高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案文北师大版(数学教案)


第六节 正弦定理和余弦定理 [考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (对应学生用书第 50 页) [基础知识填充] 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 = = =2R.(R 为△ABC 外接圆半 sin A sin B sin C 径) 余弦定理 a b c a2=b2+c2-2bc·cos_A; b2=c2+a2-2ca·cos_B; c2=a2+b2-2ab·cos_C cos A= 公式 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 公式 变形 (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R b2+c2-a2 ; 2bc a b c c2+a2-b2 cos B= ; 2ca cos C= a2+b2-c2 2ab 2. 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 解的个 数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 3. 三角形常用面积公式 1 (1)S= a·ha(ha 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2 [知识拓展] 1.三角形内角和定理 在△ABC 中,A+B+C=π ; 1 变形: A+B π = - . 2 2 2 C 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (2)sin A+B C A+B C =cos ;(4)cos =sin . 2 2 2 2 3.在△ABC 中,sin A>sin B?A>B?a>b cosA>cos B?A<B?a<b [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC 中,若 A>B,则必有 sin A>sin B.( 2 2 2 ) ) ) (2)在△ABC 中,若 b +c >a ,则△ABC 为锐角三角形.( (3)在△ABC 中,若 A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B=45°或 135°.( (4)在△ABC 中, a+b-c .( sin A sin A+sin B-sin C = a ) [解析] (1)正确.A>B?a>b?sin A>sin B. (2)错误.由 cos A= b2+c2-a2 >0 知,A 为锐角,但△ABC 不一定是锐角三角形. 2bc (3)错误.由 b<a 知,B<A. (4)正确.利用 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可知结论正确. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 C B.直角三角形 D.不能确定 2 2 2 ) [由正弦定理,得 =sin A, =sin B, =sin C,代入得到 a +b <c ,由余弦 2R 2R 2R a b c 2 2 2 定理得 cos C= a2+b2-c2 <0,所以 C 为钝角,所以该三角形为钝角三角形.] 2ab 3.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= 5,c=2,cos A= ,则 b=( A. 2 C.2 D 2 3 ) B. 3 D.3 2 2 [由余弦定理得 5=b +4-2×b×2× , 3 2 1 解得 b=3 或 b=- (舍去),故选 D.] 3 4.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,C.已知 C=60°,b= 6, c=3,则 A=________. 75° [如图,由正弦定理,得 又 c>b,∴B=45°, ∴A=180°-60°-45°=75°.] 3 6 2 = ,∴sin B= . sin 60° sin B 2 5.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 【导学号:00090109】 2 3 [由题意及余弦定理得 cos A= 1 2 b2+c2-a2 c2+16-12 1 1 = = ,解得 c=2,所以 S= 2bc 2×4×c 2 2 bcsin A= ×4×2×sin 60°=2 3.] (对应学生用书第 51 页) 利用正、余弦定理解三角形 (1)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,C.已知 sin B+ sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则 C=( π A. 12 π C. 4 π B. 6 π D. 3 ) 3π (2)在△ABC 中,∠BAC= ,AB=6,AC=3 2,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长. 4 B [(1)因为 a=2,c= 2, 2 2 = , sin A sin C 所以由正弦定理可知, 故 sin A= 2sin C. 又 B=π -(A+C), 故 sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C 3 =sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C =(sin A+cos A)sin C =0. 又 C 为△ABC 的内角, 故 sin C≠0, 则 sin A+cos A=0,即 tan A=-1. 3π 又 A∈(0,π ),所以 A= . 4 从而 sin C= 1 2

相关文档

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案文北师大版
2019年高考数学一轮复习: 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理学案 文 北师大版
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案文北师大版
19年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案文北师大版
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理和余弦定理学案理北师大版(数学教案)
2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7节正弦定理和余弦定理学案理北师大版
【北师大版理科】2019年高考数学一轮复习学案 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理
【北师大版理科】2019年高考数学一轮复习学案 第3章 三角函数、解三角形 第7节 正弦定理和余弦定理
电脑版
?/a>