湖南省株洲二中2014-2015学年高二下学期入学数学试卷(理科)


湖南省株洲二中 2014-2015 学年高二下学期入学数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共计 50 分,每小题只有一个正确答案.请 将答案填入答题卷中的相应位置. ) 1. (5 分)在复平面内,复数 A.第一象限 对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限
2 2

2. (5 分)命题“若 x≥a +b ,则 x≥2ab”的逆命题是() 2 2 2 2 A.若 x<a +b ,则 x<2ab B. 若 x≥a +b ,则 x<2ab 2 2 2 2 C. 若 x<2ab,则 x<a +b D.若 x≥2ab,则 x≥a +b 3. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩B=() A.(1,2) B.(1,2] C.[﹣1,1) D.(﹣1,1) 4. (5 分)已知角 α 的终边与单位圆 x +y =1 交于 P( ,y0) ,则 cos2α=() A.﹣ B. 1 C. D.﹣
2 2 2

5. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为()

A.﹣3

B. 0

C. 1

D.3

6. (5 分)将 4 名同学录取到 3 所大学,每所大学至少要录取一名,则不同的录取方法共有() A.12 B.24 C.36 D.72 7. (5 分)若 θ= A. (0≤k≤10,k∈Z) ,则 sinθ+cosθ≥1 的概率为() B. C. D.

8. (5 分)在二项式(x﹣ ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 项的系数是() A.﹣56

n

2

B.﹣35

C.35

D.56

9. (5 分)已知△ ABC 的重心为 G,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 2a =0,则 sinA:sinB:sinC=()

A.1:1:1

B.3:2

:2

C.

:2:1

D.

:1:2

10. (5 分)对于一个有限数列 p=(p1,p2,…,pn) ,p 的蔡查罗和(蔡查罗是一位数学家) 定义为 , 其中 Sk=p1+p2+…+pk (1≤k≤n, k∈N) . 若一个 99 项的数列 (p1,

p2,…,p99)的蔡查罗和为 1000,那么 100 项数列(9,p1,p2,…,p99)的蔡查罗和为() A.991 B.992 C.993 D.999

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分,请将答案填入答题卷中的相应位 置. ) 11. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为.

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f(﹣2)]=.

13. (5 分)已知双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲

线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为. 14. (5 分)已知 f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f(x)>xf′(x)恒成立,则不 等式 x f( )﹣f(x)>0 的解集为.
2

15. (5 分)椭圆

(a>b>0)且满足 a≤

,若离心率为 e,则 e +

2

的最小值为.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 75 分,答题应写出详细的文字说明,证明过程或演算 步骤. ) 16. (12 分)口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的 2 个红球,4 个黑球.现从中 同时取出 3 个球. (Ⅰ)求恰有一个黑球的概率; (Ⅱ)记取出红球的个数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X) . 17. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,若 f(A)=2,C= 求△ ABC 的面积 S△ ABC 的值. 18. (12 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=2,AC=4.DE∥BC,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1D⊥CD,如图 2. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 A1DC; (Ⅱ)若 CD=2,求平面 A1BE 与平面 A1BC 所成二面角的大小. ,c=2,

19. (13 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣1,设 bn=2(log2an+1) ,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn?an}的前 n 项和 Tn; (3)证明:对于任意 n∈N+,不等式 ? ?…? > 恒成立.

*

20. (13 分)已知椭圆 C 过点 A(1,

) ,两焦点为 F1(﹣

,0) 、F2(

,0) ,O 是坐

标原点,不经过原点的直线 l:y=kx+m 与椭圆交于两不同点 P、Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 k=1 时,求△ OPQ 面积的最大值; (3)若直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列,求直线 l 的斜率 k.

21. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ax 在 x=2 处的切线 l 与直线 x+2y﹣3=0 平行. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)+m=2x﹣x 在 取值范围; (3)记函数 g(x)=f(x)+ ﹣bx,设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若
2

上恰有两个不相等的实数根,求实数 m 的

b≥ ,且 g(x1)﹣g(x2)≥k 恒成立,求实数 k 的最大值.

湖南省株洲二中 2014-2015 学年高二下学期入学数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共计 50 分,每小题只有一个正确答案.请 将答案填入答题卷中的相应位置. ) 1. (5 分)在复平面内,复数 A.第一象限 对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数, 分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限. 解答: 解:∵复数 = , ) = = ,

∴复数对应的点的坐标是( ∴复数

在复平面内对应的点位于第一象限,

故选 A. 点评: 本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,在解题时用到复数的加减乘除 运算,是一个比较好的选择或填空题,可能出现在 2015 届高考题的前几个题目中. 2. (5 分)命题“若 x≥a +b ,则 x≥2ab”的逆命题是() 2 2 2 2 A.若 x<a +b ,则 x<2ab B. 若 x≥a +b ,则 x<2ab 2 2 2 2 C. 若 x<2ab,则 x<a +b D.若 x≥2ab,则 x≥a +b 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑.
2 2

分析: 交换原命题的条件和结论可得命题的逆命题. 解答: 解:命题“若 x≥a +b ,则 x≥2ab”的逆命题是“若 x≥2ab,则 x≥a +b ”,故选:D. 点评: 本题考查四种命题,注意相应的定义. 3. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≤0},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩B=() A.(1,2) B.(1,2] C.[﹣1,1) D.(﹣1,1) 考点: 对数函数的定义域;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求解一元二次不等式化简集合 A,求解对数函数的定义域化简集合 B,然后直接利用 交集运算求解. 解答: 解:A={x|x ﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}, B={x|y=ln(1﹣x)}={x|1﹣x>0}={x|x<1}, 则 A∩B={x|﹣1≤x<1}=[﹣1,1) . 故选:C. 点评: 本题考查了对数函数定义域的求法,考查了交集及其运算,是基础题.
2 2 2 2 2 2 2 2

4. (5 分)已知角 α 的终边与单位圆 x +y =1 交于 P( ,y0) ,则 cos2α=() A.﹣ B. 1 C. D.﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用角 α 的终边与单位圆 x +y =1 交于 P( ,y0) ,求出 y0=± sinα=± ,从而可求 cos2α.
2 2 2 2

,可得 cosα= ,

解答: 解:∵角 α 的终边与单位圆 x +y =1 交于 P( ,y0) , ∴y0=± , ,
2

∴cosα= ,sinα=±
2

∴cos2α=cos α﹣sin α=﹣ , 故选:A. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,属于 基础题.

5. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为()

A.﹣3

B. 0

C. 1

D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=x ﹣2y 对应的直线进行平移,可得当 x=1,y=0 时,z 取得最大值 1.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(﹣1,1) ,B(2,1) ,C(1,0) 设 z=F(x,y)=x﹣2y,将直线 l:z=x﹣2y 进行平移, 当 l 经过点 C 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(1,0)=1 故选:C

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=x﹣2y 的最大值,着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 6. (5 分)将 4 名同学录取到 3 所大学,每所大学至少要录取一名,则不同的录取方法共有() A.12 B.24 C.36 D.72 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 先从 4 名学生中任意选 2 个人作为一组,方法有 分配到 3 所大学,方法有 =6 种;再把这一组和其它 2 个人

种,再根据分步计数原理求得结果. =6 种;再把这一组和其它 2

解答: 解:先从 4 名学生中任意选 2 个人作为一组,方法有 个人分配到 3 所大学,方法有 =6 种.

再根据分步计数原理可得不同的录取方法为 6×6=36 种, 故选 C. 点评: 本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用,属于中档题. (0≤k≤10,k∈Z) ,则 sinθ+cosθ≥1 的概率为()

7. (5 分)若 θ=

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求得 θ= 数,即可得出结论. 解答: 解:θ= sinθ+cosθ= ∴ +2nπ≤θ+ (0≤k≤10,k∈Z) ,∴θ 有 11 个. )≥1, +2nπ,n∈Z, (0≤k≤10,k∈Z) ,θ 有 11 个,再求出满足 sinθ+cosθ≥1,基本事件的个

sin(θ+ ≤

∴2nπ≤θ≤

+2nπ,n∈Z,

n=0,1,2,8,9,10 时满足题意, ∴所求概率为 .

故选:D. 点评: 本题考查概率的计算,确定基本事件的个数是关键.
n 2

8. (5 分)在二项式(x﹣ ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 项的系数是() A.﹣56

B.﹣35

C.35

D.56

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 先求出 n,在展开式的通项公式,令 x 的指数为 2,即可得出结论. 解答: 解:∵在二项式(x﹣ ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大, ∴n=8, 展开式的通项公式为 Tr+1=
2 n

=

?(﹣1) ?x =﹣56.

r

8﹣2r



令 8﹣2r=2,则 r=3,∴展开式中含 x 项的系数是﹣

故选:A. 点评: 本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,属于基础题. 9. (5 分)已知△ ABC 的重心为 G,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 2a A.1:1:1 =0,则 sinA:sinB:sinC=() B.3:2 :2 C. :2:1 D. :1:2

考点: 正弦定理;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 利用正弦定理化简已知表达式,通过 弦定理求解即可. 解答: 解:设 a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,若 2a 则 2a + =﹣3c +( =﹣3c(﹣ b﹣3c) ﹣ ) , =0, , 不共线,求出 a、b、c 的关系,利用正

即(2a﹣3c) 又因∵ ,

= , b﹣3c=0,即 2a= b=3c,

不共线,则 2a﹣3c=0,

由正弦定理可知:sinA:sinB:sinC=a:b:c=3:2 :2, 故选:B. 点评: 本题考查平面向量在几何中的应用,余弦定理以及正弦定理的应用,考查计算能力, 属于基础题. 10. (5 分)对于一个有限数列 p=(p1,p2,…,pn) ,p 的蔡查罗和(蔡查罗是一位数学家) 定义为 , 其中 Sk=p1+p2+…+pk (1≤k≤n, k∈N) . 若一个 99 项的数列 (p1,

p2,…,p99)的蔡查罗和为 1000,那么 100 项数列(9,p1,p2,…,p99)的蔡查罗和为() A.991 B.992 C.993 D.999 考点: 专题: 分析: 解答: 数列的求和. 等差数列与等比数列. 首先利用定义求出前 99 项的和,进一步求出结果. 解:由“蔡查罗和”定义,

{P1,P2,P99}的“蔡查罗和”为: ∴S1+S2+…+S99=99000, 则 100 项的数列{9,P1,P2,P99}“蔡查罗和”为: =999.

故选:D. 点评: 本题考查的知识要点:利用信息求出结果,主要考查对知识的应用能力.属于基础 题型. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分,请将答案填入答题卷中的相应位 置. ) 11. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为 8.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到满足条件 n>10,确定输出 S 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 S=1,n=2; 2 第二次循环 S=1+2=3,n=2 +1=5; 2 第三次循环 S=3+5=8.n=5 +1=26. 满足条件 n>10,跳出循环体,输出 S=8. 故答案为:8. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答 此类问题的常用方法.

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f(﹣2)]=8.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据自变量的大小确定该选用哪一段的函数解析式求解,从内向外逐一去括号即可 求出所求. 解答: 解:∵﹣2<0, 2 ∴f(﹣2)=(﹣2) =4,即 f[f(﹣2)]=f(4) , ∵4≥0, ∴f(4)=2×4=8,即 f[f(﹣2)]=f(4)=8, 故答案为:8. 点评: 本题考查了函数的求值问题.涉及了分段函数的求值,对于分段函数,一般选用分 类讨论和数形结合的思想方法进行求解, 解题中要注意判断变量的取值范围, 以确定该选用哪 一段的函数解析式求解.属于基础题.

13. (5 分)已知双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲

线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先设 P 点坐标,进而根据双曲线的定义可知丨 PF1 丨=ex+a,丨 PF2 丨=ex﹣a,根据 |PF1|=4|PF2|求得 e 和 a,x 的关系式,进而根据 x 的范围确定 e 的范围,求得 e 的最小值. 解答: 解:设 P(x,y) ,由焦半径得丨 PF1 丨=ex+a,丨 PF2 丨=ex﹣a, ∴ex+a=4(ex﹣a) ,化简得 e= ∵p 在双曲线的右支上, ∴x≥a,所以 e≤ ,即 e 的最大值是 故答案为: 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是利用了双曲线的定义,灵活利用 了焦半径与离心率之间的关系. 14. (5 分)已知 f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f(x)>xf′(x)恒成立,则不 等式 x f( )﹣f(x)>0 的解集为{x|x>1}.
2



考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 令辅助函数 F(x)= ,求其导函数,据导函数的符号与函数单调性的关系判

断出 F(x)的单调性,利用单调性判断出由不等式



的关系,利用不等式的

性质得到结论. 解答: 解:令 F(x)= ,则 F(x)= ,

∵f(x)>xf′(x) ,∴F′(x)<0, ∴F(x)=
2

为定义域上的减函数,

由不等式 x f( )﹣f(x)>0,

得:





∴ <x, ∴x>1, 故答案为:{x|x>1}. 点评: 本题考查了导数的运算,考查了利用导数研究函数单调性,函数的导函数符号确定 函数的单调性:当导函数大于 0 时,函数单调递增;导函数小于 0 时,函数单调递减.此题为 中档题.

15. (5 分) 椭圆

(a>b>0) 且满足 a≤

, 若离心率为 e, 则e +

2

的最小值为



考点: 椭圆的简单性质;基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 先根据 e= ,c= 而求得 e +
2

对e +

2

进行整理得 2+

,再根据 a≤



的范围,求得最小值. ,

解答: 解:∵a≤ e+
2

=

+

=

+

=2+ ∵a≤ ∴ , ,∴a ≤3b , ≥ ,且 ≥ =
2 2


2

≥ × =

∴e +



故答案为:

点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 75 分,答题应写出详细的文字说明,证明过程或演算 步骤. ) 16. (12 分)口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的 2 个红球,4 个黑球.现从中 同时取出 3 个球. (Ⅰ)求恰有一个黑球的概率; (Ⅱ)记取出红球的个数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其 分布列. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)记“恰有一个黑球”为事件 A,则 P(A)= = = .

(Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2,则 P(X=0)=

= ,P(X=1)=

=

= ,P(X=2)

=P(A)= ,从而列分布列并求数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)记“恰有一个黑球”为事件 A,则 P(A)= = = .

(Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2,则 P(X=0)= = ,P(X=1)= = = ,P(X=2)=P(A)= ;

则 X 的分布列为 X P

0

1

2

∴X 的数学期望 EX=0× +1× +2× =1. 点评: 本题考查了概率的求法及分布列与数学期望的求法,属于基础题. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,若 f(A)=2,C= 求△ ABC 的面积 S△ ABC 的值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. ,c=2,

分析: (1) 由二倍角公式化简可得 ( f x) =2sin (2x﹣ k∈Z 可解得函数 f(x)的单调递增区间. (2)由 f(A)=2sin(2A﹣ 的值. 解答: 解: (1)∵f(x)=2 ∴令 2k ≤2x﹣ ≤2k sinxcosx﹣cos2x= ,k∈Z 可解得 k ,k

) , 令 2k

≤2x﹣

≤2k



)=2,可得 A 的值,由正弦定理可解得 a=

,从而可求 S△ ABC

sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣ ≤x≤k ],k∈Z, ,k∈Z,

) ,

即有函数 f(x)的单调递增区间为:[k (2)∵f(A)=2sin(2A﹣ ∴2A﹣ =2k )=2,

,k∈Z,即有 A=k

,k∈Z,

∵角 A 为△ ABC 中的内角,有 0<A<π, ∴k=0 时,A= ,B=π﹣A﹣C= , ,

故由正弦定理可得:

,解得 a=

∴S△ ABC= acsinB=

sin

=



点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦定理的应用,属于基本知识的考 查. 18. (12 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=2,AC=4.DE∥BC,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1D⊥CD,如图 2. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 A1DC; (Ⅱ)若 CD=2,求平面 A1BE 与平面 A1BC 所成二面角的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;用空间向量求平面间的夹角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角.

分析: (Ⅰ) 由已知得 AD=DE, A1D⊥DE, 从而 A1D⊥面 BCDE, 从而 A1D⊥BC, BC⊥CD, 由此能证明 BC⊥面 A1DC. (Ⅱ)以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz,利用向量 法能求出平面 A1BE 与平面 A1BC 所成二面角的大小为 90°. 解答: (Ⅰ)证明:在△ ABC 中,∠C=90°,DE∥BC, ∴AD=DE,∴A1D⊥DE. 又 A1D⊥CD,CD∩DE=D,∴A1D⊥面 BCDE. 由 BC?面 BCDE,得 A1D⊥BC, BC⊥CD,CD∩BC=C,∴BC⊥面 A1DC.…5 分 (Ⅱ)解:如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz. 取 A1C 的中点 F,连 DF, 则 D(0,0,0) ,C(0,2,0) ,B(2,2,0) ,A1(0,0,2) ,F(0,1,1) , ∵AD=DC=2,∴DF⊥A1C, 由(1)可知,DF⊥BC,从而 DF⊥平面 A1BC, ∴ 又 为平面 A1BC 的法向量, =(2,2,﹣2) , =(0,1,1) ,

=(﹣1,﹣2,0) ,

设平面 A1BE 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,取 z=1,得 =(2,﹣1,1) ,



=0,

∴平面 A1BE 与平面 A1BC 所成二面角的大小为 90°.…12 分.

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用. 19. (13 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣1,设 bn=2(log2an+1) ,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn?an}的前 n 项和 Tn; (3)证明:对于任意 n∈N+,不等式 ? ?…? > 恒成立.
*

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 S1=a1=2a1﹣1,当 n≥2 时,Sn=2an﹣1,Sn﹣1=2an﹣1﹣1,从而{an}是首 项为 1,公比为 2 的等比数列,由此能求出 (2)由 bn=2(log2an+1)=2(log22 n+1 法能求出 Tn=(n﹣1)?2 +2. (3)由 =
n﹣1


n﹣1

+1)=2n.得 bn?an=2n?2

=n?2 ,由此利用错位相减

n

,利用用数学归纳法证明不等式



成立,即可

证明对于任意 n∈N+,不等式

?

?…?



恒成立.

解答: (1)解:∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣1, ∴S1=a1=2a1﹣1, 解得 a1=1, 当 n≥2 时,Sn=2an﹣1,Sn﹣1=2an﹣1﹣1, 两式相减,得 an=2an﹣2an﹣1,∴an=2an﹣1, ∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴ .
n﹣1

(2)解:bn=2(log2an+1)=2(log22 n﹣1 n ∴bn?an=2n?2 =n?2 , 2 3 n ∴Tn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ,①

+1)=2n.

,② ①﹣②,得:﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 =
n+1 2 3 n n+1

﹣n?2

n+1

=(1﹣n)?2 ﹣2. n+1 ∴Tn=(n﹣1)?2 +2. (3)证明:∵bn=2n,∴ = ,



?

?…?

=

, > 成立.

下面用数学归纳法证明不等式

①当 n=1 时,左边= ,右边= ∵ > ,∴不等式成立.



②假设当 n=k 时不等式成立,即 则当 n=k+1 时,左边= …× >

> ?

成立.

=

=





∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. ∴对于任意 n∈N+,不等式 ? ?…? > 恒成立.

点评: 本题主要考查数列的通项公式、前 n 项和公式的求法,考查不等式的证明,考查等 差数列、等比数列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归 与转化思想、函数与方程思想,解题时要注意错位相减法和数学归纳法的合理运用.

20. (13 分)已知椭圆 C 过点 A(1,

) ,两焦点为 F1(﹣

,0) 、F2(

,0) ,O 是坐

标原点,不经过原点的直线 l:y=kx+m 与椭圆交于两不同点 P、Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 k=1 时,求△ OPQ 面积的最大值; (3)若直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列,求直线 l 的斜率 k. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意设椭圆方程为 方程. (2)由 ,得:5x +8mx+4(m ﹣1)=0,由此利用根的判别式、韦达定理、
2 2

,且

,由此能求出椭圆 C 的

点到直线距离公式能求出△ OPQ 面积的最大值. (3)由 ,得: (1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0,由此利用根的判别式、韦
2 2 2

达定理、等比数列,能求出直线 l 的斜率 k 的值. 解答: 解: (1)由题意得 , 设椭圆方程为 …(2 分)



,解得 b =1, .…(4 分) ,消去 y 得:5x +8mx+4(m ﹣1)=0,
2 2 2 2

2

所以椭圆 C 的方程为

(2)由

则△ =16(5﹣m )>0,0<m <5…(6 分) , 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 …(8 分)

= 当且仅当 时,等号成立,

所以△ OPQ 面积的最大值为 1.…(10 分) (3)由
2 2 2

,消去 y 得: (1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0…(12 分)
2

2

2

2

则△ =64k m ﹣16(1+4k ) (m ﹣1) 2 2 =16(4k ﹣m +1)>0

故 因为直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列 所以

…(14 分)

, 由于 m≠0,故 所以直线 l 的斜率 k 的值为 , .…(16 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,考查直线的斜率的求 法,解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用. 21. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ax 在 x=2 处的切线 l 与直线 x+2y﹣3=0 平行.

(1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)+m=2x﹣x 在 取值范围; (3)记函数 g(x)=f(x)+ ﹣bx,设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个极值点,若
2

上恰有两个不相等的实数根,求实数 m 的

b≥ ,且 g(x1)﹣g(x2)≥k 恒成立,求实数 k 的最大值.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,根据导数的几何意义建立方程关系即可求实数 a 的值; (2)将 f(x)+m=2x﹣x 在
2

上恰有两个不相等的实数根,进行转化,利用参数分离

法,构造函数的导数,利用导数求出函数的极值即可,求实数 m 的取值范围; (3)求函数的导数,根据函数极值之间的关系即可证明不等式. 解答: 解: (1) …(2 分)

∵函数在 x=2 处的切线 l 与直线 x+2y﹣3=0 平行, ∴ , …(4 分)

解得 a=1; (2)由(1)得 f(x)=lnx﹣x, 2 2 ∴f(x)+m=2x﹣x ,即 x ﹣3x+lnx+m=0, 2 设 h(x)=x ﹣3x+lnx+m, (x>0) 则 h′(x)=2x﹣3+ = 令 h′(x)=0,得 x1= ,x2=1,列表得: x ( ,1) 1



(1,2) +

2

h′(x) 0 ﹣ 0 h(x) 极大值 极小值 ∴当 x=1 时,h(x)的极小值为 h(1)=m﹣2, 又 h( )=m﹣

m﹣2+ln2

,h(2)=m﹣2+ln2,…(7 分)
2

∵方程 f(x)+m=2x﹣x 在

上恰有两个不相等的实数根,



,即



解得

≤m<2; (也可分离变量解) …(10 分) ,

(3)∵g(x)=lnx+

∴g′(x)= 由 g′(x)=0 得 x ﹣(b+1)x+1=0 ∴x1+x2=b+1,x1x2=1, ∴ ,
2





,∴

解得:

…(12 分)

∴g(x1)﹣g(x2) = = ,





则 ∴F(x)在 ∴当 ∴k≤ ∴k 的最大值为 时, , .…(16 分) 上单调递减; …(14 分) ,

点评: 本题主要考查导数的综合应用,求函数的导数,利用函数的极值,最值和导数之间 是关系是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.


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