(福建专用)高考数学总复习 (教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考)第七章第4课时 直线与圆、圆


第4课时 直线与圆、圆与圆的位 置关系 教材回扣夯实双基 基础梳理 1.直线与圆的位置关系 位置 关系 公共点 个数 相离 ___ 0 个 相切 1个 相交 ___ 2 个 位置关系 几何特征 (圆心到直 线的距离d, 半径r) 代数特征 (直线与圆 的方程组成 的方程组) 相离 相切 相交 d> r d= r d< r 无实 数解 有两组 有两组 相同实 不同实 数解 数解 思考探究 过一定点的圆的切线有几条? 提示:应首先判断这点与圆的位置关 系,若点在圆上,则该点为切点,切 线只有一条;若点在圆外,切线应有 两条;若点在圆内则没有切线. 2.圆与圆的位置关系 位置关系 公共点 个数 外离 外切 相交 内切 内含 0 ____ 1 2 ___ 1 0 ___ 几何特征 R-r (圆心距d, d>R d=R d=R d<R <d< +r -r -r 两圆半径 +r R+r R,r,R>r) 代数特征 一组 (两个圆的 无实 实数 方程组成 数解 解 的方程组) 两组 实数 解 一组 无实 实数 数解 解 课前热身 1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1 的位置关系是( A.相切 ) B .直线过圆心 C.直线不过圆心但与圆相交 D.相离 答案:B 2.(2012· 宁德质检)圆O1:x2+y2-2x =0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关 系是( A.相离 C.外切 答案:B ) B.相交 D.内切 3.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的 切线方程为( ) A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 答案:D 4.若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没 有公共点,则实数k的取值范围为 ________. 答案:(- 3, 3) 5.(2012· 漳州质检)若直线y=x+b与圆 x2+y2=2相切,则b的值为________. 答案:±2 考点探究讲练互动 考点突破 直线与圆的 位置关系 判断直线与圆的位置关系,常用两种 方法:一是判断直线与圆的方程组成 的方程组有无实数解,根据解的情况 研究直线与圆的位置关系;二是依据 圆心到直线的距离与半径长的关系判 断直线与圆的位置关系. 例1 当a为何值时,直线x+y-2a+1 =0与圆x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0 相切?相离?相交? 【思路分析】 通过圆心到直线的距 离与圆的半径比较大小,判断直线与 圆的位置关系. 【解】 圆的方程可化为(x-a)2+(y+1)2=a, 可知 a>0. 圆心(a,-1)到直线 x+y-2a+1=0 的 |a-1-2a+1| |a| a 距离 d= = = . 2 2 2 a 当 = a, 即 a=2 时, 直线与圆相切; 2 a 当 > a,即 a>2 时,直线与圆相离; 2 a 当 < a, 即 0<a<2 时, 直线与圆相交. 2 【名师点评】 用几何法判定直线与 圆的位置关系的主要步骤是: (1)把圆的方程化为标准形式,求出圆 心和半径r. (2)利用点到直线的距离公式求圆心到 直线的距离d. (3)判断:当d>r时,直线与圆相离; 当d=r时,直线与圆相切;当d<r时, 直线与圆相交. 互动探究 1.其它条件不变,是否存在a,使得 直线平分圆的周长? 解:依题意,圆心在直线上,所以a - 1- 2a+ 1= 0, 解得,a=0,又a>0,故不存在. 圆与圆的 位置关系 (1)判断两圆的位置关系常用几何法,即 用两圆圆心距与两圆半径和与差之间 的关系,一般不采用代数法. (2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线 的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2 项得到. 例2 圆 O1 的方程为:x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切, 求圆 O2 的方程, 并求内公切线的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且 |AB|=2 2,求圆 O2 的方程. 【思路分析】 的关系. 求圆心距d与R+r,R-r 【解】 (1)∵两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2, r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是:(x-2)2+(y-1)2= 4( 2-1)2, 两圆的方程相减,即得两圆内公切线的 方程:x+y+1-2 2=0. (2)设圆 O2 的方程为:(x-2)2+(y-1)2=r2 2, ∵圆 O1 的方程为:x2+(y+1)2=4, 此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程: 2 4x+4y+r2-8=0. 1 作 O1H⊥AB(图略),则|AH|= |AB|= 2, 2 |O1H|= 2,由圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离得 |r2 2-12| 2 = 2,得 r2 = 4 或 r 2 2=20. 4 2 故圆 O2 的方程为: (x-2)2+(y-1)2=4 或 (x-2)2+(y-1)2=20. 【名师点评】 直线方程 两圆的公共弦所在的 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 若两圆相交于A、B两点,则直线AB 的方程可利用作差得到,即(D1-D2)x +(E1-E2)y+F1-F2=0.(*) 说明:方程 (*) 中 D1 - D2 与 E1 - E2 不 同时为 0 ,故方程 (*) 表示一条直线. 而 A 、 B 两点坐标适合两圆方程,当 然也适合方程 (*) .故过 A 、 B 两点的 直线方程为(*). 圆的切线与弦长 (1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上, 则过P(x0,y0)点的切线方程为 x0x+y0y=r2. (2) 过点 P(x0 , y0)

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