河北省献县宏志中学2012届高三数学仿真模拟试题一


河北省献县宏志中学 2012 届高三数学理科仿真模拟卷 1

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 A ? {x | x ? 3}, B ? {x | (x ? 2)(x ? 4) ? 0} ,则 A B =

A.{x | x ? 2} B.{x | 3 ? x ? 4} C.{x | 3 ? x ? 4} D.{x | x ? 4}

2.已知复数 z 的实部为 2,虚部为-1,则 5i = z
A. 2-i B. 2+i C. l+2i D. -l +2i

3.设向量 a ? (1, x ?1) , b ? (x ? 1,3) ,则“x ? 2”是“a // b ”的

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知

a

?

2

1 2

,

b

?

(

1

)2

,运算原理图

2

所示,则输出的值为
A. 1 ? 2 4

开始
输入 a、b

B. 4 ? 2



a?b

C. 4 2

输出 a ? b

D. 2 4
结束


输出 a

5.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥面 A1B1C1, 正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三角形,该三棱柱的左视图 面积为
A. 2 3

B. 3

C. 2 2

D.4

3

? 6.等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3 ?

4xdx ,则公比 q 的值为(
0



A.1

B. ? 1

C.1 或 ? 1

2

2

7.设函数 f (x) ? 1 x ? ln x(x ? 0) ,则函数 f (x) 3

(A) 在区间 (0,1), (1, ??) 内均有零点

D. ?1 或 ? 1 2

(B) 在区间 (0,1), (1, ??) 内均无零点

(C) 在区间 (0,1) 内有零点,在区间 (1, ??) 内无零点

(D) 在区间 (0,1) 内无零点,在区间 (1, ??) 内有零点

8.把函数 y ? sin(?x ? ?)(? ? 0,| ? |? ? ) 的图象向左平移 ? 个单位,再将图像上所有点的横
6 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得图象解析式为 y ? sin x ,则

(A)? ? 2,? ? ? 6

(B) ? ? 2,? ? ? ? 3

(C) ? ? 1 ,? ? ?

2

6

(D) ? ? 1 ,? ? ?

2

12

9.已知函数 f (x) ?| lg x | ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 2a ? b的取值范围是

A. (2 2,??) B. [2 2,??)

C. (3,??)

D. [3,??) .

10.已知 P 为抛物线 y= 1 x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是(6, 17 ),则

2

2

|PA|+|PM|的最小值是

()

(A)8

(B) 19

2

(C)10

(D) 21 2

11.已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 所得的截面面 积为

A. ? 36

B. 6 ? 6

C. ? 9

D. ? 6

12.对于定义域和值域均为[0,1]的函数 f(x),定义 f1(x) ? f (x) , f2 (x) ? f ( f1(x)) ,…,

fn (x) ? f ( fn?1(x)) ,n=1,2,3,….满足 fn (x) ? x 的点 x∈[0,1]称为 f 的 n 阶周期点.设

?

f

(

x)

?

?? ?

2x,

???2 ? 2x,

0?x? 1, 2 则 f 的 n 阶周期点的个数是
1 ? x ? 1, 2

(A) 2n (B) 2(2n-1) (C) 2n (D) 2n2 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.二项式 (x ? 2 )12 的展开式中常数项是第 x

项。

14. 若 双 曲 线 x 2 - y 2 =1 的 渐 近 线 与 圆 (x ? 2)2 ? y 2 ? 3 相 切 , 则 此 双 曲 线 的 离 心 率 a2 b2





?x ? 0

15.已知

x,

y满足

? ?

y

?

x

(k为常数), 若 z ? x ? 3y 的最大值为 8,则 k=__

??2x ? y ? k ? 0

16.给出定义:若 m ? 1 ? x ? m ? 1 (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记

2

2

作{x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f (x) ? x ? ?x? 的四个命题:

①函数

y

=

f

(x)

的定义域为

R

,值域为

???0,

1 2

? ??

;②函数

y

=

f

(x)



????

1 2

,

1 2

? ??

上是增函数;③

函数 y = f (x) 是周期函数,最小正周期为 1;④函数 y = f (x) 的图象关于直线 x ? k( k ? Z ) 2
对称.其中正确命题的序号是__________
三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 2 ? sin?? 2x ? ? ?? ? 2sin 2 x , x ? R ? 6?

(1) 求函数 f (x) 的最小正周期;

(2)记 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b, c ,若 f ( B ) ? 1,b ? 1, c ? 2
值。

18.(本小题满分 12 分)

D1

如图所示,正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂

3 ,求 a 的

直 , AB ? 2AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点。

A1

(Ⅰ)求证: BD1 // 平面A1DE

D C

( Ⅱ ) 在 线 段 AB 上 是 否 存 在 点 M , 使 二 面 角 A

D1

?

MC

?

D

的大小为

? 6

?若存在,求出

AM

的长;若不

E B

存在,请说明理由。 19.(本小题满分 12 分)
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的 500 名 志愿者中随机抽样 100 名志原者的年龄情况如下表所示。 (Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如
图),再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30, 35) 岁的人数;
(Ⅱ)在抽出的 100 名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传 活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望。

20.(本小题满分 12 分)

如图:平行四边形 AMBN 的周长为 8,点 M , N 的坐标分别为

y

?? 3 , 0?, ? ? 3 , 0 .

(Ⅰ )求点 A, B 所在的曲线方程; Z_xx_k

M

O

(Ⅱ)过点 C(?2, 0) 的直线与(Ⅰ)中曲线交于点 D ,与 Y 轴交于点 E ,

CD ?CE

B

且// OA ,求证:

为定值.
2

OA

21.(本小题满分 12 分)
已知 f (x) ? x ln x

(1) 求 g(x)= f (x) ? k (k ? R) 的单调区间; x
(2) 证明:当 x ? 1 时,2x-e ? f (x) ? x 2 ? 1 恒成立; 2

A Nx

(3)

任取两个不相等的正数 x1、x2 , 且 x1 < x2 , 若存在 x0

?0使

f ?(x0 ) ?

f (x1 ) ? f (x2 ) x1 ? x2

成立,证明: x0 ? x1 。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分)

在 ?ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆

交于点 P,交 BC 延长线于点 D。

A

(1)求证: PC ? PD ;

P

AC BD

(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。

B

D C

23.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
已知曲线C1的极坐标方程为 ? ? 6 cos? ,曲线 C2 的极坐标方程为? ? ? ( ? ? R) ,曲线 C1, 4
C2 相交于点 A,B。 (1)将曲线 C1,C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长。
24. 选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知 | x1 ? 2 |? 1 , | x2 ? 2 |? 1 .
(I)求证: 2 ? x1 ? x2 ? 6 , | x1 ? x2 |? 2 ;
(II)若 f (x) ? x2 ? x ? 1,x1 ? x2 ,求证:| x1 ? x2 |?| f (x1) ? f (x2 ) |? 5 | x1 ? x2 | .

学+科+网 Z+X+X+K] Zxxk

一.选择题 BDADA CDBBB DC 二.填空题 9;2;-6;134 三.解答题

参考答案

17.解(1) f (x) ? 2 ? sin(2x ? ? ) ? 2sin 2 x 6

? 2 ? (sin 2xcox ? ? cos 2x sin ? ) ? (1 ? cos 2x)

6

6

? 1 ? cos 2x ? ( 3 sin 2x ? 1 cos 2x)

2

2

? 1 cos 2x ? 3 sin 2x ? 1 ? cos(2x ? ? ) ? 1 ……5 分

2

2

3

所以函数 f (x) 的最小正周期为? 。 …… 6 分

(2)由 f ( B ) ? 1得 cos(B ? ? ) ? 1 ? 1,即 cos(B ? ? ) ? 0

2

3

3

又因为 0 ? B ? ? ,所以 ? ? B ? ? ? 4 ?

3

33

所以 B ? ? ? ? ,即 B ? ? .

32

6

…………. 8 分

因为 b ? 1, c ? 3

所以由正弦定理 b ? c ,得 sin C ? 3

sin B sin C

2

故C ? ? 或2? 33

…….10 分

当 C ? ? 时,A ? ? ,从而a ? b2 ? c2 ? 2

3

2

当 C ? 2? 时,A ? ? ,又B ? ? ,从而a ? b ? 1

3

6

6

故 a 的值为 1 或 2.

… ……….12 分

18.解:(Ⅰ)四边形ADD1 A1为正方形,O是AD1的中点 , 点 E 为 AB 的中点,连接 OE 。

? EO为?ABD1 的中位线 ? EO // BD1 ……4 分

又? BD1 ? 平面A1DE,OE ? 平面A1DE ? BD1 // 平面A1DE ……6 分

(II)由题意可得: D1D ? 平面ABCD ,以点 D 为原点,
DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,则
D(0,0,0),C(0,2,0), A1(1,0,1), D1(0,0,1) , 7 分

z D1

A1

o

D

设 M (1, y0 ,0)(0 ? y0 ? 2) ? MC ? (?1,2 ? y0 ,0), D1C ? (0,2,?1) 8 分

A

x

E

C y
B

设平面 D1MC 的法向量为 n1 ? (x, y, z)

则 ???n1 ? MC ? 0 ??n1 ? D1C ? 0



?? x ? ??2 y ?

y(2 ? z?0

y0

)

?

0

……9 分

取 y ? 1,则n1 ? (2 ? y0 ,1,2) 是平面 D1MC 的一个法向量,而平面 MCD 的一个法向 量为

n2 ? (0,0,1)

……10 分

要使二面角

D1

?

MC

?

D

的大小为

? 6

而 cos ? 6

?| cos

?

n1, n2

?|?

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2

|

?

2

?3

(2 ? y0 )2 ?12 ? 22 2

解得: y0 ? 2 ?

3 3

(0

?

y0

?

2)

当 AM = 2 ?

3 3

时,二面角

D1

?

MC

?

D

的大小为

? 6

19.

??? 12 分

20.解:(Ⅰ)因为四边形 AMBN 是平行四边形,周长为 8,所以两点 A, B 到 M , N 的距离之
和均为 4,可知所求曲线为椭圆 …………1 分
由椭圆定义可知, a ? 2, c ? 3 , b ? 1 所求曲线方程为 x2 ? y2 ? 1 …4 分 4
(Ⅱ)由已知可知直线的斜率存在,又直线过点 C(?2, 0)

设直线的方程为: y ? k(x ? 2) ………5 分

代入曲线方程 x2 ? y2 ? 1( y ? 0) ,并整理得 (1? 4k 2 )x2 ?16k 2 x ?16k 2 ? 4 ? 0 点 C(?2, 0) 在 4

曲线上,所以 D (

?8k 2 ? 2 1? 4k 2

, 4k 1? 4k 2

)

……8 分

E(0, 2k)

, CD

?

4

( 1

?

4k

2

4k ,1? 4k 2

)

, CE

?

(2, 2k)

………………9 分

因为 OA //,所以设 OA 的方程为 y ? kx ………10 分

代入曲线方程,并整理得 (1? 4k 2 )x2 ? 4

所以 A(? 2 , ? 2k ) ……………11 分 1? 4k 2 1? 4k 2

CD ?CE
2
OA

8 ? 1? 4k 2
4 1? 4k 2

?

1

8k 2 ? 4k

2

?

1

4k 2 ? 4k

2

?2

CD ?CE

所以:

为定值 …12 分

2

OA

21、解:(1)g(x)=lnx+ k ?令g?(x) ? x ? k ? 0 得 x=k ? x ? 0 ——2 分

x

x2

? k ? 0 时 g ?(x) ? 0 所以函数 g(x)的增区间为 (0,??) ,无减区间;

当 k>0 时 g ?(x) ? 0 得 x>k ; g ?(x) ? 0 得 0<x<k

?增区间为 (k,??) , 减区间为(0,k)————————————4 分

(2)设 h(x)=xlnx-2x+e(x ? 1)令 h?(x) ? ln x ?1 ? 0 得 x=e

所以

x

1

(1,e)

e

h?( x)

-

0

(e,+ ?
)
+

h(x)

e-2

?

0

?

所以 h(x) ? 0 ?f(x) ? 2x-e——————————-————6 分

设 G(x)=lnx-

x

2? 2x

1

(

x

?

1)

G?(x) ? 1 ? 1 (1 ? 1 ) x 2 x2
当且仅当x ? 1时G?(x)

? ?

? 0

(x ?1)2 2x2

?0

所以 G(x)为增函数,所以 G(x) ? G(1) ? 0

所以 lnx- x2 ?1 ? 0,所以x ln x ? x 2 ?1 (x ? 1)成立 所以 f (x) ? x2 ?1

2x

2

2

综上:当 x ? 1 时,2x-e ? f (x) ? x 2 ? 1 恒成立———————8 分 2

(3)? f ?(x) ? ln x ? 1 ? ln x0 ? 1 ?

f (x1 ) ? f (x2 ) ? x1 ln x1 ? x2 ln x2

x1 ? x2

x1 ? x2

? ln x0

?

x1

ln x1 ? x2 ln x2 x1 ? x2

?1

? ln x0

? ln x1

?

x1

ln x1 x1

? ?

x2 x2

ln x2

?1 ? ln x1

?

x2 ln x1

? x2 ln x2

? x2

? x1

?

x2 ln

x1 x2

? x2

? x1

x1 ? x2

x1 ? x2

ln x1 ? 1 ? x1

? x2

x2

x1 ? 1

x2

——10 分

设 H(t)=lnt+1-t(0<t<1) H ?(t) ? 1 ?1 ? 1 ? t ? 0(0 ? t ? 1)

t

t

所以 H(t)在(0,1)上是增函数,并且 H(t)在 t=1 处有意义 学#科#网 Z#X#X#K]

所以 H(t)<H(1)=0

ln x1 ? 1 ? x1 H ( x1 )

? x1 ? (0,1) ? x2

x2 ? x2 ? 0

x2

x1 ? 1

x1 ? 1

x2

x2

? ln x0 ? ln x1 ? 0 ? x0 ? x1 ——12 分

22.解:(1)? ?CPD ? ?ABC, ?D ? ?D , ? ?DPC ~ ?DBA ,? PC ? PD AB BD 又? AB ? AC,? PC ? PD (5 分) AC BD (2)? ?ACD ? ?APC, ?CAP ? ?CAP, ? ?APC ~ ?ACD ? AP ? AC ,? AC 2 ? AP ? AD ? 9 (10 分) AC AD
23.解:(1)以极点为原点以极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线C1的直角坐标
方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0

曲线 C2 的直角坐标方程为 y=x

_____________5 分

(2)圆 C1的圆心为(3,0),C1到直线y ? x的距离为

3 2

圆的半径为 3,所以|AB|= 2 9 ? 9 ? 3 2 _________10 分 2
24. (1)
x1 ? 2 ? 1, x1 ? 2 ? 1;?2 ?1 ? x1 ? 2 ?1, 2 ?1 ? x2 ? 2 ?1;即1 ? x1 ? 3,1 ? x2 ? 3; x1 ? x2 ? (x1 ? 2) ? (x2 ? 2) ? x1 ? 2 ? x1 ? 2 ? 1?1 ? 2;即 x1 ? x2 ? 2;

?2 ? x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 2. ……………………5 分

(2)

f (x) ? x2 ? x ?1? f (x1) ? f (x2 ) ? x12 ? x1 ? x22 ? x2 ? (x1 ? x2 )(x1 ? x2 ?1)

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ?1 .

2 ? x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 0? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ?1 ? 5 x1 ? x2 ; 即 x1 ? x2 ? f (x1) ? f (x2 ) ? 5 x1 ? x2 .

…………10 分


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