等差数列前n项和教学设计


重庆工商学校旅游幼教系教学设计
课题名称 授课时数 学情分析 态,所以先复习一下上学期学的内容,从已有的知识转移到新知识上。 本单元是整本教材中比较难的部分,也是非常重要的部分,要用到上学期所学的知 教材分析 识,也要为以后的内容打下坚实的基础。 知识目标: 理解等差数列通项公式及前 n 项和公式. 教学目标 能力目标: 通过学习前 n 项和公式,培养学生处理数据的能力.

6.2.3 等差数列前 n 项和
2 课时 班级 18 旅 1

授课类型 应到:

理论讲授 实到:

学生们刚刚经历了两个月的暑假,不管是从身体还是心理都还没有恢复到良好的状

教学重点 教学难点 教学方法 学习方法 教具准备

等差数列的前 n 项和的公式. 等差数列前 n 项和公式的推导. 任务型教学;启发式教学法;情境教学法。 自主性学习。

多媒体电脑;多媒体课件

教 过
*揭示课题 6.2 等差数列. *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋. 据传说, 老师在数学课上出了一道题目: “把 1 到 100 的整数写下来, 然 后把它们加起来!” 对于这些十岁左右的孩子,这个题目是比较难的.但是高 斯很快就得到了正确的答案,此时其他的学生正在忙碌地将数

从 小 故 事 讲 起 引起 学生 兴趣

字一个个加起来,额头都流出了汗水. 小高斯是怎样计算出来的呢? 他观察这 100 个数 1, 2, 3, 4, 5, ?,96, 97, 98, 99, 100. 并将它们分成 50 对,依次计算各对的和: 1+100=101 2+99=101 3+98=101 4+97=101 5+96=101 ?? 50+51=101 所以,前 100 个正整数的和为 101 ? 50=5050. *动脑思考 探索新知 从小到大排列的前 100 个正整数, 组成了首项为 1, 第 100 项为 100,公差为 1 的等差数列.小高斯的计算表明,这个数 列的前 100 项和为 10 引导 分析 参与 分析 质疑 思考

?1 ? 100 ? ? 100 .
2
现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前 n 项和. 将等差数列 ?an ? 前 n 项的和记作 Sn .即
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?2 ? an?1 ? an .

总结 归纳 (1)

思考 归纳

带领 学生 总结 问题 得到

也可以写作
Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a3 ? a2 ? a1 .

(2)

等 差 数 列 求 和 公式

由于

a1 ? an ? a1 ? an ,

a2 ? an?1 ? ? a1 ? d ? ? ? an ? d ? ? a1 ? an ,

a3 ? an?2 ? ?a1 ? 2d ? ? ?an ? 2d ? ? a1 ? an ,
?? (1)式与(2)式两边分别相加,得
2Sn ? n ? a1 ? an ? ,

仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 引 导 启 发 学 生 思 考 求解 (6.3) .

由此得出等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为
Sn ? n ? a1 ? an ? 2

即等差数列的前 n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一 半. 知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 an ,利用公式(6.3)可 以直接计算 Sn . 将等差数列的通项公式 an ? a1 ? ?n ? 1?d 代入公式 (6.3) , 得

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d

(6.4)

知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 、n 和 d ,利用公式(6.4)可 以直接计算 Sn . 【想一想】 在等差数列 {an } 中,知道了 a1 、d、n、 an 、 Sn 五个量中 的三个量,就可以求出其余的两个量.针对不同情况,应该分 别采用什么样的计算方法? *巩固知识 典型例题 说明 观察 通 过 20

例 5 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?8 , a20 ? 106 , 求 S 20 . 解 由已知条件得

强调 思考 引领 主动 讲解 求解 说明

例 题 进 一 步 领 会

20 ? ? ?8 ? 106 ? S20 ? ? 980 . 2
例 6 等差数列

注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 思考 求解

? 13,?9,?5,?1,3, ?
的前多少项的和等于 50? 解 设数列的前 n 项和是 50,由于 引领 分析 观察

a1 ? ?13, d ? 3 ? (?1) ? 4, 故
50 ? ?13n ?


n(n ? 1) ? 4, 2

强调 含义

2n 2 ? 15n ? 50 ? 0 ,
解得

反复 强调

5 n1 ? 10, n 2 ? ? ( 舍去) , 2
所以,该数列的前 10 项的和等于 50. 【想一想】 例 6 中为什么将负数舍去? 说明

领会

思考 求解

30 *运用知识 强化练习 练习 6.2.3 1. 求等差数列 1,4,7,10,?的前 100 项的和. 2. 在等差数列{ an }中, a4 =6, a9 ? 26 ,求 S 20 . 提问 巡视 指导 *巩固知识 典型例题 例7 某礼堂共有 25 排座位, 后一排比前一排多两个座位, 说明 强调 观察 通 过 例 题 进 一 动手 求解 启发 引导 思考 了解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳 40

最后一排有 70 个座位,问礼堂共有多少个座位?

解 1

由题意知,各排座位数成等差数列,设公差 d=2,

步 领 引领 思考 会

a25 ? 70,于是
70 ? a1 ? (25 ? 1) ? 2 ,
解得 所以

a1 ? 22 .
S25 ? 25 ? (22 ? 70) ? 1150 . 2

答 礼堂共有 1150 个座位. 解2 25, 因此 将最后一排看作第一排,则 a1 ? 70 , d ? ?2 ,n = 讲解 说明 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点

S25

25(25 ? 1) ? (?2) ? 25 ? 70 ? ? 1150. 2

答 礼堂共有 1150 个座位. 【想一想】 比较本例题的两种解法,从中受到什么启发? 例 8 小王参加工作后,采用零存整取方式在农行存款.从 元月份开始, 每月第 1 天存入银行 1000 元, 银行以年利率 1.71% 引领 分析 计息,试问年终结算时本金与利息之和(简称本利和)总额是 多少(精确到 0.01 元)? 【说明】 年利率 1.71%,折合月利率为 0.1425%.计算公式为月利 率=年利率÷12. 解 年利率 1.71%,折合月利率为 0.1425%. 强调 含义 思考 求解 观察

反复 强调

50

第 1 个月的存款利息为 1000×0.1425%×12(元) ; 第 2 个月的存款利息为 1000×0.1425%×11(元) ; 第 3 个月的存款利息为 1000×0.1425%×10(元) ; ? ? 思考 第 12 个月的存款利息为 1000×0.1425%×1(元) . 应得到的利息就是上面各期利息之和. 求解 说明 领会

, Sn ? 1000 ? 0.1425% ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 12) ? 111.15 (元) 故年终本金与利息之和总额为 12×1000+111.15=12111.15(元) . 练习 6.2.4 1.如图一个堆放钢管的 V 形架的最下面 一层放一根钢管,往上每一层都比他下面一 层多放一个,最上面一层放 30 根钢管,求这 提问 个 V 形架上共放着多少根钢管. 2. 张新采用零存整取方式在农行存款. 从 第 1 题图 巡视 指导 动手 求解 启发 引导 思考 了解 可以 交给 学生 自我 发现 归纳

元月份开始, 每月第 1 天存入银行 200 元, 银行以年利率 1.71% 计息,试问年终结算时本利和总额是多少(精确到 0.01 元)? *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 等差数列的前 n 项和公式是什么? 结论: S n ?
n ? a1 ? an ? 2

70 以 小 质疑 回答 组 讨 论 师 生 共 同 归 纳 的 形 式 强 调 强化 重 点 突 破 难点 80



Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d.

归 纳 强调

理解

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

引导

回忆 90

教 学 反 思

板 书 设

6.2.3 等差数列前 n 项和
等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为


Sn ?

n ? a1 ? an ? 2



*巩固知识 典型例题 例 5 已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?8 , a20 ? 106 , 求 S 20 .


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