2017


§1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性 函数 f(x)=x -2x-2 的图像如图所示: 2 问题 1:当 x0∈(-∞,1)时,函数在(x0,f(x0))处的切线斜率 f′(x0)大于零还是小于 零? 提示:小于零. 问题 2:函数 f(x)=x -2x-2 在(-∞,1)上单调性如何? 提示:是减少的. 问题 3:当 x0∈(1,+∞)时,函数在(x0,f(x0))处的切线斜率 f′(x0)大于零还是小于 零? 提示:大于零. 问题 4:f(x)=x -2x-2 在(1,+∞)上单调性如何? 提示:是增加的. 2 2 函数在区间(a,b)上的单调性与其导函数的符号关系 导函数的正负 函数在(a,b)上的单调性 是增加的 是减少的 f′(x)>0 f′(x)<0 1.求函数的单调区间先求函数的定义域,再求导数 f′(x),令 f′(x)>0,得单调增区 间,令 f′(x)<0 得单调减区间. 2.在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条 件,而不是必要条件.如果出现个别点使 f′(x)=0,不会影响函数 f(x)在包含该点的某个 1 区间内的单调性.例如函数 f(x)=x 在定义域(-∞,+∞)上是增加的,但由 f′(x)=3x 知,f′(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足 f′(x)>0. 3 2 [对应学生用书P45] 求函数的单调区间 [例 1] 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x -ln x; (2)f(x)= e ; x-2 3 2 2 x (3)f(x)=-x +3x . [思路点拔] 根据求可导函数单调区间的基本步骤求解. [精解详析] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=2x- = x 1 2x- 2x+ x . 2 ,所以函数 f(x)的单调递增 2 因为 x>0,所以 2x+1>0,由 f′(x)>0,解得 x> 区间为? 2 ? 2 ? ,+∞?;由 f′(x)<0,解得 x< ,又 x∈(0,+∞),所以函数 f(x)的单调 2 ?2 ? 递减区间为?0, ? ? 2? ?. 2? (2)函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). e f′(x)= x x- x- -e 2 x = e x x- x- 2 . x 2 因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以 e >0,(x-2) >0. 由 f′(x)>0,解得 x>3,所以函数 f(x)的单调递增区间为(3,+∞);由 f′(x)<0, 解得 x<3,又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,2) 和(2,3). (3)由 f(x)=-x +3x 。 得 f′(x)=-3x +6x=-3x(x-2). 由 f′(x)>0,解得 0<x<2,因此,函数在区间(0,2)上是单调递增的; 由 f′(x)<0,解得 x>2 或 x<0,因此,函数在区间(-∞,0)和(2,+∞)上是单调 递减的. 2 3 2 2 故函数 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(-∞,0)和(2,+∞). [一点通] 1.求函数单调区间的步骤: 2.含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论. 1.下列函数中在区间(-1,1)上单调递减的是( A.y=2-3x 3 2 ) B.y=ln x D.y=sin x 2 C.y=x -3x 解析

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