福建省三明市泰宁县第一中学高二数学上学期第二次阶段考试试题 理 新人教A版


高二上学期第二次阶段考试数学(理)试题
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题: (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.命题“ 若 a ? 2, 则 a ? 4. ”的逆否命题是 (
2



A. 若 a ? 2, 则 a ? 4.
2

B. 若 a ? 4, 则 a ? 2.
2 2

C. 若 a ? 2, 则 a ? 4.
2

D. 若 a ? 4, 则 a ? 2. )

2.抛物线: x 2 ? y 的焦点坐标是( A. ( 0, )

1 2

B. ( 0, )

1 4

C. ( ,0 )

1 2

D. ( ,0 )

1 4

3. 从集合 {1,2,3,4,5} 中随机取出一个数,设事件 A 为“取出的数为偶数” ,事件 B 为“取出 的数为奇数” ,则事件 A 与 B ( A.是互斥且对立事件 C.不是互斥事件 ) B.是互斥且不对立事件 D.不是对立事件

4. “双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 6 ”是“双曲线离心率 e ? A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

2 ”的 (



开始

i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

5. 如果执行右图 3 的程序框图,那么输出的 S ? ( A、22 B、46 C、94 D、190

x2 y2 6. 在同一坐标系中,方程 2 ? 2 ? 1 与 ax ? by 2 ? 0 ( a ? b ? 0 )的曲线大致是 a b
( ) 否

s ? 2( s ? 1)
i ? 5?

输出s

结束

7.椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和双曲线 ? ? 1共同焦点为 F1,F2,若 P 是两曲线的一个 25 16 4 5
) C. 3
2

第5题

交点,则 PF 1 PF 2 的值为( A.

21 2

B. 84

D. 21

8. 已知 P(4,?1), F 为抛物线 y ? 8x 的焦点, M 为此抛物线上的点,则 MP ? MF 的最 小值为( )

A.4

B.5

C.6

D.7

9.如图 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以|OF1|为半 径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( 1 B. 2 C. 2 2 D. 3-1 ) A. 3 2

x a

2

y b

2

x2 y2 ? ? 1 的 左焦 点为 F1 , 点 P 为双 曲线右 支上一 点,且 PF1 与 圆 10. 已 知双曲线 16 25 x 2 ? y 2 ? 16 相切于点 N , M 为线段 PF1 的中点, O 为坐标原点,则 MN ? MO 的
值为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.) 11. 13.已知命题 p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1, 则 P:_________________. 12.右图的矩形,长为 5 m,宽为 2 m,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分的 黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为
?

m2 ;

1 13. 已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3),则双 2 曲线的标准方程为________. 14. 若椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为_______; 5 p

15. 已知直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于 A, B 两点,设线段 AB 的中点为 P ,若直线的斜率 9 4

为 k1 ,直线 OP 的斜率为 k 2 ,则 k1k 2 等于 泰宁一中 2013—2014 学年(上)第二次阶段考试 高二数学(理科)答题卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 14. 12. 15. 13.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本题满分 13 分) 为了了解某校高中部学生的体能情况,体育组决定抽样三个年级部分学生进行跳绳测 试,并将所得的数据整理后画出频率分布直方图.已知图中从左到右的前三个小组的频率分 别是 0.1,0.3,0.4,第一小组的频数是 5. (1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数; (2) 在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第几小组内? (3) 参加这次测试跳绳次数在 100 次以上为优秀, 试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多 少? 频率 组距

49.5 74.5 99.5 124.5 149.5 次数

17.(本小题满分 13 分) 先后随机投掷 2 枚正方体骰子,其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数, y 表示第 2 枚骰子出 现的点数。 (1)求点 P( x, y) 在直线 y ? x ? 1 上的概率;
2 (2)求点 P( x, y) 满足 y ? 4 x 的概率。

18.(本题满分 13 分)已知椭圆 C 的焦点与双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的顶点重合, 3

椭圆 C 的长轴长为 4. (1)求双曲线的实轴,虚轴长及渐近线方程。 (2)求椭圆 C 的标准方程; (3)若已知直线 y ? x ? m .当 m 为何值时,直线与椭圆有 C 公共点?

19. (本小题满分 13 分) 设命题

p :对任意实数 x ,不等式 x

2

? 2 x ? m 恒成立;

命题 q :方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线. m?3 5?m

(1)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题“

p ? q ”为真命题,且“ p ? q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.

试号

20. (本题满分 14 分) 已知直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1) 若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2) 设直线 l 的斜率为 k,当线段 AB 的长等于 5 时,求 k 的值. (3) 求抛物线 y =4x 上一点 P 到直线 2x-y+4=0 的距离的最小值。 并求此时点 P 的坐标。
2 2

21. (本题满分 14 分)

x2 y2 ? 已知:椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,过点 A(? a, 0) , B(0, b) 的直线倾斜角为 , 6 a b
焦距为 2 2 . (1)求椭圆的方程; (2)已知直线过 D(? 1, 求直线 EF 的方程; (3)是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆过

0) 与椭圆交于 E , F 两点,若 ED ? 2DF ,

D(? 1, 0) ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

2013—2014(上)第二次阶段考试高二数学(理科) 参考答案

11. 14.

略 -2

12.

23 5
? 4 9

13.

y2
8



x2
32

=1.

15.

三、解答题

17 解:(本题满分 13 分) 解: ( a, b) 所有可能的情况共有 6×6=36 种(如下图) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) ……………4 分 (Ⅰ)每颗骰子出现的点数都有 6 种情况,所以基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 个.(3 分) 记“点 P( x, y) 在直线 y ? x ? 1 上”为事件 A , A 有 5 个基本事件:

A ? {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)}
(4 分)

……………………………………………

? P( A) ?

5 . 36

……………………………………………………………………… (6

分) (Ⅱ)记“点 P( x, y) 满足 y 2 ? 4 x ”为事件 B ,则事件 B 有 17 个基本事件: 当 x ? 1 时, y ? 1; 当 x ? 2 时, y ? 1, 2 ; 当 x ? 3 时, y ? 1, 2, 3 ;当 x ? 4 时, y ? 1, 2, 3; 当 x ? 5 时, y ? 1, 2, 3, 4 ;当 x ? 6 时, y ? 1, 2, 3, 4 . ………………………(10 分)

? P( B) ?
分)

17 . 36

……………………………………………………(13

19. (本小题满分 13 分) 解:(1) 方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线 m?3 5?m

?m ? 3 ? 0 ?m?5 ? ?5 ? m ? 0
即命题 q 为真命题时实数 m 的取值范围是 m ? 5 ………………………5 分

2 (2)若命题 p 真,即对任意实数 x ,不等式 x ? 2 x ? m ? 0 恒成立。

? ? ? 4 ? 4m ? 0 ,
∴ m ? ?1 …………………………………………………6 分

P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,即 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,

如果 P 真 Q 假,则有 ?

?m ? ?1 ? m ? ?1 ?m ? 5

………………………9 分

如果 P 假 Q 真,则有 ?

?m ? ?1 ?m?5 ?m ? 5

……………………12 分

所以实数 m 的取值范围为 m ? ?1 或 m ? 5 ……………………13 分

20 解:由 y =4x,得 p=2,其准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1) |AF|=x1+ ,从而 x1=4-1=3.代入 y =4x, 得 y=±2 3 2 .∴点 A 为(3,2 3)或(3,-2 3)-4 分 (2)直线 l 的方程为 y=k(x-1).与抛物线方程联立,得?
2 2 2 2

2

p

2

? ?y=k(x-1) ?y =4x ?
2



消去 y,整理得 k x -(2k +4)x+k =0(*) ,---6 分 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点, 4 则 k≠0,并设其两根为 x1,x2,则 x1+x2=2+ 2. -----8 分

k

由抛物线的定义可知, 4 |AB|=x1+x2+p=4+ 2=5,解得 k=±2 ------9 分

k

(3)最小距离略。P(0.25,1) -----13 分 21 解(1)由

b 3 2 2 2 , a ? b ? c ? 2 ,得 a ? 3 , b ? 1 , ? a 3

x2 ? y 2 ? 1 ……………………4 分 所以椭圆方程是: 3
(2)设 EF: x ? m y ? 1 ( m ? 0 )代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (m2 ? 3) y 2 ? 2my ? 2 ? 0 , 3

设 E( x1 ,

y1 ) , F ( x2 ,

y 2 ) ,由 ED ? 2DF ,得 y1 ? ?2 y 2 .

2m ?2 2 , y1 y 2 ? ?2 y 2 ? 2 ……………………6 分 2 m ?3 m ?3 2m 2 1 ) ? 2 得 (? 2 ,? m ? 1 ,或 m ? ?1 m ?3 m ?3
由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? 直线 EF 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ……………………9 分

(3)将 y ? kx ? 2 代入 记 P( x1 ,

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 3

y1 ) , Q( x2 ,

y 2 ) ,PQ 为直径的圆过 D(? 1, 0) ,则 PD ? QD ,即

( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , 又 y1 ? kx1 ? 2 ,y 2 ? kx2 ? 2 ,
? 12 k ? 14 ? 0 .………………12 分 3k 2 ? 1 7 7 解得 k ? ,此时(*)方程 ? ? 0 ,? 存在 k ? ,满足题设条件.…………14 分 6 6
2 得 (k ? 1) x1 x 2 ? (2k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 5 ?


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