宁波效实中学2013届高考数学(理)模拟


宁波效实中学 2013 届高考模拟 数学(理)试题卷
参考公式: 如果事件 A, 互斥, B 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那 么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率 Pn(k)= C k pk(1-p)n-k (k=0,1,2,?,n) n 台体的体积公式: 1 V= h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 (其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高) 柱体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, 表示 h 柱体的高) 1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 (其中 S 表示锥体的底面积, 表示 h 锥体的高) 球的表面积公式:S=4πR2 球的体积公式:V ? 4 ? R 3 (其中 R

3

表示球的半径)

选择题部分 (共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.已知全集 U ? R ,且 A ? {x x ?1 ? 2}, B ? {x x2 ? 6x ? 8 ? 0} ,则 (CU A) ? B ? A. (2, 3) B. (2,3]
3

C. (?1, 4)

D. [?1, 4)

2 2.若复数 z 满足方程 z ? 2 ? 0 ,则 z ?

A. ?2 2i 3. “ ? ?

B. ?2 2i

C. ?2 2

D. ?2 2

2? ? ”是“ tan ? ? 2 cos(? ? ) ”的 3 2
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

4.为了得到函数 y ? 2 sin( ? 的点

x 3

?
6

), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x, x ? R 的图像上所有

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? 1 B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长为原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? D.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长为原来的 3 倍(纵坐标不变) 6
A.向左平移

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5.设 a, b 是两个非零向量,则下列结论不正确的是 ... A.若存在一个实数 k 满足 a ? kb ,则 a 与 b 共线 B.若 a ? b ,则 a ? b C. a ? b ? a ? b D.若 a 与 b 为两个方向相同的向量,则 a ? b ? a ? b 6.从 6 人中选 4 人分别到北京、哈尔滨、 广州、 成都四个城市游览,要求每个城市有一人游览, 每人只游览一个城市,且在这 6 人中甲、乙不去哈尔滨游览,则不同的选择方案共有 A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 7. 已知数列 {an } 中, an?1 ? 3Sn ,则下列关于 {an } 的说法正确的是 A.一定为等差数列 C.可能为等差数列,但不会为等比数列 B.一定为等比数列 D.可能为等比数列,但不会为等差数列

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

x2 y 2 8. 已知 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的左右焦点, A 为双曲线的右顶点,线段 a b

AF2 的垂直平分线交双曲线于 P ,且 PF1 ? 3 PF2 ,则双曲线的离心率为
A.

?1 ? 17 2

B.

1 ? 17 2

C. 3

D. 2

9.将一些棱长为 1 的正方体放在 3 ? 3 的平面上如图 1 所示,其正视图,侧视图如下所示.若摆 放的正方体的个数的最大值和最小值分别为 m, n ,则 m ? n ? A.5 B.6 C.8 D.9

图1

正视图

侧视图

10. 现有边长分别为 7,3, 4 三角形 2 个;边长分别为 3, 4, 5 的三角形 4 个,边长分别为

3, 4, 4 3 的三角形 8 个,边长分别为 4,3, 6 的三角形 6 个,用这些三角形(每个三角形至多
出现在一个四面体中)为面拼成四面体,最多可以拼 A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

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非选择题部分 (共 100 分)
二.填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.等差数列 {an } 各项为正,且 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34, a2 ? 5 ? 52 ,则公差 d ? a 12. f ( x) ? ? ▲ .

? sin ? x( x ? 0) 11 11 ,则 f (? ) ? f ( ) ? 6 6 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)



.

13. 以下给出了一个程序框图, 若要 使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则这样的 x 值是 ▲ .

14.已知 A( 3, 0),B (0,1),坐标原点

O 在 AB 上的射影为点 C , ??? ??? ? ? 则 OA? OC ? ▲ .
15. 过点 P(?1, ? 5) 的倾斜角为

? 3

的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点,则 PA ? PB ? 16. 已知 (1 ? x ? x )( x ?
2

??? ??? ? ?



. ▲ .

1 n ) ( n ? N ? ) 的展开式中没有常数项,且 2 ? n ? 8 ,则 n ? 3 x

17. 定 义 : 对 于 区 间 [a, b),(a, b),[a, b],(a, b] , 则 b ? a 为 区 间 长 度 . 若 关 于 x 的 不 等 式

x 2 ? ( 2a 2 ? 2 )x ? a2 ? 4a ? 7 ? 0 的解集是一些区间的并集,且这些区间长度的和不小于 2 x2 ? ( a2 ? 4 a ? 5 ) x ? a ? 4 a ? 7
4,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中, D 为 BC 边上的点 BD ? 且 BA?BC ? 2S?ABC ? (1)求 B ; (2)若 AC ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? 2 BA ? BC .

? 1 ??? BC , ?ADC ? 60? , A 3

6 ,求 S?ABC .
B

D

C

19. (本题满分 14 分)在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球; 若掷出 2 点或 3 点,乙盒中放一球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,前后共掷 3 次,设 x, y, z 分别表示甲,乙,丙 3 个盒中的球数. (1)求 x, y, z 依次成公差大于 0 的等差数列的概率; (2)记 ? ? x ? y ,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望.
效实中学 2013 届高考模拟 数学试题(理) 第 3 页 (共 4 页)

20. (本题满分 15 分)如图,已知 AB ? 平面 BEC, AB / /CD, AB ? BC ? 3 , ?BEC 为等边三

A
角形. (1)若 CD ?

3 ,求证:平面 ABE ? 平面 ADE ; 2

(2)若多面体 ABCDE 的体积为 3 3 ,求此时二面角 A ? DE ? B 的余弦值.

D

B

C

E
21. (本题满分 15 分)曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) ,曲线 C2 : x2 ? 4 y .自曲线 C1 上一点 A 作 16 4

C2 的两条切线切点分别为 B, C .
(1)若 A 点的纵坐标为 ?1 ,求 AB?AC ; (2)求 S?ABC 的最大值.

??? ??? ? ?

y

C
B

x
A

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ?
x

1 2 ( x ? 2 x) ln a ( a ? 0 且 a ? 1 ). 2

(1)当 a ? e 时,求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;
2 (2)当 a ? [e, e ] ? [ ,1) 且 t ? [1, ??) 时,求证: f (2t ?1) ? 2 f (t ) ? ?e ? 3 .
2

1 e

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宁波效实中学 2013 届高考模拟 数学(理)参考答案
一、选择题 BAACC BCACD 二、填空题 11. 3 12. ?2 13. 0,1,3 14.

3 4

15.

22

16.

5

17. a ? 3 或 a ? 1

三、解答题 18、(1)? BA?BC ? 2S?ABC ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? 2 BA ? BC ,

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? BA ? BC cos B ? BA ? BC sin B ? 2 BA ? BC
? cos B ? sin B ? 2 sin( B ? ) ? 2 ? B ? (0, ? ) 4 ?B ?

?

?

??? ? ??? ? BD AB ??? ? ??? ? ? (2)设 BD ? m ,则 BC ? 3m ,在 ?ABD 中由正弦定理得 sin15? sin120?
则 AB ?

4

??? ?

3 2? 6 m, 2

在 ?ABC 中由余弦定理得

9m 2 ? (

3 2? 6 2 3 2? 6 m) ? 2 ? 3m ? m ? cos 45? ? 6 2 2

解得 m ? 1 , 则 S?ABC ?

? ? 1 ??? ??? 1 3 2? 6 2 9?3 3 ? BA ? BC sin ?ABC ? ? ? 3? ? 2 2 2 2 4

19、解: (1)x,y,z 依次称公差大于 0 的等差数列的概率,即甲,乙,丙 3 个盒中的球数。

1 1 4 1 ?( ) ? 3 2 4 1 3 1 (2) ? 的取值范围 0,1,2,3,且 p (? ? 0) ? ( ) ? ; 2 8 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 p(? ? 1) ? C3 ? ? ( ) ? C3 ? ? ( ) ? ? ? ; 6 2 3 2 8 4 8
1 分别为 0,1,2,此时的概率 p ? C3 ?

1 1 1 1 1 1 1 3 3 p(? ? 2) ? A3 ? ? ? ? C32 ? ( )2 ? ? C32 ? ( )2 ? ? ; 6 3 2 3 2 6 2 8 1 1 1 1 1 1 1 p(? ? 3) ? ( )3 ? ( )3 ? C32 ? ( ) 2 ? ? C32 ? ? ( ) 2 ? . 6 3 6 3 6 3 8
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随机变量 ? 的概率分布列

?
P

0

1

2

3

1 8
3 2

3 8

3 8

1 8

数学期望为 E? ?

【另法】设? 表示丙盒中的球数,则 ? ? ? ? 3.
2 3 ∴ p (? ? 1) ? p (? ? 2) ? C3 ( ) ?

1 2

3 ; 8

3 1 1 p (? ? 2) ? p (? ? 1) ? C3 ( )3 ? ; 2 8 1 1 p(? ? 3) ? p(? ? 0) ? ( )3 ? .(下同) 2 8 20、(1)证明:取 BE 的中点 F 、 AE 的中点 G ,连结 FG、GD、CF 1 1 ? GF ? AB, GF //AB ? DC ? AB, CD //AB 2 2

?CD //GF ? CFGD 是平行四边形
? CF //GD

? AB ? 平面BEC ? AB ? CF

? C F ? B E A? , B

BE ?

B

? CF ? 平面 ABE ? CF //DG ? DG ? 平面 ABE ? DG ? 平面 ADE ? 平面 ABE ? 平面 ADE
(2)作 EM ? BC 于 M , AB ? 平面BEC, AB ? EM AB ? BC ? B

1 1 3 3 EM ? 平面ABCD , VABCDE ? ? (3 ? CD) ? 3 ? ? 3 3 , CD ? 1 3 2 2
以 ME 所在直线 BC 所在直线分别为 x 轴, y 轴, M 点位坐标原点建立坐标系. 则 A(0, ? ,3), B(0, ? , 0), D(0, ,1), E (

3 2

3 2

3 2

3 3 , 0, 0) 2

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???? 3 3 3 ? DE ? ( , ? , ?1) 设平面 BDE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 2 2 ??? ? BD ? (0,3,1) ?3 3 3 2 x ? y ? z1 ? 0 ?? ? 则? 2 1 2 1 则 n1 ? ( , ?2, 6) 3 ? 3 y1 ? z1 ? 0 ? ??? ? AD ? (0,3, ?2)
设平面 ADE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )

?

?3 3 3 4 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? ? n2 ? ( , 2,3) 则? 2 2 3 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0 ?
8 ? 4 ? 18 25 3 ? 4 16 1705 ? 4 ? 36 ?4?9 3 3

cos ? n1 ?n2 ??

21、(1) B( x1 ,

x12 x2 ), C ( x2 , 2 ) 4 4

y?

x x x2 x x x2 x2 ' x , y ? ,过 B 点的切线为 y ? 1 ? 1 ,过 C 点的切线为 y ? 2 ? 2 2 4 4 2 2 4

则 A(

x1 ? x2 x1 x2 x1 x2 , ), ? ?1 2 4 4 ??? ? x ? x x ( x ? x ) ???? x ? x x (x ? x ) AB ? ( 1 2 , 1 1 2 ), AC ? ( 2 1 , 2 2 1 ) 2 4 2 4

??? ???? ?( x ? x ) 2 ? x x ( x ? x ) 2 ? 1 2 AB?AC ? ? 1 2 1 2 ?0 4 16
(2)设 lBC : y ? kx ? b ?

? x2 ? 4 y ? y ? kx ? b

x2 ? 4kx ? 4b ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4b ,则 A(2k , ?b) , x1 ? x2 ? 16k 2 ? 16b
BC ? ?2k 2 ? 2b 1? k 2

4k 2 b 2 ? ? 1, k 2 ? b2 ? 4(0 ? b ? 2) 16 4
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S ?ABC

3 ?2k 2 ? 2b 1 2 2 2 2 ? 1 ? k x1 ? x2 ? 16k ? 16b k ? b ? 4(k ? b) 2 2 2 1? k

3 1 17 3 17 17 ? 4(4 ? b 2 ? b) 2 ? 4(?(b ? ) 2 ? ) 2 ? 2 4 2

22、(1) f ' ( x) ? a x ln a ? ( x ? 1)ln a ? (a x ? x ?1)ln a

? a ? e, x ? 0 ? a x ? x ?1 ? ex ? x ?1 T ( x) ? ex ? x ?1, T ' ( x) ? e x ?1 T ' ( x) ? 0, x ? 0
在 (??, 0) 上 T ( x) 递减,在 (0, ??) 上 T ( x) 递增 则 T ( x) ? T (0) ? 0 ? f ( x) ? 0
'

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增
(2) G (t ) ? f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? a
2 t ?1

1 ? 2a t ? (t 2 ? 2t ? ) ln a 2

G' (t ) ? (2a2t ?1 ? 2at ? 2t ? 2)ln a ? (a2t ?1 ? at ? t ? 1) ? 2ln a


1 ? a ? 1, t ? 1, ln a ? 0, a 2t ?1 ? a t , 此时 G ' (t ) ? 0 e
2 t ?1

当 e ? a ? e 时,由(1)可知 a

?t

a 2t ?1 ? at ? t ? 1 ? at (at ?1 ? 1) ? (t ? 1) ? at (t ? 1) ? (t ? 1) ? (at ? 1)(t ? 1) ? 0 ln a ? 0

G ' (t ) ? 0
当 a ? [e, e ] ? [ ,1) 时, G (t ) 在 [1, ??) 单调递增
2

1 e

则 G (t ) ? G (1) ? ? a ? 令 M (a) ? ?a ?

3 ln a 2

3 3 ln a, M ' (a) ? ?1 ? 2 2a 3 3 M (a) 在 (0, ) 上单调递增, ( , ??) 上单调递减 2 2 1 1 3 M ( ) ? ? ? , M (e 2 ) ? ? e 2 ? 3 e e 2 1 M ( ) ? M (e 2 ) e

得证.

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