安徽省阜阳三中2014-2015高考数学二轮复习 概率 5离散型随机变量的分布列和期望学案 理


二轮复习专题 §5
【学习目标】

概率

离散型随机变量的分布列和期望

理解取有限个值的离散型随机变量均值、 方差的概念, 能计算简单离散型随机变量的均值、 方差,并能解决一些实际问题. 【学法指导】 1.先认真阅读教材和一轮复习笔记,处理好知识网络构建,构建知识体系,形成系统的认识; 2.限时 30 分钟独立、规范完成探究部分,并总结规律方法; 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑; 【高考方向】 能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题。 【课前预习】 : 一、知识网络构建 如何理解离散型随机变量的分布列和期望? 二、高考真题再现 1、品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出 n 瓶外观相同 但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之 后,再让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试。根据一轮测试中 的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设 n ? 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时 被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号,并令

X ? 1? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 , (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。

三、基本概念检测 1、计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水 年入流量 .... X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上,其 中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 有 1 年的年入流量超过 120 的概率. .. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限 制,并有如下关系: 年入流量 X 40<X<80 80≤X≤120 X>120 发电机最多 1 2 3
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可运行台数 若某台发电机运行, 则该台年利润为 5000 万元; 若某台发电机未运行, 则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

2、某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学 学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选 取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

【课中研讨】 例 1、 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 可以获得 2 分;方案乙的中奖率为

2 ,中将 3

2 ,中将可以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽 5

奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖 , 小红选择方案乙抽奖 ,记他们的累计得分为 X , Y ,求 X ? 3 的概 率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖 ,问:他们选择何种方案抽奖 ,累计的得 分的数学期望较大?

例 2、现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味 性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的 分布列与数学期望 E? .
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例 3、 乒乓球台面被网分隔成甲、 乙两部分, 如图 1?4 所示, 甲上有两个不相交的区域 A, B,乙被划分为两个不相交的区域 C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回 球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情况记 0 分.对落点在 A 上 1 1 的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的来球, 2 3 1 3 小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A,B 上各一 5 5 次,小明的两次回球互不影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望.

图 1?4

【课后巩固】 1、设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分. (1)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变 量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等 )1 个球,记随机变量 ? 为取出此球所得分数 .若

5 5 E? ? , D? ? ,求 a : b : c. 3 9

2、购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年 度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为
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1 ? 0.99910 .
(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小 于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) .

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【反思与疑惑】 :请同学们将其集中在典型题集中。

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