2015甘肃省一诊


2015 年甘肃省第一次高考诊断考试

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 答卷前, 考生务必将自已的姓名、 准考 证号填写答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 时,将合案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ≤ 1 ,集合 B ? Z ,则 A∩B ?

?

?

A.?0?
D.?
2.设 i 是虚数单位,复数 Z ? 1 ?

B.? x ? 1 ≤ ≤ x

?1

C.?? 1 , ?0 , 1

1? i 为 1? i

A.1 ? i D. ? 1 ? i

B.1 ? i

C. ? 1 ? i

3.已知向量 a = (m, ?2), b ? (4, ?2m) ,条件 p : a ∥ b ,条件 q : m ? 2 ,则 p 是 q 的

A. 充分不必要条件
也不必要 4.函数 f ( x) ?

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分

A.( , 0) 3 D.(?

?

1 cos 2 x ? 3 sin x cos x 的一个对称中心是 2 B.( , 0) 6

?

C .( ?

?
6

, 0)

?

12

, 0) 3 2

0.1 5.设 a ? ( ) , b ? lg(sin 2) , c ? log3 2 ,则 a, b, c 的大

小关系是

A. a>b>c C. b>a>c
3 ? 2)? 2

B. a>c>b D. b>c>a

6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A. (

B. (

3 ? 4)? 3 3 ? 2)? 6 3 ? 2)? 3

C. (

D. (

7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

A. 6 C . 10

B. 8 D. 15

? 2 x ? 2 y ≥ 1, ? 8.若 x,y 满足约束条件 ? x ≥ y , 则 3x ? 2 y 的取值范围 ? 2 x ? y ≤ 1, ?
5 A. [ , 5] 4 5 C . [ , 4] 4
9.已知 x>, y>0 ,且

7 B. [ , 5] 2 7 D. [ , 4] 2

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y>m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y
B. (0, 2) C. (?4, 2) D. (?2, 4)

A. (0, 2]
10. P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的 右 支 上 一 点 , M , N 分 别 是 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 圆 和 9 16

( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大什值为
A. 8 B. 9

C . 10

D. 7

2 11.若关于 x 的不等式 x ? ax ? c<0 的解集为 x ?2<x<1 ,对于任意的 t ?[1, 2] ,函数

?

?

1 f ( x) ? ax3 ? (m ? ) x 2 ? cx 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,则 m 的取什值范围是 2

A. ?

14 <m< ? 3 3

B. ? 3<m< ? 1

C. ?

14 <m< ? 1 3

D. ? 3<m<0
12.已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 和两点 A(?a,1), B(a, ?1) ,且 a>0 ,若圆 C 上存在点 P ,
2 2

使得 ?APB ? 90 ,则 a 的最大值为

A. 6

B. 35

C. 2 6

D. 5

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.第 22~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若 △ ABC 的三边为 a, b, c , 它的面积为 直 三 棱 柱

a 2 ? b2 ? c2 tn C ? _________________. , 则a 4

14.

A B? C 1

1

在 同 一 个 球 面 上 , A的 1 B 顶C 点

AB ? 3, AC ? 4, AA1 ? 2 6, ?BAC ? 90 ,则球的表面积 ________________.
15.高三某学习小组对两个相关变量收集到 6 组数据如下表: x y 10 39 20 28 30 m 40 n 50 43 60 41

由最小二乘法得到回归直线方程,发现表中有两个数据模糊不清,则这两个数据的和是 _____________. 16.过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的右顶点 A 做斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率为 2

两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 B, C , 若 A B? _____________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前项和为 Sn 且

1 1 1 * (n? N ) ? ? Sn n n ? 1

(I)求 a1 及数列 ?an ? 的通项公式 an ; (II)设数列 ?

? an ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . n ?1 ? ?2 ?

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , AB ∥ CD, AB ? BC,

PA ? 2CD ? 2BC ? 2,

PB ? 2 2 , PD ? 6 , E 为 PD 上一点.
(I) 求证: PA ? 平面 ABCD ;. (II)若三棱锥 E ? ACD 的体积为

1 , 求点 E 到平面 PAB 的距离. 6

19.(本小题满分 12 分) 在 APEC 会议期间,北京放假六天,铁路部门再开五地旅游专列,现用分层抽样的方法从 去淅江、四川、江西、湖南、陕西五地旅游人员中抽取若干人成立旅游爱好者协会,相关 数据统计如下: 旅游地 淅江 四川 江西 湖南 陕西 ( I )求 a, b, c, d 的值; (II)若从去江西和陕西两地已抽取的人数中选 2 人担任旅游爱好者协会会长,求这两人 来自不同旅游地的概率. 相关人数 30 b 24 c 12 抽取人数 a 1 4 3 d

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点 (2,1) . ( I ) 求抛物线的标准方程; ( II )与圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N ,若 抛物线上一点

C 满足 OC ? ? (OM ? ON ) (其中 ?>0, O 为坐标原点),求 ? 取值范围。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex (? x2 ? b) 在点 P(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 3 . ( I ) 求函数 f ( x) 的单调递减区间; ( II )当 x ? (?1, ??) 时, f ( x) ? x2e x ? 2xe x ≥ m( x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对 应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答题第一题评分;多答按所答 第一题评分. 22.(本小题满分 10 分) 如图,点 C 是圆 O 的直径 BE 的延长线上一点, AC 是圆 O 的切线, A 为切点,?ACB 的 平分线 CD 与 AB 相交于点 D ,与 AE 相交于点 F . ( I ) 求 ? ADF 的度数; ( II )若 AB ? AC ,求

AC 的值. BC

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? x ? ? t ? 2, ? ? 5 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数), 以原点 O 为极点, 4 ? y ? t, ? 5 ?

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin ? .
( I )若 a ? 2 ,求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; ( II )设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍,求 a 的值.

..

.

.4

5

6


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