

3

4

5

结束 第 4 题图

5、已知

f

?x? ?

?1?x ?? ?3?

?

log 3

x

,实数

a、b、c

满足

f

?a??

f

?b??

f

? c ? <0,且

0<a<b<c,若实数

x0

是函数

f

?x?

的一个零点,那么下列不等式中,不.可.能.成立的是 ( D )

A. x0 <a

B. x0 >b

C. x0 <c

D. x0 >c

6、已知偶函数 f (x) 在 R 上的任一取值都有导数,且 f '(1) ? 1, f (x ? 2) ? f (x ? 2), 则曲线 y ? f (x) 在 x ? ?5

处的切线的斜率为 ( D )

A.2

B.-2

C.1

D.-1

7、某几何体的三视图如图所示,当 a ? b 取最大值时,这个几何体的体积为( D )

A. 1

B. 1

C. 2

D. 1

6

3

3

2

8、定义:关于 x 的不等式 | x ? A |? B 的解集叫 A 的 B 邻域.已知 a ? b ? 2 的 a ? b 邻

域为区间

(?2,

8)

,其中

a、b

分别为椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1的长半轴和短半轴.若此椭圆的

一焦点与抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦点重合,则椭圆的方程为( B. )

A. x 2 ? y 2 ? 1 B. x 2 ? y 2 ? 1

83

94

C. x 2 ? y 2 ? 1 98

D. x 2 ? y 2 ? 1 16 9

9、已知函数 f ? x? ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? x4 ? ? x2013 设 F ? x? ? f ? x ? 4? ,且函数 F(x)的零点均在区间

234

2013

?a,b??a ? b, a,b ? Z? 内,圆 x2 ? y2 ? b ? a 的面积的最小值是 ( A )

A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 4?

10、点 P 的底边长为 2 3 ,高为 2 的正三棱柱表面上的动点,MN 是该棱柱内切球的一条直径,则 PM ? PN 取

值范围是 (C )

A.[0,2]

B.[0,3] C.[0,4]

D.[—2,2]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11、若直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m 的值为 1

12、已知等差数列

{an

}

的公差和首项都不等于

0,且

a2

,

a4

,

a8

成等比数列,则

a1

? a2

a5 ?

? a3

a9

?

3

?x ? y ? 4

13、已知点

P

的坐标

(x,

y)满足

? ?

y

?

x

,过点 P 的直线 l 与圆 C : x2 ? y2 ? 14 相交于 A、B 两点,则 AB

??x ? 1

的最小值为 4

14、对于定义域和值域均为[0,1] 的函数 f (x) ,定义 f1(x) ? f (x) ,f2 (x) ? f ( f1(x)) ,…,fn (x) ? f ( fn?1(x)) ,

n=1,2,3,….满足 fn (x) ? x 的点称为 f 的 n 阶周期点.
(1)设 f (x) ? x2 , x ? ?0,1?则 f 的 2 阶周期点的个数是______2_____;

(2)设

f

(x)

?

???2x ?

???2 ? 2x

x ?[0, 1] 2 则 f 的 2 阶周期点的个数是___4_______
x ?[1 ,1] 2

.

15、给出以下五个命题: ①点 (? , 0)为函数f (x) ? tan(2x ? ? ) 的一个对称中心

8

4

②设回时直线方程为 y? ? 2 ? 2.5x ,当变量 x 增加一个单位时,y 大约减少 2.5 个单位

③命题“在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题

④对于命题 p:“ x ? 0 ”则 ?p “ x ? 0 ”

x ?1

x ?1

⑤设 平面?及两直线 l, m , m ? ? ,则“ l // m ”是 “ l //? ” 成立的充分不必要条件.

不正确的是 ④⑤

三、解答题(本大题共计 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

16、(本小题满分 12 分)我校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,

但可见部分如下,据此解答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数; (2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在 [90,100]之间的概率.
解:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为 2,

频率为 0.008×10=0.08 全班人数 2 =25 0.08
所以分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4…………3 分

(2)分数在[50,60)之间的总分数为 56+58=114

分数在[60,70)之间的总分数为 60×7+2+3+3+5+6+8+9=456

分数在[70,80)之间的总分数为 70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747

分数在[80,90)之间的总分数为 85×4=340 分数在[90,100]之间的总分数为 95+98=193

所以,该班的平均分数为 114 ? 456 ? 747 ? 340 ?193 ? 74 ……………5 分 25
估计平均分数时,以下解法也给分:

分数在[50,60)之间的频率为 2 =0.08 分数在[60,70)之间的频率为 7 =0.28

25

25

分数在[70,80)之间的频率为 10 =0.40 分数在[80,90)之间的频率为 4 =0.16

25

25

分数在[90,100]之间的频率为 2 =0.08 所以该班的平均分数约为 55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95

25

×0.08

=73.8

所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 4 ÷10=0.016………………8 分 25
(3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6,

在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个.

其中,至少有一份在[90,100]之间的基本事件有 9 个,故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 9 =0.6… 15
17、(本小题满分 12 分)已知 ABCD 是矩形,AD=2AB,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点,PA⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:DF⊥平面 PAF; (Ⅱ)在棱 PA 上找一点 G,使 EG∥平面 PFD,当 PA=AB=4 时,求四面 体 E-GFD 的体积. (Ⅰ)证明:在矩形 ABCD 中,因为 AD=2AB,点 F 是 BC 的中点,

所以FD ?平面PAF
6分

…………

再过 H 作 HG // PD交 PA 于 G ,所以 GH // 平面 PFD,且 AG ? 1 PA………10 分 4

所以平面 EHQ// 平面 PFD,所以 EG // 平面 PFD, G 点即为所求.

因为 PA ? AB ? 4 ,则 S?EFD ? 32 ? S?AED ? S?EBF ? S?FCD ? 12 ,AG=1

?VE?FDG ? VG?EFD ? 4

………………12 分

18、(本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin 2x, cos 2x), n ? (cos 2x, ? cos 2x) .

(1)若 x ? (7? , 5? ) , m ? n ? 1 ? ? 3 , 求 cos 4x ;

24 12

25

(2)设 ?ABC 的三边 a,b, c 满足 b2 ? ac ,且边 b 所对应的角的大小为 x ,若关于 x 的方程 m ? n ? 1 ? k 有且仅 2

有一个实数根,求 k 的值.

【解】(1)

m

?

n

?

sin

? ??

4

x

?

? 6

? ??

?

1 2

……………4



由条件有 ?

? 4x ? ? 6

? 3? 2

,故

cos4x

?

cos?????? 4x

?

? 6

?? ?

?

? 6

? ? ?

?

3

?4 10

3 ……………6 分

(2)由余弦定理有 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos x ,又 b2 ? ac ,从而 ac(1? 2 cos x) ? a2 ? c2 ? 2ac

?

cos

x

?

1 2

?

x

?

? ??

0,

? 3

? ??

……………8 分

由此可得 ? ? ? 4x ? ? ? 7? ,结合图象可得 m ? 1或 ? 1 .……………12 分

6

66

2

19、(本小题满分 12 分)设正项数列{an}的前项和Sn ,若{an}和{ Sn }都是等差数列,且公差相等,(1)求{an }

的通项公式;(2)若 a1, a2

, a5

恰为等比数列{b n

}的前三项,记数列

cn

?

1 log 3 4bn?1 ? log 3 4bn?2

数列{cn }

的前

n

项和为

Tn

,

求证

1 2

? Tn

?1

? ? 解:设

an

的公差为 d

,则 sn

?

na1

?

n(n ?1)d 2

,即

Sn ?

d 2

n2

?

(a1

?

d 2

)n





sn 是等差数列得到:

Sn ?

d 2

n2

? (a1

?

d )n 2

?

dn ?

q

(或=

???a1 ?

?

d 2

?

0

……2 分,)

? ??

sn ?

dn 2

则d ?

d 2

且d

?

2a1

?

0

,所以 d

?

1 2

,…… 4

分,

所以: a1

?

d 2

?

1 4

……5

分, an

?

1 4

?

(n ?1) ?

1 2

?

2n ?1 4

……6



(2)由

b1

?

a1

?

1 4

, b2

?

a2

?

3 4

, b3

?

a5

?

9 4

,得到:等比数列 {bn } 的公比

q

?

3,

所以: bn

?

1 ? 3n?1 , 4

……8 分

所以 cn

?

log3

3n

1 ? log3

3n?1

?

1 n(n ?1)

?

1 n

?

1 ……10 n ?1



Tn

?1?

1 2

?

1 2

?

1 3

?

?

1 n

?

1 n ?1

?1?

1 n ?1

……易证 1 2

?

Tn

?1

……12 分

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f (x) ? a ln x ? 2a2 ? x . x
(1)若曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0垂直,求实数 a 的值.

(2)若 a ? 0 ,求 f (x) 的最小值 g(a) ;

(3)在(Ⅱ)上求证: g(a) ? ?e?4 .

? ? 解:(Ⅰ)

f (x) 的定义域为

xx?0



f ?(x) ?

a x

? 2a2 x2

? 1, (x

? 0) ,根据题意有

f ?(1) ? ?2 ,

所以 2a2 ? a ? 3 ? 0 解得 a ? ?1或 a ? 3 . 2

………………………………4 分

(Ⅱ)

f ?(x) ?

a x

?

2a 2 x2

?1?

x2

? ax ? 2a2 x2

?

(x

?

a)( x x2

?

2a)

,

(x

?

0)

当 a ? 0 时,因为 x ? 0,由 f ?(x) ? 0 得 (x ? a)(x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? a ,

由 f ?(x) ? 0 得 (x ? a)(x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? a ,
所以函数 f (x) 在 (0, a) 上单调递减,在 ?a,?? ? 上单调递增; …………………8 分

(Ⅲ)由(2)知,当 a>0, f (x) 的最小值为 g(a) ? f (a) ? a ln a ? 3a, g?(a) ? ln a ? 4

令 g?(a) ? ln a ? 4 ? 0 g?( a)? l na? 4? 0a, ??4e

当 a ? e?4, g(a)单调递增,当a ? e?4, g(a)单调递减

g(a)的最小值为g(e?4 ) ? ?e?4 。 ? g(a) ? ?e?4 …………………13 分

21、(本小题满分

14

分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆

?

的方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0), 它的离

心率为 1 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x ? 4 上一点引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A、B. 2

(1)求椭圆 ? 的方程;

(2)若在椭圆 ?

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 上的点 (x0 ,

y0 ) 处的切线方程是

x0 x a2

?

y0 y b2

? 1.求证:直线 AB 恒过定点

C,并求出定点 C 的坐标;

(3)是否存在实数 ? ,使得求证: AC ? BC ? ? AC ? BC (点 C 为直线 AB 恒过的定点).若存在 ? ,请求出,

若不存在请说明理由

解:(I)设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

? b ? 0? 的焦点是 ??1, 0?

,故 c ?1,又

c a

?

1 2

,所以 a

? 2,b ?

a2 ? c2 ?

3,

所以所求的椭圆 ? 方程为 x2 ? y2 ? 1 . ………………………4 分 43

(II)设切点坐标为 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ?4,t ? ,则切线方程分别为 x1x ? y1y ? 1 ,
43

x2 x 4

?

y2 y 3

? 1,又两切线均过点

M,即 x1

?t 3

y1

? 1,

x2

?

t 3

y2

?1 ,即点 A,B 的坐标都适合方程 x ? t y ? 1 ,故直 3

线 AB 的 方 程 是 x ? t y ? 1 , 显 然 直 线 x ? t y ? 1 恒 过 点 ( 1,0 ), 故 直 线 AB 恒 过 定 点

3

3

C ?1, 0? .…………………………………8 分

(III)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ?1,代入椭圆方程,得 3

3??? ?

t 3

y ?1???2

? 4y2

?12

?

0

,即

? ?

?

t2 3

?

? 4?
?

y2

?

2ty

?9

?

0,

所以

y1

?

y2

?

t2

6t , ?12

y1 y2

?

?27 t2 ?12

,不妨设

y1

?

0,

y2

?

0



AC ?

? x1 ?1?2 ? y12 ?

? t2

? ?

9

?

? 1?

y12

?

?

t2 ?9 3

y1 ,同理

BC

??

t2 ?9 3

y2

,…………12



所以 1 ? 1 ? AC BC

3 ?1 1?

t2

?

9

?? ?

y1

?

y2

? ?

?

3 ? y2 ? y1 ? ? t2 ? 9 y1 y2

3? t2 ?9

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

??

3

?

? 6t ?2 ?? t2 ?12 ??

? 108 t2 ?12

?

1

? 144t2 ? 9?144 ? 4 ,

t2 ?9

?27

t2 ?9

9

3

t2 ?12

即 AC ? BC ? 4 AC ? BC ,……………………………14 分 3


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