哈巴河县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析


哈巴河县第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 满足下列条件的函数 f ( x) 中, f ( x) 为偶函数的是( A. f (e ) ?| x |
x

座号_____

姓名__________

2

分数__________

B. f (e ) ? e
x

2x

C. f (ln x) ? ln x

D. f (ln x) ? x ?

1 x

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力. 2. 在数列 {an } 中, a1 ? 15 , 3an ?1 ? 3an ? 2( n ? N ) ,则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是
*



) B. a22 和 a23 C. a23 和 a24 在 D. a24 和 a25 ) 方向上的投影为(

A. a21 和 a22

3. 已知点 A(0,1),B(﹣2,3)C(﹣1,2),D(1,5),则向量 A. B.﹣ C. D.﹣

4. 执行下面的程序框图,若输入 x ? ?2016 ,则输出的结果为( A.2015 B.2016

) C.2116 D.2048

5. 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AA1 ? 平面 ABC,AA1 =2,BC ? 2 3, ?BAC ? 柱各个顶点都在一个球面上,则球的体积为( A. ) C. )

?
2

,此三棱

32? 3

B. 16?

25? 3

D.

31? 2

6. 抛物线 y=﹣x2 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是(

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A.

B.

C.

D.3

  ???? ? ??? ? ??? ? 7. 若等边三角形 ABC 的边长为 2, N 为 AB 的中点,且 AB 上一点 M 满足 CM ? xCA ? yCB , 则当 A.6 8.

???? ? ???? 1 4 ? 取最小值时, CM ? CN ? ( x y
B.5 )

) C.4 D.3

下列命题正确的是(

A.很小的实数可以构成集合. B.集合 ? y | y ? x 2 ? 1? 与集合 ?? x, y ? | y ? x 2 ? 1? 是同一个集合. C.自然数集 N 中最小的数是. D.空集是任何集合的子集.
9 . 如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( A.4 ) B.8 C.12 D.20

【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力. 10.已知函数 f(x)= A. B. C.﹣2 D.3 ) ,则 的值为( )

11.经过点 M ?1,1? 且在两轴上截距相等的直线是( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 1 或 y ? 1

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0

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12.实数 x,y 满足不等式组

,则下列点中不能使 u=2x+y 取得最大值的是(



A.(1,1) B.(0,3) C.( ,2) D.( ,0)  

二、填空题

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 13 .设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? ( a ? 1) x ? 3( a ? 1) y 的最小值是 ?20 ,则实数 a ? ? x ? y ?1 ? 0 ?
______. 【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力. 14.已知 f(x+1)=f(x﹣1),f(x)=f(2﹣x),方程 f(x)=0 在[0,1]内只有一个根 x= ,则 f(x)=0 在区 间[0,2016]内根的个数  . 15. B、 C、 D 四点, 在半径为 2 的球面上有 A、 若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为      .   16.i 是虚数单位,化简: =  .

17.在直角梯形 ABCD, AB ? AD, DC/ / AB, AD ? DC ? 1, AB ? 2, E, F 分别为 AB, AC 的中点, 点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DE 上变动(如图所示).若 AP ? ? ED ? ? AF ,其中 ? , ? ? R , 则 2? ? ? 的取值范围是___________.

??? ?

??? ?

??? ?

18.甲、乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一 个红球的概率为 .

三、解答题
19.某校举办学生综合素质大赛,对该校学生进行综合素质测试,学校对测试成绩(10 分制)大于或等于 7.5 的学生颁发荣誉证书,现从 A 和 B 两班中各随机抽 5 名学生进行抽查,其成绩记录如下:

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A B

7.5 9 9.5 8.5 8.5 y 由于表格被污损,数据 x,y 看不清,统计人员只记得 x<y,且 A 和 B 两班被抽查的 5 名学生成绩的平均值 相等,方差也相等. (Ⅰ)若从 B 班被抽查的 5 名学生中任抽取 2 名学生,求被抽取 2 学生成绩都颁发了荣誉证书的概率; (Ⅱ)从被抽查的 10 名任取 3 名,X 表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数,求 X 的期望.  

7 6

7 x

20.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

(不等式选做题)设 (几何证明选做题)如图, 若 ,则

,且 中, ,以

,则

的最小值为 于点 ,

为直径的半圆分别交

21.由四个不同的数字 1,2,4,x 组成无重复数字的三位数. (1)若 x=5,其中能被 5 整除的共有多少个? (2)若 x=9,其中能被 3 整除的共有多少个? (3)若 x=0,其中的偶数共有多少个? (4)若所有这些三位数的各位数字之和是 252,求 x.

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22.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 . (I)若 ?x0 ? R ,使得不等式 f ( x 0 ) ? m 成立,求实数 m 的最小值 M ; (Ⅱ)在(I)的条件下,若正数 a, b 满足 3a ? b ? M ,证明:

3 1 ? ? 3. b a

23.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 绕 AB 边所在直线旋转一定的角度(小于 180°)到 ABEF 的位置. (Ⅰ)求证:CE∥平面 ADF; (Ⅱ)若 K 为线段 BE 上异于 B,E 的点,CE=2 求 BK 的取值范围. .设直线 AK 与平面 BDF 所成角为 φ,当 30°≤φ≤45°时,

 

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24.已知奇函数 f(x)= (Ⅰ)求 c 的值;

(c∈R).

(Ⅱ)当 x∈[2,+∞)时,求 f(x)的最小值.  

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哈巴河县第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D. 【 解 析 】

2. 【答案】C 【解析】

考 点:等差数列的通项公式. 3. 【答案】D 【解析】解:∵ ∴ 在 方向上的投影为 = ; = .

故选 D. 【点评】考查由点的坐标求向量的坐标,一个向量在另一个向量方向上的投影的定义,向量夹角的余弦的计算 公式,数量积的坐标运算.   4. 【答案】D 【解析】 试题分析:由于 ?2016 ? 0 ,由程序框图可得对循环进行加运算,可以得到 x ? 2 ,从而可得 y ? 1 ,由于

2015 ? 1 ,则进行 y ? 2 y 循环,最终可得输出结果为 2048 .1
考点:程序框图.

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5. 【答案】A 【解析】

考点:组合体的结构特征;球的体积公式. 【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算,其中解答中涉及到三棱柱的线面位置 关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力,以及推理与运算能力和学生的空间想象能力,试题有一定的难度,属于中档试题. 6. 【答案】A 【解析】解:由 △=(﹣4)2﹣4×3×8=﹣80<0. 所以直线 4x+3y﹣8=0 与抛物线 y=﹣x2 无交点. 设与直线 4x+3y﹣8=0 平行的直线为 4x+3y+m=0 联立 ,得 3x2﹣4x﹣m=0. ,得 3x2﹣4x+8=0.

由△=(﹣4)2﹣4×3(﹣m)=16+12m=0, 得 m=﹣ .

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所以与直线 4x+3y﹣8=0 平行且与抛物线 y=﹣x2 相切的直线方程为 4x+3y﹣ =0. 所以抛物线 y=﹣x2 上的一点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值是 故选:A. 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了两条平行线间的距离公式,是 中档题.   7. 【答案】D 【解析】 试题分析:由题知 BM ? CM ? CB ? xCA ? ( y ? 1)CB , BA ? CA ? CB ;设 BM ? k BA ,则 = .

???? ?

???? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

???? ?

??? ?

1 4 1 4 ?1 4? 4x y x ? k , y ? 1 ? ?k ,可得 x ? y ? 1 ,当 ? 取最小值时, ? ? ? ? ? ? x ? y ? ? 5 ? ? ,最小值在 x y x y ?x y? y x ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? y 4x 2 1 ? CA ? CB 代入,则 时取到,此时 y ? , x ? ,将 CM ? xCA ? yCB, CN ? x y 3 3 2 ???? ? ???? 1 ??? ? 2 1 ??? ? 2 x ? y ??? ? ??? ? ?1 2? CM ? CN ? xCA ? yCB ? CA ? CB ? 3 ? x ? y ? ? 3 ? ? ? ? 3 .故本题答案选 D. 2 2 2 ?3 3?

?

?

考点:1.向量的线性运算;2.基本不等式. 8. 【答案】D 【解析】 试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念. 9. 【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥,且底面为长 6 ,宽 2 的矩形,高为 3 ,所以此四棱锥体积为

1 ? 12 ? 3 ? 12 ,故选 C. 3
10.【答案】A 【解析】解:∵函数 f(x)= ∴f( )= =﹣2, =f(﹣2)=3﹣2= . 故选:A.
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  11.【答案】D 【解析】

考 点:直线的方程. 12.【答案】 D 【解析】解:由题意作出其平面区域, 将 u=2x+y 化为 y=﹣2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距, 故由图象可知, 使 u=2x+y 取得最大值的点在直线 y=3﹣2x 上且在阴影区域内, 故(1,1),(0,3),( 而点( 故选 D. ,2)成立,

,0)在直线 y=3﹣2x 上但不在阴影区域内,

故不成立;

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【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意点在阴影区域内;属于中档题.  

二、填空题
13.【答案】 ?2 【 解 析 】

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14.【答案】 2016 . 【解析】解:∵f(x)=f(2﹣x), ∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称,即 f(1﹣x)=f(1+x). ∵f(x+1)=f(x﹣1),∴f(x+2)=f(x), 即函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, ∵方程 f(x)=0 在[0,1]内只有一个根 x= , ∴由对称性得,f( )=f( )=0, ∴函数 f(x)在一个周期[0,2]上有 2 个零点, 即函数 f(x)在每两个整数之间都有一个零点, ∴f(x)=0 在区间[0,2016]内根的个数为 2016, 故答案为:2016.   15.【答案】   .

【解析】解:过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P, 设点 P 到 CD 的距离为 h, 则有 V= ×2×h× ×2, 当球的直径通过 AB 与 CD 的中点时,h 最大为 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 . ,

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故答案为:



【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识,考查运算求解能力,考查空间 想象力.属于基础题.   16.【答案】 ﹣1+2i . 【解析】解: 故答案为:﹣1+2i.   17.【答案】 ? ?1,1? 【解析】 =

考 点:向量运算. 【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量 积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到 化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直 问题转化为向量的数量积来解决.

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18.【答案】 【

8 9
解 析 】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法:(1)树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较 复杂问题中基本事件数的探求.另外在确定基本事件时, ( x, y ) 可以看成是有序的,如 ?1, 2 ? 与 ? 2,1? 不同;有 时也可以看成是无序的,如 (1,2)(2,1) 相同.(2)含有“至多” 、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比 较困难或者比较繁琐时,考虑其反面,即对立事件,应用 P ( A) ? 1 ? P ( A) 求解较好.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵ = (6+x+8.5+8.5+y), ∵ ∵ = ∵ ,得(x﹣8)2+(y﹣8)2=1,② 或 , ,∴x+y=17,① , , (7+7+7.5+9+9.5)=8,

由①②解得

∵x<y,∴x=8,y=9, 记“2 名学生都颁发了荣誉证书”为事件 C,则事件 C 包含 共有 ∴P(C)= 个基本事件, , 个基本事件,

即 2 名学生颁发了荣誉证书的概率为 . (Ⅱ)由题意知 X 所有可能的取值为 0,1,2,3,

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P(X=0)= P(X=1)=

=

, = ,

P(X=2)=

=



P(X=3)= EX=

=

, = .

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的方差的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意平均 值和方差的计算和应用.   20.【答案】 【解析】A

B

21.【答案】   【解析】 【专题】计算题;排列组合. 【分析】(1)若 x=5,根据题意,要求的三位数能被 5 整除,则 5 必须在末尾,在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,由排列数公式计算可得答案; (2)若 x=9,根据题意,要求的三位数能被 3 整除,则这三个数字为 1、2、9 或 2、4、9,分“取出的三个数 字为 1、2、9”与“取出的三个数字为 2、4、9”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案; (3)若 x=0,根据题意,要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为 0 或 2 或 4,分“末位是 0”与“末 位是 2 或 4”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案; (4)分析易得 x=0 时不能满足题意,进而讨论 x≠0 时,先求出 4 个数字可以组成无重复三位数的个数,进而 可以计算出每个数字用了 18 次,则有 252=18×(1+2+4+x),解可得 x 的值. 【解答】解:(1)若 x=5,则四个数字为 1,2,4,5;
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又由要求的三位数能被 5 整除,则 5 必须在末尾, 在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,有 A32=6 种情况, 即能被 5 整除的三位数共有 6 个; (2)若 x=9,则四个数字为 1,2,4,9; 又由要求的三位数能被 3 整除,则这三个数字为 1、2、9 或 2、4、9, 取出的三个数字为 1、2、9 时,有 A33=6 种情况, 取出的三个数字为 2、4、9 时,有 A33=6 种情况, 则此时一共有 6+6=12 个能被 3 整除的三位数; (3)若 x=0,则四个数字为 1,2,4,0; 又由要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为 0 或 2 或 4, 当末位是 0 时,在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,有 A32=6 种情况, 当末位是 2 或 4 时,有 A21×A21×A21=8 种情况, 此时三位偶数一共有 6+8=14 个, (4)若 x=0,可以组成 C31×C31×C21=3×3×2=18 个三位数,即 1、2、4、0 四个数字最多出现 18 次, 则所有这些三位数的各位数字之和最大为(1+2+4)×18=126,不合题意, 故 x=0 不成立; 当 x≠0 时,可以组成无重复三位数共有 C41×C31×C21=4×3×2=24 种,共用了 24×3=72 个数字, 则每个数字用了 =18 次,

则有 252=18×(1+2+4+x),解可得 x=7. 【点评】本题考查排列知识,解题的关键是正确分类,合理运用排列知识求解,第(4)问注意分 x 为 0 与否 两种情况讨论. 22.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识,意在考查转化思想和基本运算能 力.

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23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:正方形 ABCD 中,CD ∴EF BA,正方形 ABEF 中,EF BA.…

CD,∴四边形 EFDC 为平行四边形,∴CE∥DF.… ,∴CE2=BC2+BE2.

又 DF?平面 ADF,CE?平面 ADF,∴CE∥平面 ADF. … (Ⅱ)解:∵BE=BC=2,CE= ∴△BCE 为直角三角形,BE⊥BC,… 又 BE⊥BA,BC∩BA=B,BC、BA?平面 ABCD,∴BE⊥平面 ABCD. … 以 B 为原点, 、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0) =(2,2,0), =(0,2,2). ,F(0,2,2),A(0,2,0),

设 K(0,0,m),平面 BDF 的一个法向量为 =(x,y,z). 由 又 , ,得 可取 =(1,﹣1,1),… = ,

=(0,﹣2,m),于是 sinφ=

∵30°≤φ≤45°,∴ 结合 0<m<2,解得 0

,即

… ].…

,即 BK 的取值范围为(0,4﹣

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【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能 力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.   24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x), ∴ =﹣ = ,

比较系数得:c=﹣c,∴c=0, ∴f(x)= =x+ ; ,

(Ⅱ)∵f(x)=x+ ,∴f′(x)=1﹣ 当 x∈[2,+∞)时,1﹣ >0,

∴函数 f(x)在[2,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(2)= . 【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,考查了函数的单调性、最值问题,是一道中档题.  

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