天津市南开中学2015年高考数学统练试卷(理科)(7)


2015 年天津市南开中学高考数学统练试卷(理科) (7)
一、选择题(共 12 个小题.每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 y=log3(3 +1)+ax 是偶函数,y=b+
x

为奇函数,则 a+b=(



A. ﹣1 B. 0 C.

D. 1

2.设 a=( )

,b=( )

,c=log

,则 a,b,c 的大小关系是(



A. a>c>b B. a>b>c C. c>b>a D. b>c>a
x x﹣1

3.若方程( ) +(

+a=0)有正数解,则实数 a 的取值范围是(



A. 0<a<1 B. ﹣3<a<0 C. ﹣2<a<0 D. ﹣1<a<0

4.设 M=a+

(2<a<3) ,N=

(x +

2

) (x∈R) ,那么 M、N 的大小关系是(



A. M>N B. M=N C. M<N D. 不能确定
2

5.若函数 f(x)=x + (a∈R) ,则下列结论正确的是( A. B. C. D. ? ? ? ? a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 21 a∈R,f(x)是偶函数育 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 a∈R,f(x)是奇函数



6.已知 x,y∈(﹣∞,0) ,且 x+y=﹣1,则 xy+ A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值﹣

有(



D. 最大值﹣

7. (5 分) (2011? 江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( ) A. (0,+∞) B. (﹣1,0)∪(2,+∞) C. (2,+∞) D. (﹣1,0) 8.若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是( ) A. [1,+∞) B. [1, ) C. [1,2) D. [ ,2)
2

2

9.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是( ) A. (0, ) B. (1, ) C. ( , ) D. (0, )

10.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=0,f′(x)是 f(x)的导函数,当 x >0 时总有 xf′(x)<f(x)成立,则不等式 f(x)>0 的解集为( ) A. {x|x<﹣1 或 x>1} B. {x|x<﹣1 或 0<x<1} C. {x|﹣1<x<0 或 0<x<1} D. {x|﹣1<x<1,且 x≠0}

11.已知函数 f(x)的图象与函数

的图象关于点 A(0,1)对称,若 )

,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [3,+∞) B. [2,+∞) C. (0,3] D. (0,2]

12.设 f(x)的定义域为 D,若 f(x)满足下面两个条件,则称 f(x)为闭函数.①f(x) 在 D 内是单调函数;②存在[a,b]? D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].如果 为闭函数,那么 k 的取值范围是( A. ﹣1<k≤ B. ) ≤k<1 C. k>﹣1 D. k<1

二、填空题(共 6 个小题.每小题 5 分,共 30 分) 13.不等式|x+1|+|2x﹣1|<3 的解集为

. . .

14.若方程 2log2x﹣log2(x﹣1)=m 有两个解,则实数 m 的取值范围是 15. 已知 a∈R, 若关于 x 的方程 x +x+|a﹣ |+|a|=0 有实根, 则 a 的取值范围是
2

16.由抛物线 y = ,y =x﹣1 所围成封闭图形的面积为

2

2



17.已知函数

(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值 4,则 m=



18. 若函数 f (x) =x ﹣3x 在区间 (a, 6﹣a ) 上有最小值, 则实数 a 的取值范围是

3

2



三、解答题(共有 4 个题,每题 15 分)

19.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是 , 乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答 对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

20.已知函数 f(x)=

﹣ax(x>0 且 x≠1) .

(1)若函数 f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若? x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立,求实数 a 的取值范围. 21.已知函数 .
2

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x) 的单调区间; (Ⅱ)若对于? x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)记 g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R) .当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e ,e]上有两个零 点,求实数 b 的取值范围. 22.设函数 f(x)=(x﹣a) lnx,a∈R (Ⅰ)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e 成立. 注:e 为自然对数的底数.
2 2 ﹣1

2015 年天津市南开中学高考数学统练试卷(理科) (7)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 个小题.每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 y=log3(3 +1)+ax 是偶函数,y=b+
x

为奇函数,则 a+b=(



A. ﹣1 B. 0 C.

D. 1

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质分别取 x=1 或﹣1,代入函数解析式列出方程组,求出 a、b 的值,即可求出 a+b 的值. 解答: 解:∵y=log3(3 +1)+ax 是偶函数,y=b+
x

为奇函数,



,解得



∴a+b= , 故选:C. 点评: 本题考查函数奇偶性的性质,以及方程思想,属于基础题.

2.设 a=( )

,b=( )

,c=log

,则 a,b,c 的大小关系是(



A. a>c>b B. a>b>c C. c>b>a D. b>c>a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂和对数的性质分别进行判断即可. 解答: 解:a=( ) 即 a>b, c=log <0, >( ) >( ) >0,

即 a>b>c,

故选:B 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据指数幂和对数的性质是解决本题的关键.
x x﹣1

3.若方程( ) +(

+a=0)有正数解,则实数 a 的取值范围是(



A. 0<a<1 B. ﹣3<a<0 C. ﹣2<a<0 D. ﹣1<a<0 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;换元法. 分析: 为便于处理,不妨设 t=( )x,于是可转化为求关于 t 的方程 t +2t+a=0 的根的
2

问题,明显地,原方程有正实数解,即可转化为关于 t 的方程在(0,1)上有解的问题,即 可得解. 解答: 解:设 t=( )x,则有:a=﹣[( )2x+2( )x]=﹣t ﹣2t=﹣(t+1) +1. 原方程有正数解 x>0,则 0<t=( )x<( )0=1, 即关于 t 的方程 t +2t+a=0 在(0,1)上有实根. 2 又因为 a=﹣(t+1) +1. 所以当 0<t<1 时有 1<t+1<2, 即 1<(t+1) <4, 2 即﹣4<﹣(t+1) <﹣1, 2 即﹣3<﹣(t+1) +1<0, 即得﹣3<a<0. 故选:B. 点评: 本题考查函数最值的求法,二次方程根的分布问题,以及对含参数的函数、方程的 问题的考查,亦对转化思想,换元法在解题中的应用进行了考查,属于中档题.
2 2 2 2

4.设 M=a+

(2<a<3) ,N=

(x +

2

) (x∈R) ,那么 M、N 的大小关系是(



A. M>N B. M=N C. M<N D. 不能确定 考点: 不等式比较大小. 专题: 计算题. 分析: 由 2<a<3, 知 M=a+ <M. 解答: 解:∵2<a<3, ∴M=a+ =(a﹣2)+ +2>2+2=4, = (a﹣2) + +2>2+2=4, N= ≤ =4

N=



=4<M.

故选 A. 点评: 本题考查比较不等式的大小,解题时要注意均值不等式的合理运用.
2

5.若函数 f(x)=x + (a∈R) ,则下列结论正确的是( A. B. C. D. ? ? ? ? a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 21 a∈R,f(x)是偶函数育 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 a∈R,f(x)是奇函数



考点: 全称命题. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 考查函数 f(x)的单调性,排除选项 A、C; a=0 时,f(x)是偶函数,无论 a 取何值,f(x)都不是奇函数,由此得出正确选项. 解答: 解:∵f(x)=x + ,
2

∴f′(x)=2x﹣
3

=



令 2x ﹣a=0,解得 x= ∴当 x> 当 x<



时,f′(x)>0,f(x)是增函数, 时,f′(x)<0,f(x)是减函数,

∴选项 A、C 错误; 又 a=0 时,f(x)=x 是偶函数,∴B 正确; 无论 a 取何值,f(x)都不是奇函数,∴D 错误. 故选:B. 点评: 本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了利用导数判断函数的单调性问题,是 综合性题目.
2

6.已知 x,y∈(﹣∞,0) ,且 x+y=﹣1,则 xy+ A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值﹣

有(



D. 最大值﹣

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由基本不等式易得 xy∈(0, ],换元可得 z=t+ ,t∈(0, ],由“对勾函数” 的单调性可得. 解答: 解:∵x,y∈(﹣∞,0) ,且 x+y=﹣1, ∴﹣x,﹣y∈(0,+∞) ,且(﹣x)+(﹣y)=1, ∴由基本不等式可得 xy=(﹣x) (﹣y)≤ =

当且仅当﹣x=﹣y 即 x=y=﹣ 时,上式取最大值 ,即 xy∈(0, ], 令 xy=t,则 t∈(0, ],已知式子化为 z=t+ , 由函数的单调性易得函数 z=t+ 在 t∈(0, ]上单调递减, ∴当 t= 时,xy+ 有最小值 +4= ,

故选:B. 点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及“对勾函数”的单调性,属基础题. 7. (5 分) (2011? 江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( ) A. (0,+∞) B. (﹣1,0)∪(2,+∞) C. (2,+∞) D. (﹣1,0) 考点: 导数的加法与减法法则;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由题意,可先求出函数的定义域及函数的导数,再解出不等式 f′(x)>0 的解集 与函数的定义域取交集,即可选出正确选项. 解答: 解:由题,f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=2x﹣2﹣ , 令 2x﹣2﹣ >0,整理得 x ﹣x﹣2>0,解得 x>2 或 x<﹣1, 结合函数的定义域知,f′(x)>0 的解集为(2,+∞) . 故选:C. 点评: 本题考查导数的加法与减法法则,一元二次不等式的解法,计算题,基本题型,属 于基础题. 8.若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是( ) A. [1,+∞) B. [1, ) C. [1,2) D. [ ,2)
2 2 2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 常规题型. 分析: 先确定函数的定义域然后求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解方程 fˊ(x)=0, 使方程的解在定义域内的一个子区间 (k﹣1,k+1)内,建立不等关系,解之即可.

解答: 解:因为 f(x)定义域为(0,+∞) ,又 由 f'(x)=0,得 .



当 x∈(0, )时,f'(x)<0,当 x∈( ,+∞)时,f'(x)>0

据题意,



解得



故选 B. 点评: 本题主要考查了对数函数的导数,以及利用导数研究函数的单调性等基础知识,考 查计算能力,属于基础题. 9.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是( ) A. (0, ) B. (1, ) C. ( , ) D. (0, )

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.我们可以 通过分析确定当底面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2,a,a 此时 a 取最大值,当构 成三棱锥的两条对角线长为 a,其他各边长为 2,a 有最小值,易得 a 的取值范围 解答: 解:根据条件,四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架, 有以下两种情况①底面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2,a,a,如图,此时 a 可以 取最大值,可知 AD= 即 ,SD= ,则有 ,即有 1<a< ; <2+ ,

②构成三棱锥的两条对角线长为 a,其他各边长为 2,如图所示,此时 0<a<2 综上分析可知 a∈(0, ) ;

故选 A. 点评: 本题考查的知识点是空间想像能力,我们要结合分类讨论思想,数形结合思想,极 限思想,求出 a 的最大值和最小值,进而得到 a 的取值范围 10.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=0,f′(x)是 f(x)的导函数,当 x >0 时总有 xf′(x)<f(x)成立,则不等式 f(x)>0 的解集为( )

A. {x|x<﹣1 或 x>1} B. {x|x<﹣1 或 0<x<1} C. {x|﹣1<x<0 或 0<x<1} D. {x|﹣1<x<1,且 x≠0} 考点: 函数的单调性与导数的关系;其他不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由已知当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立,可判断函数 g(x)= 为减

函数,由已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可证明 g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上 的偶函数,根据函数 g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟 g(x)的图象,而不 等式 f(x)>0 等价于 x? g(x)>0,数形结合解不等式组即可 解答: 解:设 g(x)= ,则 g(x)的导数为 g′(x)= ,

∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立,即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)= 又∵g(﹣x)= = 为减函数, = =g(x)

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(1)= =0

∴函数 g(x)的图象性质类似如图:数形结合可得 不等式 f(x)>0?x? g(x)>0? ?0<x<1 或 x<﹣1 故选 B 或

点评: 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性, 并由函数的奇偶性和单调性解不等式, 属于综合题.

11.已知函数 f(x)的图象与函数

的图象关于点 A(0,1)对称,若 )

,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [3,+∞) B. [2,+∞) C. (0,3] D. (0,2] 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 计算题. 分析: 利用函数图象对称的公式, 求得 f (x) =2﹣h (﹣x) = , 由此可得 g (x ) =x+

. 然

后对函数 g(x)求导数,并讨论导数 g'(x)在区间(0,2]恒小于或等于 0,即可得到实 数 a 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)的图象与函数 ∴f(x)=2﹣h(﹣x)=2﹣( 由此可得 =x+ )= ,对 g(x)求导数,得 g'(x)=1﹣ 的图象关于点 A(0,1)对称,

∵g(x)在区间(0,2]上为减函数, ∴g'(x)=1﹣
2

≤0 在区间(0,2]恒成立,即

≥1,可得 x ≤a+1

2

∴x 的最大值小于或等于 a+1,即 a+1≥4,a≥3 故选 A 点评: 本题用导数为工具讨论函数的单调性,着重考查了函数的单调性、函数图象的对称 性质和不等式恒成立的讨论等知识,属于基础题. 12.设 f(x)的定义域为 D,若 f(x)满足下面两个条件,则称 f(x)为闭函数.①f(x) 在 D 内是单调函数;②存在[a,b]? D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].如果 为闭函数,那么 k 的取值范围是( A. ﹣1<k≤ B. ) ≤k<1 C. k>﹣1 D. k<1

考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 首先应根据条件将问题转化成: 根. 然后, 一方面: 可以从数形结合的角度研究两函数 在 上有两个不等实 和 y=x﹣k 在 ,得关

上的交点个数问题,进而获得问题的解答;另一方面:可以化简方程 于 x 的一元二次方程,从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答. 解答: 解: 方法一:因为: 值域为[a,b], 为

上的增函数,又 f(x)在[a,b]上的



,即 f(x)=x 在

上有两个不等实根,即



上有两个不等实根. ∴问题可化为 两个不同交点. 和 y=x﹣k 在 上有

对于临界直线 m,应有﹣k≥ ,即 k≤ 对于临界直线 n, 令 =1,得切点 P 横坐标为 0,

. ,

∴P(0,1) , ∴n:y=x+1,令 x=0,得 y=1,∴﹣k<1,即 k>﹣1. 综上,﹣1<k≤ 方法二:因为: 值域为[a,b], ∴ ,即 f(x)=x 在 上有两个不等实根,即 在 . 为 上的增函数,又 f(x)在[a,b]上的

上有两个不等实根. 化简方程 ,得 x ﹣(2k+2)x+k ﹣1=0.
2 2

令 g(x)=x ﹣(2k+2)x+k ﹣1,则由根的分布可得

2

2

,即



解得 k>﹣1.又 综上,﹣1<k≤ ,

,∴x≥k,∴k≤



故选 A. 点评: 本题考查的是函数的最值及其几何意义.在解答的过程当中充分体现了问题转化的 思想、 数形结合的思想以及函数与方程的思想. 同时二次函数根的分布情况对本体的解答也 有相当大的作用.值得同学们体会和反思. 二、填空题(共 6 个小题.每小题 5 分,共 30 分) 13.不等式|x+1|+|2x﹣1|<3 的解集为 (﹣1,1)



考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组 的解集,再取并集,即得所求. 解答: 解:不等式|x+1|+|2x﹣1|<3 等价于 ①,或

②,或

③.

解①求得 x∈? ,解②求得﹣1<x< ,解③求得 ≤x<1, 综合可得,原不等式的解集为(﹣1,1) , 故答案为: (﹣1,1) . 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之 等价的不等式组来解,属于基础题. 14.若方程 2log2x﹣log2(x﹣1)=m 有两个解,则实数 m 的取值范围是 (2,+∞) . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 据对数的真数大于 0 求出定义域,利用对数的运算法则转化成 x ﹣2 x+2 =0.方程 在 x>1 时有两个解,解方程即可. 解答: 解:由题得 得 x>1.
2 m m

又∵2log2x﹣log2(x﹣1)=log2(

)=m,

∴可得

=2 ,即 x ﹣2 x+2 =0.方程在 x>1 时有两个解,

m

2

m

m

可得:

,解得

所以实数 m 的取值范围是: (2,+∞) 故答案为: (2,+∞) . 点评: 本题考查对数的真数大于 0、对数的运算法则、二次方程的解法,解题过程中要注 意对数的定义域,属于中档题.
2

15. 已知 a∈R, 若关于 x 的方程 x +x+|a﹣ |+|a|=0 有实根, 则 a 的取值范围是



考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将方程进行移项,然后再根据利用绝对值的几何意义进行求解. 解答: 解:x +x+|a﹣ |+|a|=0 即|a﹣ |+|a|=﹣(x +x) , 令 y=﹣(x +x) , 分析可得,y≤ , 若方程 x +x+|a﹣ |+|a|=0 有实根,则必有|a﹣ |+|a|≤ , 而|a﹣ |+|a|≥ ,当且仅当 0≤a≤ 时,有|a﹣ |+|a|= , 故且仅当 0≤a≤ 时,有|a﹣ |+|a|=﹣(x +x)成立,即 x +x+|a﹣ |+|a|=0 有实根, 可得实数 a 的取值范围为 故答案为: . ,
2 2 2 2 2 2

点评: 此题考查绝对值不等式的解法及其几何意义,解题的关键是利用零点分段法进行求 解,此类题目是高考常见的题型.
2 2

16.由抛物线 y = ,y =x﹣1 所围成封闭图形的面积为



考点: 专题: 分析: 解答:

定积分在求面积中的应用. 导数的综合应用. 联立方程,先求出其交点坐标,再利用微积分基本定理定理即可得出 解:如图两个曲线的交点为(1.25,±0.5) ,
2 2

所以由抛物线 y = ,y =x﹣1 所围成封闭图形的面积为:

2

=2

=2(y﹣

)|

= ;

故答案为: .

点评: 本题考查了定积分的应用,正确求导积分变量以及变量范围,熟练掌握微积分基本 定理定理是解题的关键.

17.已知函数

(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值 4,则 m= ﹣3e .

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出函数的导函数,然后分 m 的范围讨论函数的单调性,根据函数的单调性求出函 数的最小值,利用最小值等于 4 求 m 的值. 解答: 解:函数 . 当 f′(x)=0 时, ,此时 x=﹣m,如果 m≥0,则无解. 的定义域为(0,+∞) ,

所以,当 m≥0 时,f′(x)>0,f(x)为增函数,所以 f(x)min=f(1)=﹣m=4,m=﹣4, 矛盾舍去; 当 m<0 时, 若 x∈(0,﹣m) ,f′(x)<0,f(x)为减函数,若 x∈(﹣m,+∞) ,f′(x)>0,f (x)为增函数, 所以 f(﹣m)=ln(﹣m)+1 为极小值,也是最小值; ①当﹣m<1,即﹣1<m<0 时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以 f(x)min=f(1)=﹣m=4, 所以 m=﹣4(矛盾) ; ②当﹣m>e,即 m<﹣e 时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=1﹣ =4.所以 m=﹣3e. ③当﹣1≤﹣m≤e,即﹣e≤m≤﹣1 时,f(x)在[1,e]上的最小值为 f(﹣m)=ln(﹣m) +1=4.此时 m=﹣e <﹣e(矛盾) .
3

综上 m=﹣3e. 点评: 本题考查了利用导数求闭区间上的最值,考查了分类讨论的数学思想方法,解答的 关键是正确分类,是中档题. 18.若函数 f(x)=x ﹣3x 在区间(a,6﹣a )上有最小值,则实数 a 的取值范围是 [﹣2, 1) . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据题意求出函数的导数,因为函数 f(x)在区间(a,6﹣a )上有最小值,所以 2 f′(x)先小于 0 然后再大于 0,所以结合二次函数的性质可得:a<1<5﹣a ,进而求出正 确的答案. 解答: 解:由题意可得:函数 f(x)=x ﹣3x, 2 所以 f′(x)=3x ﹣3. 2 令 f′(x)=3x ﹣3=0 可得,x=±1; 2 因为函数 f(x)在区间(a,6﹣a )上有最小值,其最小值为 f(1) , 2 所以函数 f(x)在区间(a,6﹣a )内先减再增,即 f′(x)先小于 0 然后再大于 0, 2 所以结合二次函数的性质可得:a<1<6﹣a , 3 2 且 f(a)=a ﹣3a≥f(1)=﹣2,且 6﹣a ﹣a>0, 联立解得:﹣2≤a<1. 故答案为:[﹣2,1) . 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用,即求函数的单调区间与函数的最值, 并且进行正确的运算. 三、解答题(共有 4 个题,每题 15 分) 19.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是 , 乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答 对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分 布列. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)确定乙答题所得分数的可能取值,求出相应的概率,即可得到乙得分的分布 列和数学期望; (Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,求出甲、乙入选的概率,利用对立事件,即可 求得结论. 解答: 解: (Ⅰ)设乙答题所得分数为 X,则 X 的可能取值为﹣15,0,15,30.
3 2 3 2







. 乙得分的分布列如下: X ﹣15 0 15 30 P

…(4 分)

. …(6 分) (Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A,乙入选为事件 B. 则 . 故甲乙两人至少有一人入选的概率 ,…(8 分) …(10 分) . …(12 分)

点评: 本题考查概率的计算,考查互斥事件的概率,考查离散型随机变量的分布列与期望, 确定变量的取值,计算其概率是关键.

20.已知函数 f(x)=

﹣ax(x>0 且 x≠1) .

(1)若函数 f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若? x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系. 专题: 分类讨论;导数的综合应用. 分析: (1)f(x)在(1,+∞)上为减函数,等价于 f′(x)≤0 在(1,+∞)上恒成立, 进而转化为 f′(x)max≤0,根据二次函数的性质可得 f′(x)max; 2 2 (2)命题“若? x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f'(x2)+a 成立”等价于“当 x∈[e,e ] 时,有 f(x)min≤f′(x)max+a” ,由(1)易求 f′(x)max+a,从而问题等价于“当 x∈[e, e ]时,有 f(x)min
2 2

” ,分①a

,②a< 两种情况讨论:当 a

时易求 f(x)min,

当 a< 时可求得 f′(x)的值域为[﹣a,

],再按(i)﹣a≥0, (ii)﹣a<0 两种情

况讨论即可; 解答: 解: (1)因 f(x)在(1,+∞)上为减函数, 故 f′(x)= ﹣a≤0 在(1,+∞)上恒成立,

又 f′(x)=

﹣a=﹣

+

﹣a=﹣



故当 所以

,即 x=e 时, 0,于是 a

2

, ,故 a 的最小值为 .
2 2

(2)命题“若? x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f'(x2)+a 成立”等价于“当 x∈[e,e ] 时,有 f(x)min≤f′(x)max+a” , 由(1) ,当 x∈[e,e ]时,f′(x)max= ∈[e,e ]时,有 f(x)min ①当 a
2 2

,所以 f′(x)max+a= ,问题等价于: “当 x

” ,
2

时,由(1) ,f(x)在[e,e ]上为减函数,
2

则 f(x)min=f(e )=

,故 a

, ;
2

②当 a< 时,由于 故 f′(x)的值域为[f′(e) ,f′(e )],即[﹣a,
2 2

在[e,e ]上为增函数, ].
2

(i)若﹣a≥0,即 a≤0,f′(x)≥0 在[e,e ]上恒成立,故 f(x)在[e,e ]上为增函 数, 于是,f(x)min=f(e)=e﹣ae≥e> ,不合题意; (ii)若﹣a<0,即 0<a< ,由 f′(x)的单调性和值域知,? 唯一 使 f′(x0)=0, 且满足:当 x∈(e,x0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x (x)>0,f(x)为增函数; 所以, , , 时,f′ ,

所以 a 综上,得 a .





,与 0<a< 矛盾,不合题意;

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值,考查恒成立问题,考 查分类讨论思想、转化思想,考查学生分析解决问题的能力.

21.已知函数



(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x) 的单调区间; (Ⅱ)若对于? x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围;

(Ⅲ)记 g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R) .当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e ,e]上有两个零 点,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的极 值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ) 求出函数的定义域,在定义域内,求出导数大于 0 的区间,即为函数的增区 间, 求出导数小于 0 的区间即为函数的减区间. (Ⅱ) 根据函数的单调区间求出函数的最小值,要使 f(x)>2(a﹣1)恒成立,需使函 数的最小值大于 2(a﹣1) , 从而求得 a 的取值范围. (Ⅲ)利用导数的符号求出单调区间,再根据函数 g(x)在区间[e ,e]上有两个零点,
﹣1

﹣1

得到



解出实数 b 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)直线 y=x+2 的斜率为 1,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 因为 ,所以, ,所以,a=1.

所以,



. 由 f'(x)>0 解得 x>2;由 f'(x)<

0,解得 0<x<2. 所以 f(x)的单调增区间是(2,+∞) ,单调减区间是(0,2) . (Ⅱ) ,由 f'(x)>0 解得 ; 由 f'(x)<0 解得

. 所以,f(x)在区间 所以,当 上单调递增,在区间 上单调递减. .因为对于? x∈(0,+∞)都

时,函数 f(x)取得最小值,

有 f(x)>2(a﹣1)成立, 所以, 即可. 则 . 由 解得

. 所以,a 的取值范围是 .

(Ⅲ) 依题得

,则



由 g'(x)>0 解得 x>1; 由 g'(x)<0 解得 0<x<1. 所以函数 g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为增函数.

又因为函数 g(x)在区间[e ,e]上有两个零点,所以

﹣1



解得



所以,b 的取值范围是



点评: 本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系,利用导数求函数的单调区间以及函 数的最值. 22.设函数 f(x)=(x﹣a) lnx,a∈R (Ⅰ)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e 成立. 注:e 为自然对数的底数. 考点: 函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用极值点处的导数值为 0,求出导函数,将 x=e 代入等于 0,求出 a,再将 a 的值代入检验. (Ⅱ)对 x∈(0,3e]进行分区间讨论,求出 f(x)的最大值,令最大值小于 4e ,解不等 式求出 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)求导得 f′(x)=2(x﹣a)lnx+ 因为 x=e 是 f(x)的极值点, 所以 f′(e)=0 解得 a=e 或 a=3e. 经检验,a=e 或 a=3e 符合题意, 所以 a=e,或 a=3e. (Ⅱ)①当 0<x≤1 时,对于任意的实数 a,恒有 f(x)≤0<4e 成立 2 2 ②当 1<x≤3e 时,由题意,首先有 f(3e)=(3e﹣a) ln3e≤4e , 解得
2 2 2 2

=(x﹣a) (2lnx+1﹣ ) ,

由(Ⅰ)知 f′(x)=2(x﹣a)lnx+ 令 h(x)=2lnx+1﹣ ,则 h(1)=1﹣a<0,

=(x﹣a) (2lnx+1﹣ ) ,

h(a)=2lna>0 且 h(3e)=2ln3e+1﹣

≥2ln3e+1﹣

=2(ln3e﹣

)>

0 又 h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在在(0,+∞)内有唯一零点,记此 零点为 x0 则 1<x0<3e,1<x0<a,从而,当 x∈(0,x0)时,f′(x)>0, 当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,即 f(x)在(0,x0)内是增函数, 在(x0,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数. 2 所以要使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e 成立只要有

有h (x0) =2lnx0+1﹣
2 3 2

=0 得 a=2x0lnx0+x0, 将它代入

得 4x0 ln x0≤4e 2 3 又 x0>1,注意到函数 4x ln x 在(1,+∞)上是增函数故 1<x0≤e, 再由 a=2x0lnx0+x0,及函数 2xlnx+x 在(1,+∞)上是增函数,可得 1<a≤3e, 由 f(3e)=(3e﹣a) ln3e≤4e 解得 所以得 综上,a 的取值范围为 . .
2 2



点评: 本题考查函数的极值的概念,导数运算法则,导数应用,不等式等基础知识,同时 考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力,解题的关键是准确求出导数, 利用二次求导和函数零点分区间计论导函数的符号,得到原函数的单调性,本题属于难题.


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