高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节简单的三角恒等变换学案理北师大版(数学教案)


第六节 简单的三角恒等变换 (对应学生用书第 59 页) 三角函数式的化简 sin 2α -2cos α (1)化简: =________. π? ? sin?α - ? 4? ? 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2)化简: . π ? ? ? 2?π 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? (1)2 2cos α 2sin α cos α -2cos α [原式= =2 2cos α .] 2 (sin α -cos α ) 2 2 2 1 2 2 -2sin xcos x+ 2 (2)[解] 原式= ?π ? 2?π ? 2sin? -x?cos ? -x? ?4 ? ?4 ? ?π ? cos? -x? ?4 ? 1 1 2 2 (1-sin 2x) cos 2x 2 2 = = π π ? ? ? ? ?π ? 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 1 = cos 2x. 2 [规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式. 二看“函数名称”, 看函数名称之间的差异, 从而确定使用的公式, 最常见的是“切化弦”. 三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向. 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,化异次为同次. [跟踪训练] 化简: (1+sin θ +cos θ )·?sin 2+2cos θ ? ? θ θ -cos ? 2 2? ? (0<θ <π ). 1 [解] 原式 = ?2sin θ cos θ +2cos2θ ?·?sinθ -cos θ ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ? ? ? 4cos 2 θ 2 2θ 2θ sin -cos 2 2 θ =cos · 2 ?cos θ ? ? 2? ? ? -cos = θ ·cos θ 2 . ?cos θ ? ? 2? ? ? θ π θ ∵0<θ <π ,∴0< < ,∴cos >0, 2 2 2 ∴原式=-cos θ . 三角函数式的求值 ◎角度 1 给值求值 π? ? π? ? (2017·全国卷Ⅰ)已知 α ∈?0, ?,tan α =2,则 cos?α - ?=________. 2? 4? ? ? 3 10 10 = π? π π ? [cos?α - ?=cos α cos +sin α sin 4? 4 4 ? 2 (cos α +sin α ). 2 2 5 5 ? π? 又由 α ∈?0, ?,tan α =2,知 sin α = ,cos α = , 2 5 5 ? ? π? 2 ? 5 2 5? 3 10 ? 所以 cos?α - ?= ×? + ?= 10 .] 4? 2 ? 5 ? 5 ? ◎角度 2 给角求值 (2017·安徽二模)sin 40°(tan 10°- 3)=( ) 【导学号:79140126】 1 A.- 2 C. B 3 2 B.-1 D.- 3 3 [sin 40°(tan 10°- 3) 2 = = = sin 40°(sin 10°- 3cos 10°) cos 10° sin 40°·2sin(10°-60°) cos 10° -2sin 40°cos 40° cos 10° sin 80° cos 10° =- =- =-1.故选 B.] cos 10° cos 10° ◎角度 3 给值求角 设 α ,β 为钝角,且 sin α = 3π A. 4 7π C. 4 C [∵α ,β 为钝角,sin α = 5 3 10 ,cos β =- ,则 a+β 的值为( 5 10 5π B. 4 5π 7π D. 或 4 4 5 -3 10 ,cos β = , 5 10 ) -2 5 10 ∴cos α = ,sin β = , 5 10 ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = 又 α +β ∈(π ,2π ), ∴α +β ∈? 2 >0. 2 ?3π ,2π ?,∴α +β =7π .] ? 4 ? 2 ? [规律方法] 三角函数求值的类型与求解方法 给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. 给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,应仔细观察非特殊角与特殊角之间的 关系,结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解. 给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 最后确定角. [跟踪训练] (1)(2016·全国卷Ⅱ)若 cos? 7 A. 25 1 C.- 5 ?π -α ?=3,则 sin 2α =( ? 5 ?4 ? 1 B. 5 7 D.- 25 ) 3 sin 10° (2)(2017·湖北新联考四模) =( 1- 3tan 10° 1 A. 4 C. 3 2 1 B. 2 D.1 ) ? π π? 2 (3)已知 tan α ,tan β 是方程 x +3 3x+4=0 的两根,且 α ,β ∈?- , ?, ? 2 2? 则 α +β =( π A. 3 π 2π C.- 或 3 3 (1)D (2)A (3)D ) π 2π B. 或- 3 3 2π D.- 3 ?π ? 3 [(1)因为 cos? -α ?= , ?4 ? 5 9 7 ?π ? ?π ? ? 2?π 所以 sin 2α =cos? -2α ?=cos 2? -α ?=2cos ? -α ?-1=2× -1=- . 25 25 ?2 ? ?4 ? ?4 ? sin 10° sin 10°cos 10° (2) = 1- 3tan 10° cos 10°- 3sin 10° = si

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