湖北省孝感高中2019届高三上学期十月阶段性考试试题 文科数学


湖北省孝感高中 2019 届高三十月阶段性考试

数学(文)
命题人:姚继元 审题人:张华民
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求.) 1.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? y | y ? 2 ? x 2 ,则 M ? N ? A. [?1,??) 2.复数 (1 ? )(1 ? i ) = A.2i B.-2i C.2 D.-2 B. ?? 1,2? C. [?1, 2 ] D. ?

?

?

1 i

3.已知下面四个命题:① AB ? BA ?   ;② AB ? BC ? AC ;③ AB -AC ? BC ; 0  ④ 0 ? AB ? 0 。 其中正确的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.已知数列 ?a n ?中, a3 ? 2, a7 ? 1,且数列 ? A. ?

? 1 ? ? 是等差数列,则 a11 等于 a ? 1 n ? ?
C.5 D.

2 5

B.

1 2

2 3

5.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 3 , AC ? 4, ?B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积是 A. 4 3 6. 命题 p : 函数 y ? lg( x ? 域为 R.则 p 是 q 成立的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B. 8 3 C. 4 3 或 8 3 D. 3

a 2 ? 3) 在区间 ?2,??? 上是增函数; 命题 q : y ? lg( x ? ax ? 4) 函数的定义 x

7.已知向量 a ? ?1,2?, b ? ?1,0?, c ? ?3,4? ,若 ? 为实数, a ? ?b ∥ c ,则 ? = A.

?

?

1 4

B.

1 2

C.1

D .2

·1·

8.已知函数 f ( x) ? sin x ? ? cos x 的图象的一个对称中心是点 (

?
3

,0) ,则函数 g ( x) =

? sin x cos x ? sin 2 x 的图象的一条对称轴是直线
A. x ?
5? 6

B. x ?

4? 3

C. x ?

?
3

D. x ? ?

?
3

9.如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(色括两个端点)有 n(n>l,n∈N*)个点,相应的 图案中总的点数记为 an,则

9 9 9 9 = ? ? ?? ? a2 a3 a3a4 a4 a5 a2013 a2014

A.

2012 2013

B.

2013 2012

C.

2010 2011

D.

2011 2012

10.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ?[0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f ( x) 为理想函数. 下面有三个命题: (1)若函数 f ( x) 为理想函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 x ?1( x ?[0,1]) 是理想函数; (3)若函数 f ( x) 是理想函数,假定存在 x0 ?[0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] ,且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 则

f ( x0 ) ? x0 ;
其中正确的命题个数有 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.) 11.过原点作曲线 y ? e 的切线,则切线的方程为
x

.

·2·

12.角 ? 的终边过 P (sin

2? 2? , cos ) ,则角 ? 的最小正值是 3 3
.

.

13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

14.已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2(an ? 1) ,则 a7 =___.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 15. 设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若目标函数 z ? (a 2 ? b2 ) x ? y 的最大值为 8, 则a ?b ? x ? 0, y ? 0 ?
的最小值为___________.
2 16.二维空间中圆的一维测度(周长) l ? 2? r ,二维测度(面积) S ? ? r ,观察发现 S? ? l ;三

2 维空间中球的二维测度(表面积) S ? 4? r ,三维测度(体积) V ?

4 3 ? r ,观察发现 V ? ? S . 3

3 已知四维空间中“超球”的三维测度 V ? 8? r ,猜想其四维测度 W

? _________.
17S n ? S 2 n , n ? N * ,设 Tn0 为 an ?1

17.设 ?a n ?是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为 ?a n ?的前 n 项和。记 Tn ?

数列 ?Tn ?的最大项,则 n 0 =_______.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 18. (本小题满分 12 分)设命题 p : “对任意的 x ? R, x ? 2 x ? a ”,命题 q : “存在 x ? R ,使
2

x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”。如果命题 p ? q 为真,命题 p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,面积 S ? (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f ( x) ? 3 sin

3 ab cosC . 2

x x x cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值,及取得最大值时角 B 的值. 2 2 2

20. (本小题满分 13 分)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 (an , Sn ) 在直线 y ?
·3·

3 x ?1 上. 2

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列, 求数列 ?

? ?1? ? 的前 n 项和 Tn . d ? ? n?

21. (本小题满分 14 分)设 x1、x2( x1 ? x2 )是函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a 2 x ( a ? 0 )的两个极值点. (1)若 x1 ? ?1 , x2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值.

22. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F1、F2 , 上顶点为 A , a 2 b2

在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF1 = F 1F 2 ,且 AB ? AF2 . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点,线段 MN 的中 垂线与 x 轴相交于 P ? m, 0? ,求实数 m 的取值范围.

A

y

B

F1 O

F2

x

湖北省孝感高中 2019 届高三十月阶段性考试

数学(文)参考答案
·4·

一、选择题 BACBC DBDAA 二、填空题 11.y=ex 15. ? 2 2 三、解答题 18.解:由题意:对于命题 p : ∵对任意的 x ? R, x ? 2 x ? a
2

12.

11? 6
4

13.200 17.4

14.-128

16. 2?r

∴ ?1 ? 4 ? 4a ? 0 ,即 p: a ? ?1 ; 对于命题 q : ∵存在 x ? R ,使 x ? 2ax ? 2 ? a ? 0
2

…………………2 分

∴ ? 2 ? 4a ? 4(2 ? a) ? 0 ,即 q: a ? 1或a ? ?2 .
2

…………………4 分

∵ p ? q 为真, p ? q 为假 ∴p,q 一真一假, p 真 q 假时 ? 2 ? a ? ?1 , p 假 q 真时 a ? 1 , ∴a 的范围是 (?2, ?1) 19..解: (1)由 S= …………………6 分 …………………8 分 …………………10 分

[1, ??) .

…………………12 分

3 1 1 absinC 及题设条件得 absinC= abcosC……… ………1 分 2 2 2

即 sinC= 3 cosC,? tanC= 3 ,………………………………………………2 分

? 0<C< ? ,? C=
(2) f ( x) ?

? ………………………………………………………… …4 分 3
………7 分

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2

? 1 ? sin( x ? ) ? , 6 2
∵ C=

……………………9 分 (没讨论,扣 1 分) …10 分

2? ? ) ∴ B ? (0, 3 3



? ? 5? ? B? ? 6 6 6

·5·

当B?

? ? ? 3 ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 ………………………… …12 分 6 2 3 2

20..解:由题设知, S n ? 得 Sn ?1 ?

3 an ? 1 2

………………… …………1 分

3 an ?1 ? 1(n ? N* , n ? 2) ) ,………………………………2 分 2 3 两式相减得: an ? ( an ? an ?1 ) , 2
即 an ? 3an?1 (n ? N* , n ? 2) , 又 S1 ? ………………………………4 分

3 a1 ? 1 得 a1 ? 2 , 2

所以数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, ∴ an ? 2 ? 3
n ?1

.
n n ?1

…………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an?1 ? 2 ? 3 , an ? 2 ? 3

因为 an?1 ? an ? (n ? 1)d n , 所以 d n ?

4 ? 3n ?1 n ?1
……………………8 分

所以

1 n ?1 ? d n 4 ? 3n ?1
1 1 1 1 ? ? ? …? , dn d1 d 2 d 3

令 Tn ? 则 Tn ?

n ?1 2 3 4 ? ? ? …? ① 0 1 2 4 ? 3n ?1 4?3 4?3 4?3 n n ?1 1 2 3 Tn ? ? ?…? ? ② 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1 n ?1 2 2 1 1 ? ? ? ?…? ①…②得 Tn ? ………10 分 n ?1 0 1 2 4?3 4 ? 3n 3 4?3 4?3 4?3 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 3 n ? 1 5 2n ? 5 3 ? ? ? ? ? ? n 1 2 4 4 ? 3 8 8 ? 3n 1? 3 15 2n ? 5 ? Tn ? ? …………………………………12 分 16 16 ? 3n ?1
·6·

21.解: (1)∵ f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) ,
3 2 2

∴ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0)
2 2

…………………………2 分

依题意有-1 和 2 是方程 3ax2 ? 2bx ? a 2 ? 0 的两根
2b ? 1? ? ? ? 3 a , ∴ ? ?? 2 ? ? a ? 3 ?

解得 ?

?a ? 6 , ?b ? ?9

∴ f ( x) ? 6x 3 ? 9x 2 ? 36x . (经检验,适合)…………………………5 分 (2)∵ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) ,依题意, x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根,
2 2

∵ x1 x 2 ? ?

a ? 0 且 | x1 | ? | x2 |? 2 2 , 3
2

∴ ( x1 ? x2 ) ? 8 . ∴ (? ∴ b ? 3a (6 ? a) .
2 2
2 ∵b ≥0

2b 2 4a ) ? ? 8, 3a 3
…………………………8 分 …………………………9 分

∴0 ? a≤6 .

设 p(a) ? 3a2 (6 ? a) ,则 p?(a) ? ?9a2 ? 36a . 由 p?(a) ? 0 得 0 ? a ? 4 ,由 p?(a) ? 0 得 a ? 4 . 即:函数 p (a ) 在区间 (0, 4] 上是增函数,在区间 [4, 6] 上是减函数, ∴当 a ? 4 时, p (a ) 有极大值为 96, ∴ p (a ) 在 (0,6] 上的最大值是 96, ∴ b 的最大值为 4 6 . …………………………14 分

22.(1)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF1 = F 1F 2 ,所以

AF1 ? F1F2 ,即 a =2c ,故椭圆的离心率为 e ?
(2)由(1)知 e ?

1 ; 2

……………3 分

1 ?1 ? ? 3 ? ? 1 ? ,得 F2 ? a, 0 ? , B ? ? a, 0 ? , Rt ?ABF2 的外接圆圆心为 F1 ? ? a, 0 ? ,半径 2 ?2 ? ? 2 ? ? 2 ?

r?

1 F2 B ? a , 2
·7·

因为过 A、B、F2 三点的圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,

1 ? a ?3 2 ? a ,解得: a =2 ,?c=1, b ? 3 . ∴ 2

x2 y 2 ? ?1. 所以所求椭圆方程为: 4 3
(3)由(2)知 F2 ?1,0? ,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1),

……………7 分



? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 2 得: ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) ?

因为直线 l 过 F2 点,所以 ? ? 0 恒成立. 设 M ? x1, y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,由韦达定理得: x1 ? x2 ? 所以 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 故 MN 中点为 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?6k . 3 ? 4k 2
……………10 分 ……………11 分

? 4k 2 ?3k ? . , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?

当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 ; 当 k ? 0 时, MN 中垂线方程为 y ?

3k 1? 4k 2 ? ? ? x ? ? ?. 3 ? 4k 2 k? 3 ? 4k 2 ?

令 y ? 0 ,得 m ?

3 3 1 k2 1 ? .因为 2 ? 0, 2 ? 4 ? 4, 所以 0 ? m ? . 2 3 k k 4 3 ? 4k ?4 k2

……………13 分 综上可得实数 m 的取值范围是 ?0, ? .

? 1? ? 4?

……………14 分

·8·


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