【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时作业 理


课时作业(十八)
一、选择题

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.(2015·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角 的弧度数为( A. π 3 ) 2π B. 3 D. 2

C. 3 答案:C

解析:半径为 r 的圆内接等边三角形的边长为 3r,故圆心角 α =

3r

r

= 3.故应选 C.

5π ? ? 5π 2.(2015·济南四校联考)已知角 x 的终边上一点坐标为?sin ,cos ?,则角 x 的 6 6 ? ? 最小正值为( A. 5π 6 ) 11π B. 6 2π D. 3

5π C. 3 答案:C

3? ?1 解析: 因为角 x 终边上一点的坐标为? ,- ?, 在第四象限, 所以角 x 是第四象限角, 2 2 ? ? 3 - 2 5π 又 tan x= =- 3,所以角 x 的最小正值为 .故应选 C. 1 3 2 1 3.已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sin α = y,则 cos α 2 - 1 等于( tan α A. 3 3 或- 2 2 3 2 ) B. 3 2 3 3 3 或- 2 2

C.-

D.

答案:D 解析:由已知得 r=|OP|= 3+y , ∴sin α = = . 2 2 3+y ∴2= 3+y ,
2 2

y

y

∴y =1,∴y=±1, 1 3 故 sin α =± ,cos α =- . 2 2 tan α =± 3 . 3

2

1 3 3 3 则 cos α - = 或- . tan α 2 2 故应选 D. 4.(2015·临沂模拟)若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cos B-sin A,sin B -cos A)在( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 答案:B 解析:∵A,B 是锐角△ABC 的两个内角, ∴A+B>90°,即 A>90°-B. ∴sin A>sin(90°-B)=cos B, cos A<cos(90°-B)=sin B. ∴cos B-sin A<0,sin B-cos A>0. ∴点 P 在第二象限. 故应选 B. 5. 已知点 P?sin A. π 4

? ?

3π 3π ? ,cos 且 θ ∈[0,2π ), 则 θ 值为( ?落在角 θ 的终边上, 4 4 ? 3π B. 4 7π D. 4

)

3π 5π C. 或 4 4 答案:D 解析:由 sin

3π 3π >0,cos <0 知角 θ 在第四象限, 4 4

3π cos 4 又 ∵tan θ = =-1,θ ∈[0,2π ), 3π sin 4 7π ∴θ = . 4 故应选 D.

α 6.(2015·日照模拟)若 α 是第二象限角,则 一定不是( 3 A.第一象限角 C.第三象限角 答案:C B.第二象限角 D.第四象限角

)

π π 2kπ α π 解析: 因为 α 是第二象限角, 所以 +2kπ <α <π +2kπ , k∈Z, 则 + < < + 2 6 3 3 3 2kπ ,k∈Z, 3 π α π α 当 k=3m,m∈Z 时, +2mπ < < +2mπ ,m∈Z,此时 为第一象限角. 6 3 3 3 5π α α 当 k=3m+1,m∈Z 时, +2mπ < <π +2mπ ,m∈Z,此时 为第二象限角. 6 3 3 3π α 5π α 当 k=3m+2,m∈Z 时, +2mπ < < +2mπ ,m∈Z,此时 为第四象限角.故应 2 3 3 3 选 C. 二、填空题 7.已知 θ 角的终边与 480°角的终边关于 x 轴对称,点 P(x,y)在 θ 角的终边上(不 是原点),则 答案:

xy
2

x +y2

的值为________.

3 4

解析:由题意知角 θ 的终边与 240°角的终边相同, 又∵P(x,y)在角 θ 的终边上, 所以 tan θ =tan 240°= 3= ,

y x

于是

xy = x2+y2

y x

?y?2 1+3 1+? ? ?x?



3



3 . 4 θ θ θ - sin = 1-sin θ ,那么 所在象限为第 2 2 2

8 .如果 θ 是第二象限角,且 cos ________象限. 答案:三

θ θ ? θ θ ? 解析:∵cos -sin = 1-sin θ =?cos -sin ?, 2 2? 2 2 ? ∴cos θ θ ≥sin , 2 2

3π θ π ∴2kπ - ≤ ≤2kπ + ,k∈Z. 4 2 4 π 又∵2kπ + <θ <2kπ +π ,k∈Z, 2 π θ π ∴kπ + < <kπ + , 4 2 2 5π θ 3π ∴2kπ + < <2kπ + . 4 2 2 故 θ 为第三象限角. 2

9.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一 2 5 点,且 sin θ =- ,则 y=________. 5 答案:-8 解析:由 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ =- 根据任意角的三角函数的定义得 2 5 2 2 可知 y<0,|OP|= 4 +y , 5

2 5 2 =- ,化简得 y =64,解得 y=-8. 5 4 +y
2 2

y

2π 2 2 10.当 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点 3 的坐标为________. 3? ? 1 答案:?- , ? ? 2 2? 2π 2π 3 解析: 由题意知点 Q 是角 的终边与单位圆的交点, 设 Q(x, y), 则 y=sin = .x 3 3 2 =cos 2π 1 =- , 3 2

3? ? 1 故 Q?- , ?. 2 2 ? ? 三、解答题 11.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解:设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4, ∴圆心角 α = =2.
? ?r=1, ?l=2. ?
2

解得?

l r

过 O 作 OH⊥AB 于 H. 则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1·sin 1=sin 1(cm), ∴AB=2sin 1(cm). 12.已知角 α 终边经过点 P(x,- 3)(x≠0),且 cos α = 的值. 解:∵P(x,- 3)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x +3. 又 cos α = ∴cos α = 2 x, 3
2

2 x,求 sin α ,tan α 3

x 2 = x, 2 3 x +3
6 , 2

∵x≠0,∴x=± 3 2 ∴r= . 2 当 x=

6 ? 6 ? 时,点 P 坐标为? ,- 3?, 2 2 ? ? 6 ,tan α =- 2. 3

由三角函数定义,有 sin α =- 当 x=-

6 6 ? ? 时,点 P 坐标为?- ,- 3?, 2 ? 2 ? 6 ,tan α = 2. 3

∴sin α =-

13.角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于 直线 y=x 对称,求 sin α ·cos α +sin β ·cos β +tan α ·tan β 的值. 解:由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a), 点 Q 的坐标为(2a,a). 所以 sin α = cos α = -2a

a + -2a a
2

2

2

=-

2 5



a + -2a a

2



1

, 5

-2a tan α = =-2,

sin β = cos β =

a 1 = , 2 2 a +a 5
2a

a

2

+a

2



2 5



a 1 tan β = = , 2a 2
故有 sin α ·cos α +sin β ·cos β +tan α ·tan β = -2 1 1 2 1 · + · +(-2)× =-1. 2 5 5 5 5


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