2015-2016学年高中数学 3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5_图文


3.3.2 简单的线性规划问题

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1.了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性 目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.

2.掌握线性规划问题的图解法,会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值.
3.训练数形结合、化归等数学思想,培养和发展数 学应用意识.

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题型1 求线性目标函数的最值
? ?2x-y+2≥0, 例 1 已知实数 x,y 满足不等式组: ? ?2x+3y-6≤0. ?

(1)求 w=x+2y 的最大值; (2)求 z=x-y 的最小值.

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分析: 由于所给的约束条件及目标函数均为关于 x, y 的一次式, 所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解.

解析:作出不等式组表示的平面区域(即可行域). 1 w 1 (1)将 w=x+2y 变形为 y=- x+ ,得到斜率为- ,在 y 轴上 2 2 2 w 1 截距为 的一簇随 w 变化的平行直线,作过原点的直线 y=- x,由 2 2
栏 w 目 图 1 可知,当平移此直线过点(0,2)时,直线在 y 轴上的截距 最大, 链 2 接

最大值为 2,∴w=x+2y 的最大值为 4.也可把(0,2)代入求得 wmax =0+2×2=4.

(2)将 z=x-y 变形为 y=x-z,得到斜率为 1,在 y 轴上截距 为-z 的一簇随 z 变化的平行直线,作过原点的直线 y=x,由图 2 可知,当平移此直线过点(0,2)时,直线在 y 轴上的截距-z 最大, 最大值为 2,∴z 最小,最小值为-2, ∴z=x-y 的最小值为-2.也可把(0,2)代入求得 zmin=0-2=-2.
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点评:求目标函数最值的一般步骤是:①画:在直角坐标平面上 画出可行域和直线 ax+by=0(目标函数为 z=ax+by);②移:平行栏
目 链 移动直线 ax+by=0,确定使 z=ax+by 取得最大值或最小值的点; 接

③求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最 小值;④答:给出正确答案.

x-4y≤-3, ? ? 1.设 z=2x+y,式中变量 x,y 满足条件?3x+5y≤25, ? ?x≥1. 求 z 的最大值和最小值.
栏 解析:作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如下图所示. 目 链 接

把 z=2x+y 变形为 y=-2x+z,得到斜率为-2,在 y 轴上的 截距为 z,随 z 变化的一簇平行直线. 由图可以看出,当直线 z=2x+y 经过可行域上的点 A 时,截距 z 最大,经过点 B 时,截距 z 最小.
? ?x-4y+3=0, 解方程组? 得 A 点坐标为(5,2). ? ?3x+5y-25=0, ? ?x=1, 解方程组? 得 B 点坐标为(1,1), ? ?x-4y+3=0,
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所以 zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3.

题型2 求非线性目标函数的最值
x-y+2≥0, ? ? 已知?x+y-4≥0, 求: ? ?2x-y-5≤0, 2y+1 (1)z=x +y -10y+25 的最小值;(2)z= 的范围. x+1
2 2

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点评:由题目可获得以下主要信息:在约束条件下, 2y+1 ①求 z=x +y -10y+25=x +(y-5) 的最小值; ②求 z= x+1
2 2 2 2

=2· 的取值范围. 解答本题可先将目标函数变形找到它的 x-(-1) 几何意义,再利用解析几何知识求最值.

? 1? y-?-2? ? ?

解析:作出可行域,如图 A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到达点 M(0,5)的 距离的平方,过 M(0,5)的距离的平方,过 M 作 AC 的垂线,易知 垂足 N 在 AC 上,故 |0-5+2| 3 3 2 MN= = = . 2 2 2 1+(-1)
?3 2?2 9 9 ? ? MN = = ,故 z 的最小值为 . 2 ? 2 ? 2
2

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? 1? (2)z=2· 表示可行域内点(x,y)与定点 Q?-1,-2? x-(-1) ? ?

? 1? y-?-2? ? ?

连线斜率的 2 倍,
?3 7? 7 3 ∵kQA= ,kQB= ,故 z 的范围是?4,2?. 4 8 ? ?

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点评:(1)对形如 z=(x-a)2+(y-b)2 型的目标函数,均可化为求 可行域内的点(x,y)与点(a,b)间的距离的最值问题. ay+b (2) 对形如 z = (ac≠0) 型的目标函数,可先变形为 z = cx+d
? b? y-?-a ? ? d b? a ? ? ? · ? ?的形式,将问题化为求可行域内的点(x,y)与 - c ,-a? c d ? ? ? ? - x- c ? ?
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a 连线斜率的 倍的范围、最值等. c

y≥0, ? ? y-1 2.实数 x,y 满足不等式组?x-y≥0, 则 W= 的取值 x+1 ? ?2x-y-2≥0, 范围是( )
? 1 1? B.?-2,3? ? ? ? 1 ? D.?-2,1? ? ?
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? 1? A.?-1,3? ? ? ? 1 ? C.?-2,+∞? ? ?

解析:利用数形结合思想,把所求问题转化为动点 P(x,y)与定 点 A(-1,1)连线的斜率问题,画出题中不等式组所表示的可行域如 y-1 图所示,目标函数 W= 表示阴影部分的点与定点 A(-1,1)的连 x+1 线的斜率,由图可知点(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最 1 大值趋近于 1,但永远达不到 1,故- ≤W<1. 2 答案:D

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题型3 线性规划的应用题
例 3 某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件收入分别为 3 千 元,2 千元.甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A, B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1 工时、2 工时,加工一件乙产 品所需工时分别为 2 工时、1 工时,A,B 两种设备每月有效使用台 时数分别为 400 和 500.如何安排生产可使收入最大? 解析:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y 件, x+2y≤400, ? ? 约束条件是?2x+y≤500,目标函数是 ? ?x≥0,y≥0, 的 x,y,使 z=3x+2y 取得最大值. 如下图作出可行域.
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z=3x+2y,要求出适当

3 a 设 3x+2y=a,a 是参数,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为 2 2 3 - ,随 a 变化的一簇直线.当直线与可行域相交且截距最大时,目 2 标函数 z 取得最大值.
? ?x+2y=400, ? ?x=200, 由? 得? 因此,甲、乙两种产品的每月产 ? ? ?2x+y=500 ?y=100,

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品分别为 200,100 件时,可得最大收入 800 千元.

点评:对于线性规划中的最优整数解问题,当解方程得到的解不 是整数解时,常用下面的一些方法求解. (1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线 l, 最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解. (2)检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐 一代入目标函数求值,经过比较得出最优解. (3)调整优值法:先求非整点最优解,再借助于不定方程知识调 整最优值,最后筛选出整点最优解.
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3.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3 千 元、2 千元.甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A, B 上加工一件甲所需工时分别为 1 工时、2 工时,加工一件乙所需工 时分别为 2 工时、1 工时,A,B 两种设备每月有效使用台时数为 a(400≤a≤500).求生产收入最大值的范围. 解析: 设甲、乙两种产品的月产量分别为 x,y 件,
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? ?2x+y≤a, 则约束条件是? x≥0, ? ?y≥0,
x+2y≤a,

目标函数是 z=3x+2y.

由约束条件画出可行域,如图所示.

3 z 3 将 z=3x+2y 变形为 y=- x+ , 这是斜率为- ,随 z 变化 2 2 2 z z 的一簇直线. 是直线在 y 轴上的截距,当 最大时 z 最大,当直线与 2 2 可行域相交,即在满足约束条件时目标函数取得最大值.
? ?x+2y=a, 由? 解得 ? ?2x+y=a

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? ? a ?y=3.

a x= , 3

使 z=3x+2y 取得最大值的(x,y)是两直线 2x+y=a 与 x+2y
?a a? =a 的交点?3,3?. ? ?

a a 5 ∴z=3× +2× = a, 3 3 3 2 000 2 500 又∵400≤a≤500,∴ ≤z≤ . 3 3
?2 000 2 500? 所以月生产收入最大值的范围是? 3 , 3 ?. ? ?

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