四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题 文 (清晰扫描版)新人教A版_图文


四川省绵阳市 2013 届高三数学第一次诊断性考试试题 文 (清晰扫 描版)新人教 A 版

绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. CCBAD BAADD AB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.-4 14.2 15.k>-3 16.①③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)f (x)=a·b=(cos2x,1)·(1, 3 sin2x) = 3 sin2x+ cos2x

=2sin(2x+
∴ 最小正周期 T ? 令 2x+

?
6

),………………………………………6 分

2? ?? . 2 k? ? ? ,k∈Z, 2 6

?
6

= k? ?

?
2

,k∈Z,解得 x=

k? ? ? ,k∈Z.…………………………………8 分 2 6 7? ? ? ? ? (Ⅱ)当 x∈[0, ]时,即 0≤x≤ ,可得 ≤2x+ ≤ , 6 2 2 6 6
即 f (x)的对称轴方程为 x=

2 6 6 ? 7? ? ? 当 2x+ = ,即 x= 时,f (x)取得最小值 f ( )=-1. 6 6 2 2 即 f (x) 的值域为[-1,2].……………………………………………………12 分 1 1 18.解: (Ⅰ)设公比为 q,由已知 a6=2,a3= ,得 a1q5 ? 2,a1q 2 ? , 4 4 1 3 两式相除得 q =8,解得 q=2,a1= , 16 1 ∴ an= ? 2n?1 ? 2n?5 .…………………………………………………………6 分 16 (Ⅱ)bn=3log2an= 3log 2 2n ?5 =3n-15,
3 2 27 3? 9 ? 243 n ? n ? ?n ? ? ? , 2 2 2 2 2? 2? 8 当 n=4 或 5 时,Tn 取得最小值,最小值为-30.……………………………12 分 19.解: (Ⅰ)∵ asinA=(a-b)sinB+csinC, a b c 由正弦定理 ,得 a 2 ? (a ? b)b ? c 2 , ? ? sin A sin B sin C 即 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab .① a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 由余弦定理得 cos C ? 2ab 2
∴ Tn ?

∴ 当 2x+

?
6

=

?

,即 x=

?

时,f (x)取得最大值 f

(

?

)=2;

n ? b1 ? bn ?

?

n ? ?12 ? 3n ? 15 ?

2

?

结合 0 ? C ? ? ,得 C ?

?
3



…………………………………………………6 分

1 2 2 2 又 c=2,由(Ⅰ)知, a ? b ? 4 ? ab ,

(Ⅱ)∵ △ABC 的面积为 3 ,即 ab sin C ? 3 ,化简得 ab=4,①

∴ (a ? b)2 ? 3ab ? 4 ? 16 ,得 a+b=4,② 由①②得 a=b=2. ……………………………………………………………12 分 20.解: (Ⅰ)由已知 y= f (x)是二次函数,且 f (x)<0 的解集是(0,5), 可得 f (x)=0 的两根为 0,5, 于是设二次函数 f (x)=ax(x-5), 代入点(1,-4),得-4=a×1×(1-5),解得 a=1, ∴ f (x)=x(x-5). ………………………………………………………………4 分 3 3 2 (Ⅱ)h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x -(4k-10)x+5=x +2x -4kx+5, 于是 h?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4k , ∵ h(x)在[-4,-2]上单调递增,在[-2,0]上单调递减, ∴ x=-2 是 h(x)的极大值点, ∴ h?(?2) ? 3 ? (?2)2 ? 4 ? (?2) ? 4k ? 0 ,解得 k=1. …………………………6 分 ∴ h(x)=x +2x -4x+5,进而得 h?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 .
3 2

令 h?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4 ? 3( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x1 ? ?2,x2 ? 由下表:

2 3

2 . 3
(

x
h?( x)

(-3,-2) + ↗
3 2

-2 0 极大

(-2, ↘

2 ) 3

2 3
0 极小
3 2

2 ,1) 3
+ ↗

h(x)

可知:h(-2)=(-2) +2×(-2) -4×(-2)+5=13,h(1)=1 +2×1 -4×1+5=4,

2 2 2 2 95 h(-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8,h( )=( )3+2×( )2-4× +5= , 3 3 3 3 27 95 ∴ h(x)的最大值为 13,最小值为 .……………………………………12 分 27 21.解: (Ⅰ)由题设知(t-1)S1=2ta1-t-1,解得 a1=1, 由(t-1)Sn=2tan-t-1,得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1, 两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan, a 2t ∴ n ?1 ? (常数) . an t ?1
2t 为公比的等比数列.………………………4 分 t ?1 1 bn 2t (Ⅱ)∵ q= f (t)= ,b1=a1=1,bn+1= f (bn)= , bn ? 1 2 t ?1
∴ 数列{an}是以 1 为首项, ∴

b ?1 1 1 ? n ? ?1, bn ?1 bn bn

∴ 数列 ? ∴

?1? ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ? bn ?

1 ? n .………………………………………………………………………8 分 bn

(III)当 t=

1 1 时,由(I)知 an= ( ) n ?1 ,. 3 2

1 1 1 ,2,2, ( )2 ,-3,-3,-3, ( )3 ,… 2 2 2 设数列{an}的第 k 项是数列{cn}的第 mk 项,即 ak= cmk ,
于是数列{cn}为:1,-1, 当 k≥2 时,mk=k+[1+2+3+…+(k-1)]= ∴

k (k ? 1) , 2

9 ?10 ? 45 . 2 设 Sn 表示数列{cn}的前 n 项和, 1 1 1 2 3 8 则 S45=[1+ + ( )2 +…+ ( )8 ]+[-1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+…+(-1) ×8×8]. 2 2 2 1 1 ? ( )9 1 1 2 18 2 ?2? 1 , 显然 1+ + ( ) +…+ ( ) = 1 28 2 2 2 1? 2
m9=
∵ -1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+…+(-1) ×8×8 2 2 2 2 2 2 2 =-1+2 -3 +4 -5 +6 -7 +8 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36.
2 3 8

1 1 +36=38- 8 . 8 2 2 ∴ S50=S45+(c46+c47+c48+c49+c50) 1 9 =38- 8 +5×(-1) ×9 2 1 = ?7 . 256
∴ S45= 2 ? 即数列{cn}的前 50 项之和为 ?7 22.解: (Ⅰ)由已知: f ?( x) ? ∴由题知 f ?(2) ?

1 .………………………………………12 分 256

1 ?a, x

1 1 ? a ? ? ,解得 a=1. 2 2 1 1? x 于是 f ?( x) ? ? 1 ? , x x 当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为减函数,
即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ……5 分 (Ⅱ) ? x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即 lnx-(k+1)x≤0 恒成立,

1 1 ? (k ? 1) x . ? (k ? 1) ? x x ①当 k+1≤0,即 k≤-1 时, h?( x) ? 0 ,
设 h( x) ? ln x ? (k ? 1) x ,有 h?( x) ? 此时 h(1) ? ln1 ? (k ? 1) ≥0 与 h( x) ≤0 矛盾. ②当 k+1>0,即 k>-1 时,令 h?( x) =0,解得 x ?

1 , k ?1

1 ? ? x ? ? 0, ? , h?( x) >0,h(x)为增函数, ? k ?1?

? 1 ? x ?? , ? ? ? , h?( x) <0,h(x)为减函数, k ? 1 ? ? 1 1 ∴ h( x)max ? h( ) ? ln ? 1 ≤0, k ?1 k ?1 1 即 ln ? k ? 1? ≥-1,解得 k≥ ? 1 . e 1 综合 k>-1,知 k≥ ? 1 . e ?1 ? ? ? ? .………………………………10 分 ∴ 综上所述,k 的取值范围为 ? ? 1, e ? ? (Ⅲ)由(Ⅰ)知 f (x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴ f (x)≤f (1)=0, ∴ lnx≤x-1. 当 n=1 时,b1=ln(1+1)=ln2, 当 n≥2 时,有 ln(n+1)<n, ln ? n ? 1? n 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? ? ? , ∵ bn ? 3 n n n n(n ? 1) n ? 1 n
∴ b1 ? b2 ?

1? ? 1 1? 1? ? 1 ? 1 ? bn ? b1 ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? 2 ?1 2 ? ? 3 ?1 3 ? ? n ?1 n ? 1 ? ln 2 ? (1 ? ) n <1+ln2.……………………………………………………14 分


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