辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学文试题含解析


辽宁省沈阳二中 2015 届高三上学期期中考试 数学文试题 【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核心 知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、向量、导数、 简单的线性规划、圆锥曲线,数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等;考查学生解 决实际问题的综合能力,是份较好的试卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 【题文】1.直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是( )

? ? ? 5? ? 5? 5? ? 5? [ , )?( , ] [0, ] ? [ , ? ) [0, ] [ , ] 6 2 2 6 6 6 6 A. B. C. D. 6 6
【知识点】直线的倾斜角与斜率、直线的方程 H1

cos ? 3 3 【答案解析】 B 由直线的方程可知其斜率 k=- 3 ∈[- 3 , 3 ], 设直线的倾斜角为θ ,

? 5? 3 3 则 tanθ ∈[- 3 , 3 ],且θ ∈[0,π ),所以θ ∈[0, 6 ]∪[ 6 ,π ).故选 B
【思路点拨】先求出斜率的取值范围,再求出倾斜角的范围。 【题文】2. 已知集合 M ? {x | x ? x } ,
2

N ? {y | y ?

4x , x? M} 2 ,则 M

N?

(

)

1 1 A.{ x |0< x < 2 } B.{ x | 2 < x <1}

C.{ x |0< x <1}

D.{ x |1< x <2}

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】B 对于集合:M:由 x>x2,解得 0<x<1,∴M={x|0<x<1}.∵0<x<1,∴1

1 4x 1 1 <4x<4∴. 2 < 2 <2.∴N={y| 2 <y<2}.∴M∩ N={x| 2 <x<1}.故选 B.
【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合 M,N.再利用交集的 运算即可得出. 【题文】 3. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .
2 2

B. “ x ? ?1 ” 是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2 2

【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2

-1-

【答案解析】C 命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”.所以,选项 A 不正确; 由 x=-1, 能够得到 x2-5x-6=0. 反之, 由 x2-5x-6=0, 得到 x=-1 或 x=6. 所以, “x=-1”是“x2-5x-6=0” 的充分不必要条件.所以,选项 B 不正确;“若 x=y”,则“sinx=siny”为真命题,所以其逆否命 题也为真命题.所以,选项 C 正确;命题 “ ? x0 ∈ R , x02+x0+1 < 0” 的否定是 “ 对 ? x ∈ R , x2+x+1≥0”.所以,选项 D 不正确.故选 C. 【思路点拨】题目给出的四个命题,A 是写出一个命题的否命题,既要否定条件,又要否定结 论;B 是分析充要条件问题,由 x=-1,一定能得到 x2-5x-6=0,反之,由 x2-5x-6=0,得到的 x 的值还可能是 6;C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假;D 是考查特称命题的否定,特称 命题的否定式全称命题.

a11 ? a13 1 ? 3a1 , a3 , 2 a2 {a } a ? a10 2 【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列 n 中, 成等差数列,则 8
( A. 27 ) B.3 C. ?1 或 3 D.1 或 27

【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3

1 3a1 , a3 , 2a2 2 【答案解析】A ∵ 成等差数列∴3a1+2a2=a3,∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0

a11 ? a13 ? a ? a10 =q3=27 故选 A ∵q>0∴q=3∴ 8
【 思 路 点 拨 】 由 已 知 可 得 , 3a1+2a2=a3 , 结 合 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 求 公 比 q , 而

a11 ? a13 ? a8 ? a10 =q3,代入即可求解.
x2 ? x f (lg ) 2 【 题 文 】 5. 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 (0,1] , 则 函 数 的定义域为
( ) B. [?5,?2) C. [?5,?2] ? [1,4] D. [?5,?2) ? (1,4] A. [?5,4]

【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】D 函数 f ( x) 的定义域(0,1)所以 0< 则 1 ? x ? 4 或 ?5 ? x ? ?2 故选 D. 【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。

lg

x2 ? x x2 ? x 2 ? 1,0< 2 ? 10

cos(x ?
【 ( 题 ) 文 】 6. 已 知

?
6

)??

3 3

cos x ? cos( x ?
, 则

?
3

)?

-2-

2 3 3 A. ?

?
B.

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2

? ? ? ? 3 【答案解析】C ∵cos(x- 6 )=- 3 ,∴cosx+cos(x- 3 )=cosx+cosxcos 3 +sinxsin 3
3 1 ? 3 3 3 = 2 cosx+ 2 sinx= 3 ( 2 cosx+ 2 sinx)= 3 cos(x- 6 )= 3 ×(- 3 )=-1 故选 C.

? ? 【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将 cosx+cos(x- 3 )化为 3 cos(x- 6 )即可.

【题文】 7. 已知 x, y 满足 则 b, c 的值分别为 A. -1,-2 B. -2,-1 【知识点】简单的线性规划问题 E5

记目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 1, 最大值为 7, ( C. 1,2 D. 1,-2 )

? 2 x ? y ? 7 ?2 x ? y ? 1 ? ? x ? y ? 4 和 ? x ? 1 的交点,即经过 【答案解析】A 由题意得知,直线 x+by+c=0 经过 ? ?3 ? b ? c ? 0 ? 1 ? b ? c ? 0 则 b=-1,c=-2. (3,1)和(1,-1)点,所以 ?
【思路点拨】求出直线的交点判断何时取到最值求出 b,c. 【题文】8.已知等比数列 时,

?an ? 满足 an >0, n =1,2,…,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ≥1
( )

log2 a1 ? log2 a2 ???? ? log2 a2n?1 =
A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】C 由等比数列的性质可得 an2=a5?a2n-5=22n,=(2n)2, ∵an>0,∴an=2n,故数列首项 a1=2,公比 q=2, 故 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2a1?a3?…?a2n-1=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2

n(0 ? 2n ? 2) 2 =log22n?2 =log22n+n2-n=log22n2=n2,故答案为 C.
【 思 路 点 拨 】 由 题 意 可 得 an=2n , 可 得 数 列 首 项 a1=2 , 公 比 q=2 , 进 而 可 得 原 式 =log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2,代入由对数的性质化简可得答案.

-3-

1+2sin2x ? π? 【 题 文 】 9. 已 知 x ∈ 0,2 , 且 函 数 f(x) = sin 2x 的 最 小 值 为 b , 若 函 数 g(x) =

?

?

? ?-1? ?4<x<2? ? π? ? ?8x2-6bx+4?0<x≤4?
π π

,则不等式 g(x)≤1 的解集为

(

)

3? ?π B.? , ? 4 2 ? ? 【知识点】三角函数的图象与性质 C3

?π π? A. 4,2 ? ?

C.?

3? ? 3 ,2? 4 ? ?

D.?

? 3 π? , ? ? 4 2?

? 3sin 2 x ? cos 2 x 【答案解析】D ∵x∈(0, 2 ),∴tanx>0.∴f(x)= 2sin x cos x
1 1 1 3tan x ? tan x = = 2 (3tanx+ tan x )≥

? 3 3 .当且仅当 tanx= 3 ,即 x= 6 时取等号.

? ? ? 0? x? 4 ? ? ? ? 3 2 ?8x ? 6 3 ? 4 ? 1 因此 b= 3 .不等式 g(x)≤1?① 4 <x< 2 或② ? ,解②得 4 ≤x≤ 4 .
? ? 3 ? 3 ? 因此不等式 f(x)≤1 的解集为[ 4 , 4 ]∪( 4 , 2 )=[ 4 , 2 ).故选 D.
【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出 f(x)的最小值即 b.再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 【题文】10.设 F1,F2 是双曲线 C: a (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与
C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5,则双曲线的离心率

为( A. 13

) B. 15 C.2 D. 3

【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案解析】 13 由定义可知 由| AB |: | BF2 |: |AF2 |=3:4 : 5 设 ,

AB ? 3, BF2 ? 4, AF2 ? 5

BF1 ? 4 ? 2a, AF1 ? 2a ? 4 ? 3 ? 2a ?1 AF2 ? AF1 ? 2a

【思路点拨】 双曲线定义: 双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于定值

(长轴长) ,

求离心率的值需找关于 的方程 【题文】11.若曲线 f(x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0

-4-

的“自公切线”. 下列方程: ①x2-y2=1; ②y=x2-|x|; ③y=3sin x+4cos x; ④|x|+1= 4-y2 对应的曲线中存在“自公切线”的有 ( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 【知识点】双曲线及其几何性质周期性 B4 H6

1 2 1 ? ( x ? ) ? ? ? 2 4 ? 1 1 ?( x ? ) 2 ? ? 2 4, 【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②y=x2-|x|= ?
1 1 1 在 x= 2 和 x=- 2 处的切线都是 y=- 4 ,故②有自公切线.③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ) ,cosφ= 3 4 5 ,sinφ= 5 ,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都
重合,故此函数有自公切线.④由于|x|+1= 曲线没有自公切线.故答案为 B.

4 ? y2

,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图象可得,此

1 1 【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②在 x= 2 和 x=- 2 处的切线都是 1 y=- 4 ,故②有自公切线.③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最
低点的切线都重合,故此函数有自公切线.④结合图象可得,此曲线没有自公切线. 【题文】12.函数

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c

,在定义域

x ?? ?2, 2?

上表示的曲线过原点,且在

x ? ?1 处的切线斜率均为 ?1 .有以下命题:


f ? x?

是奇函数; ②若

f ? x ? 在? s, t ?

内递减, 则

t ?s

的最大值为 4; ③

f ? x?

的最大值为 M,

?x ???2,2?,k ? f ? ? x ? 最小值为 m,则 M ? m=0 ;④若对 恒成立,则 k 的最大值为 2.其中
正确命题的个数为 ( 1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】B 函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象过原点,可得 c=0; 又 f′ (x)=3x2+2ax+b,且 f(x)在 x=±1 处的切线斜率均为-1, )

?3 ? 2a ? b ? ?1 ? 3 ? 2a ? b ? ?1 ,解得 a=0,b=-4.所以 f(x)=x3-4x,f′ 则有 ? (x)=3x2-4.
①可见 f(x)=x3-4x 是奇函数,因此①正确;x∈[-2,2]时,[f′ (x)]min=-4,则 k≤f'(x)恒

2 3 2 3 2 3 成立,需 k≤-4,因此④错误.②令 f′ (x)=0,得 x=± 3 .所以 f(x)在[- 3 , 3 ]内
-5-

4 3 2 3 16 3 递减,则|t-s|的最大值为 3 ,因此②错误;且 f(x)的极大值为 f(- 3 )= 9 ,极 2 3 16 3 小值为 f( 3 )=- 9 , 16 3 16 3 两端点处 f (-2) =f (2) =0, 所以 f (x) 的最大值为 M= 9 , 最小值为 m=- 9 , 则 M+m=0,
因此③正确.故选 B. 【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数 f(x)过原点,列方程组求出 f(x)的解析式; 然后根据奇函数的定义判断函数 f(x)的奇偶性,且由 f′ (x)的最小值求出 k 的最大值,则 命题①④得出判断;最后令 f′ (x)=0,求出 f(x)的极值点,进而求得 f(x)的单调区间与 最值,则命题②③得出判断. 第Ⅱ卷(90 分) 【题文】二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分. 【题文】 13.. 若函数 在 R 上可导, , 则 0 . 【知识点】定积分与微积分基本定理 B13 【答案解析】-4 ∵f(x)=x3+x2f′ (1) ,∴f′ (x)=3x2+2xf′ (1) ,∴f′ (1)=3+2f′ (1) ,

f ? x?

f ? x ? ? x 3 ? x 2 f ? ?1?

? f ? x ? dx ?

2

∴f′ (1)=-3,∴f(x)=x3-3x2,∴

?0

2

2 1 0 f(x)dx=( 4 x4-x3) =4-8=-4,故答案为:-4.

【思路点拨】先根据导数的运算法则求导,再求出 f′ (1)=-3,再根据定积分的计算法计算即 可. 【题文】14. 若 x ? 0, y ? 0, 且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 的最小值为
2

.

【知识点】函数的单调性与最值 B3

3 【答案解析】 4

1 ∵x,y 为非负数且 x+2y=1,∴x=1-2y≥0,解得 0≤y≤ 2 .

2 2 1 ∴f(y)=2x+3y2=3y2+2(1-2y)=3(y- 3 )2+ 3 ,因此 f(y)在[0, 2 ]上单调递减, 1 1 3 3 ∴当 y= 2 ,x=0 时,函数 f(y)取得最小值,f( 2 )= 4 .故答案为 4 . 1 【思路点拨】x,y 为非负数且 x+2y=1,可得 x=1-2y≥0,解得 0≤y≤ 2 . 2 2 可得 f(y)=2x+3y2=3y2+2(1-2y)=3(y- 3 )2+ 3 ,再利用二次函数的单调性即可得出.

-6-

x2 y2 ? ?1 6 【题文】 15.抛物线 C 的顶点在原点, 焦点 F 与双曲线 3 的右焦点重合, 过点 P (2,0)
且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点, 则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为_______ 【知识点】抛物线及其几何性质 H7

x2 y2 ? ?1 6 【答案解析】11 设抛物线方程为 y2=2px(p>0) ,则∵焦点 F 与双曲线 3 的右焦
p 点重合,∴F(3,0) ,∴ 2 =3,∴p=6,∴抛物线方程为 y2=12x.
设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x-2,代入抛物线方程得 x2-16x+4=0

x1 ? x2 ? p 2 ∴x1+x2=16,∴弦 AB 的中点到抛物线的准线的距离为 =11.故答案为:11.

x2 y2 ? ?1 6 【思路点拨】利用焦点 F 与双曲线 3 的右焦点重合,求出抛物线方程,过点 P(2,
0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x-2,代入抛物线方程,利用韦达定理,结合抛物线的定义, 即可得出结论.

?a 2 ? ab(a ? b) a ?b ? ? 2 ?b ? ab(a ? b) 设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) , " ? " 【题文】16.对于实数 a,b,定义运算 :
x ,x ,x xx x 且关于 x 的方程 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 1 2 3 ,则 1 2 3 的取值范
围是___________ 【知识点】函数与方程 B9

1? 3 【答案解析】( 16 ,0)

∵2x-1≤x-1 时,有 x≤0,

?(2 x ? 1)2 ? (2 x ? 1)( x ? 1), x ? 0 ? 2 x 2 ? x, x ? 0 ? ? 2 2 ( x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1), x ? 0 ? x ? x, x ? 0 ? ∴根据题意得 f(x)= 即 f(x)= ?
画出函数的图象从图象上观察当关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数

1 根时,m 的取值范围是(0, 4 ) ,当-x2+x=m 时,有 x1x2=m,当 2x2-x=m 时,由于直线与抛

1 ? 1 ? 8m 1 ? 1 ? 8m 4 4 物 线 的 交 点 在 y 轴 的 左 边 , 得 到 x3= , ∴ x1x2x3=m ( )=
1 m ? m 1 ? 8m 4 ,m∈(0, 4 )
-7-

4m 1 m ? m 1 ? 8m 4 令 y= ,则 y′ = 4 (1- 1 ? 8m - 1 ? 8m ),又 h(m)=
1 在 m∈(0, 4 )上是增函数,故有 h(m)>h(0)=1

4m 1 ? 8m + 1 ? 8m

4m 1 1 ∴y′ = 4 (1- 1 ? 8m - 1 ? 8m )<0 在 m∈(0, 4 )上成立,
1 m ? m 1 ? 8m 4 ∴函数 y= 在这个区间(0, 4 )上是一个减函数, 1 1? 3 1? 3 ∴函数的值域是(f( 4 ) ,f(0) ) ,即( 16 ,0),故答案为:( 16 ,0)
【思路点拨】根据所给的新定义,写出函数的分段形式的解析式,画出函数的图象,在图象 上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时 m 的取值,根据一元二次方程的根与系 数之间的关系,写出两个根的积和第三个根,表示出三个根之积,根据导数判断出函数的单 调性,求出关于 m 的函数的值域,得到结果. 【题文】三、解答题:本大题共六个大题,满分 70;解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 【题文】17.(本题满分 10 分)

cos ? ?
(1)已知

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ? , ? ? (0, ) 7 14 ,且 2 ,求 cos ? 的值;

??) 2 4 sin ? ? 4 ,求 cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 的值. (2)已知 ? 为第二象限角,且 cos(
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5

?

1 7 【答案解析】 (1) 2 (2) 7

cos ? ?
(1)∵

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ? , ? ? (0, ) 7 14 , 2

4 3 5 3 2 1 ? cos ( ? ? ? ) ∴sinα= 1 ? cos ? = 7 ,sin(α+β)= = 14 ,
2

11 1 5 3 4 3 ∴cosβ=cos*(α+β)-α+=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- 14 × 7 + 14 × 7
49 1 = 14 ? 7 = 2 ;
-8-

2 14 2 (2)∵α 为第二象限角,sinα= 4 ,∴cosα=- 1 ? sin ? = 4 ,
28 ? 2 ? 8 2 2 cos( ? ? ) cos ? ? sin ? 28 ? 2 28 7 4 2 2 2 2 16 ∴ cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 = cos ? ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? 1 = = 7
【思路点拨】 (1)由已知可得 sinα 和 sin(α+β) ,代入 cosβ=cos*(α+β)-α+=cos(α+β)cosα+sin (α+β)sinα,化简可得; (2)由已知可得 cosα 的值,由三角函数的公式化简要求的式子,代 入化简可得. 【题文】18. (本题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

【知识点】解三角形 C8 π 【答案解析】(Ⅰ ) 3 (Ⅱ )4 (Ⅰ )由 3a-2csin A=0 及正弦定理,得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0), 3 π ∴ sin C= 2 ,∵ △ ABC 是锐角三角形,∴ C=3 π π (Ⅱ )∵ c=2,C=3,由余弦定理,a2+b2-2abcos 3=4,即 a2+b2-ab=4

?a+b? ∴ (a+b)2=4+3ab≤4+3· 2 2,即(a+b)2≤16, ? ?
∴ a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”故 a+b 的最大值是 4. 【思路点拨】根据正限定求出角,根据余弦定理和均值不等式求出最大值。 【题文】19. (本题满分 12 分)

3 S n ? (bn ? 1) a ? b , a ? b { a } { b } S 1 5 2 2 设数列 n 是等差数列,数列 n 的前 n 项和 n 满足 且 2
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

{a n } 和 {bn } 的通项公式:

cn ? an ? bn , ,设 Tn 为 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn .

【知识点】 等差数列等比数列数列求和 D2 D3 D4 【答案解析】(1)

an ? 2n ? 1, bn ? 3n . (2) Tn ? 3 ? (n ?1)3n?1

3 3 (1)∵数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= 2 (bn-1) ,∴b1=S1= 2 (b1-1),解得 b1=3. 3 3 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1= 2 (bn-1)- 2 (bn-1-1),化为 bn=3bn-1.
-9-

∴数列{bn}为等比数列,∴bn=3×3n-1=3n.∵a2=b1=3,a5=b2=9. 设等差数列{an}的公差为 d.

? a1 ? d ? 3 ? a ? 4d ? 9 ∴? 1 ,解得 d=2,a1=1.∴an=2n-1.综上可得:an=2n-1,bn=3n.
(2)cn=an?bn=(2n-1)?3n. ∴Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-3)?3n-1+(2n-1)?3n, 3Tn=32+3×33+…+(2n-3)?3n+(2n-1)?3n+1.

2 ? 3(3n ? 1) 3 ?1 ∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)?3n+1= -(2n-1)?3n+1-3
=(2-2n)?3n+1-6.∴Tn=3+(n-1)3n+1. 【思路点拨】 (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)利用“错位相减法”和等 比数列的前 n 项和公式即可得出. 【题文】20.(本题满分 12 分)

1 x y x2 y2 e? ? ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 ,右焦点到直线 a b b 设椭圆 C: a 的离心率 的距离

d?

21 7 ,O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程;

(2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的 距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值。 【知识点】椭圆及其几何性质 H5

x2 y2 4 21 ? ?1 3 7 【答案解析】(1) 4 (2)

e?
: (I)由

1 c 1 x y 21 ? ?1 2 得 a = 2 即 a=2c,∴b= 3 c.由右焦点到直线 a b 的距离为 d= 7 ,

21 x2 y2 ? ?1 2 2 3 得 a ? b = 7 ,解得 a=2,b= 3 .所以椭圆 C 的方程为 4
(2)设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,当直线 AB 的斜率不存在时, x2 ? ? x1 , y1 ? y2 ,? y1 ? y2 ,又
2 2

bc ? ab

12 2 21 x12 y12 2 21 x1 ? ? ? ?1 d? 7 7 ,即 O 到直线 AB 的距离 4 3 7 ,当直线的斜率 ,解得
x2 y2 ? ?1 3 存 在 时 , 直 线 AB 的 方 程 为 y=kx+m, 与 椭 圆 4 联 立 消 去 y 得

3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2km ? m2 ) ? 12 ? 0



- 10 -

? x1 ? x 2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? OA ? OB

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

, 即

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0
2

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? (k ? 1) ? ? m2 ? 0 2 2 (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 3 ? 4k 3 ? 4k ,整理得

7m 2 ? 12(k 2 ? 1)
d? m 1? k 2 ?

?

O





线

AB







12 2 21 ? 7 7 ? OA ? OB ? OA2 ? OB 2 ? AB2 ? 2OA ? OB 当且仅当
d ? AB ? OA ? OB ? AB 2 4 21 ? AB ? 2d ? 2 , 7 即

OA=OB 时取“=”有 d ? AB ? OA ? OB 得

4 21 弦 AB 的长度的最小值是 7
【思路点拨】 (I)利用离心率求得 a 和 c 的关系式,同时利用点到直线的距离求得 a,b 和 c 的关系最后联立才求得 a 和 b,则椭圆的方程可得. (II)设出 A,B 和直线 AB 的方程与椭圆方程联立消去 y,利用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2, 利用 OA⊥OB 推断出 x1x2+y1y2=0, 求得 m 和 k 的关系式,进而利用点到直线的距离求得 O 到直线 AB 的距离为定值,进而利用

AB 2 基本不等式求得 OA=OB 时 AB 长度最小,最后根据 d?AB=OA?OB≤ 2 求得 AB 的坐标值.
【题文】21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x(a, b ? R) ,在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0.
3 2

(1)求函数 f(x)解析式; (2)若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量 x1 , x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? c

,求实数 c 的最小

值; (3)若过点 M(2,m)(m ? 2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围; 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 (1) f ( x) ? x ? 3x (2)4(3)-6<m<2
3

? f (1) ? ?2 ? a ? b ? 3 ? ?2 ? ? ?(1) ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0 ? f f ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? 3 ? (1)由已知得 ,根据题意,得 即 解得
2

?a ? 1 ? 3 ?b ? 0 ? f ( x) ? x ? 3x

- 11 -

? ? ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ? f ( x) ? x ? 3x 则 f ( x) ? 3x ? 3 令 f ( x) ? 0, x ? ?1 又
3 2

f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-2,f(2)=2, (3) 设 切 点 为 (
2 3x0 ?3 ?

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) max ? f ( x) min ? 4 ?c ? 4

3 2 2 x0 , y 0 ) , 则 y0 ? x0 ? 3x0 ? f ?( x) ? 3x0 ? 3 切 线 的 斜 率 为 3x 0 ?3 则有

3 x0 ? 3x0 ? m 2 2x 3 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 过点 M(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线, x0 ? 2 ,即 0

方程

3 2 3 2 g ( x) ? 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m 有三个不同的零 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解,

? g (0) ? 0 ? ? ?6 ? m ? 2 ? 2 ? ? g (2) ? 0 点, g ( x) ? 6 x ? 12x 令 g ( x) ? 0 解得 x=0,x=2, ?
【思路点拨】根据导数的几何意义求出解析式,利用单调性求出最值。 【题文】22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b ( a, b 均为正常数) ,设函数 f ( x) 在

x?

?
3 处有极值.

x ? [0, ] 2 ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 总成立,求实数 b 的取值范围; (1)若对任意的
(2)若函数 f ( x) 在区间

?

(

m ? 1 2m ? 1 ?, ?) 3 3 上单调递增,求实数 m 的取值范围.

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 (1) b ? 1 (2) 0 ? m ? 1

f '( ) ? 0 f ( x ) ? a sin x ? x ? b f ( x ) ? a cos x ? 1 3 ∵ ,∴ ,由题意,得 ,解得 a ? 2 .
'

?

( 1 )不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 等价于 b ? x ? cos x ? six 对于一切

x ? [0, ] 2 恒成立 . 记 )

?

g ( x) ? x ? cos x ? sin x ,则

g ' ( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ?

?
4

? ? ? 3? ? x ? [0, ] x ? ?[ , ] 1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 2 ,∴ 4 4 4 ,∴ 4 ∵ ,
[0, ] 2 上是减函数. ∴ g ( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在
'

?



g ( x) max ? g (0) ? 1

,于是 b ? 1 .
- 12 -

(2) f ( x) ? 2 cos x ? 1 ,由
'

f ' ( x) ?

1 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z 2 ,得,即 3 3 .

∵函数 f ( x) 在区间

(

m ? 1 2m ? 1 ?, ?) 3 3 上单调递增,

m ? 1 2m ? 1 ? ? ?, ? ) ? [? ? 2k? , ? 2k? ] 3 3 3 3 ∴ , (

? ?m ?1 ? 3 ? ? ? 3 ? 2k? ? ? ? 2m ? 1 ? ? ? 2k? ? 3 ? 3 ?6k ? m ? 3k ? 1, k ? Z 2m ? 1 ?m ?1 ? ? ? , k ? Z ? ? m?0 3 则有 ? 3 ,即 ? ,
∴ k ? 0 时, 0 ? m ? 1 【思路点拨】根据函数的单调性求出最值求出 b 的范围,求出单调区间求出 m 的范围。

- 13 -


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