2012届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数第6章第38讲不等式的解法_图文


第38讲

解一元二次不等式(组)
【例1】 解不等式-5<-x2+3x-1<1.

【解析】原不等式组与不等式组 ?x2 ? 3x ? 1 ? 1 同解. ? 2 ?x ? 3x ? 1 ? 5 ? ? x ? 1 ?? x ? 2 ? ? 0 将它化为? , ? ? x ? 4 ?? x ? 1 ? ? 0 ? x ? 2或 x ? 1 所以? , ?1 ? x ? 4 解 得 2 ? x ? 4 或 - 1 ? x ? 1. 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 { x | 2 ? x ? 4 或 - 1 ? x ? 1}.

解一元二次不等式的方法是:先解出相 应的一元二次方程的两根a、b(a<b),然后根 据不等号方向确定是取 a<x<b,还是取x>b或 x<a. 注意到本题的二次项前面的系数不是正 的,所以必须每一项都要变号,并且不等号 方向也要改变.另外,像本题这种类型的不 等式一般是转化为不等式组来解.最后,别 忘了写成集合的形式.

【变式练 习 1 】 ? x2 ? 3x ? 4 ? 0 ? 解不 等 式 组 ? x ? 3 . ?2 ? ? x ?1
【 解 析 】 由 x 2- 3 x+ 4 ? 0, 解 得 x ? R . x?3 ?x ? 5 由 ? 2, 得 ? 0, x ?1 x ?1 ? ? x ? 5 ?? x ? 1 ? ? 0 则? , 解 得 1 ? x ? 5. ?x ?1 ? 0 故 不 等 式 组 的 解 集 为 { x | 1 ? x ? 5}.

求参数的取值范围
【例2】 已知不等式(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+ 3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的 取值范围.

2 【解析】 1 若 a ? ? +4a-5=0,即a=1或a=-5.

当a=1时,原不等式化为3 ? 0, 该不等式对一切实数x恒成立; 当a=-5时,原不等式化为24 x+3 ? 0, 该不等式对一切实数x不恒成立. 所以a=1符合题意.

2 2 若 a + 4 a- 5 ? 0, 依 题 意 有 ? ?

?a2 ? 4a ? 5 ? 0 ? 2 2 ? ? 1 6 ( a ? 1) ? 1 2 ( a ? 4a ? 5) ? 0 ? ? ( a ? 5 ) ( a ? 1) ? 0 即 ? , ? ( a ? 1) ( a ? 1 9 ) ? 0 ? a ? 1或 a ? 5 所以 ? , 所 以1 ? a ? 19. ?1 ? a ? 1 9

综 上 所 述 , 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ? 1, 1 9 ? .

本题是由不等式恒成立求参数的取值范 围问题.因二次项前面的系数含有字母,故 首先需讨论.当 a2 + 4a - 5 = 0 时,求出 a 的 两个值未必满足题目要求,所以要验证;当 a2 + 4a - 5≠0 时,将左边视为一个二次函数, 其图象是抛物线,要使不等式恒成立,必须 满足两个条件:①开口向上,②与 x 轴无交 点,这样就将问题转化为解一元二次不等式 组,从而使问题得到解决.

【变式练习2】 对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4 -2a的值恒大于零,求x的取值范围.
【解析】f ? x ?=( x-2) a+x 2-4 x+4. 令g ? a ?=( x-2) a+x 2-4 x+4.因为对任意a ? [-1,1], 函数f ? x ?=x 2+(a-4) x+4-2a的值恒大于零, 所以g ? a ?=( x-2) a+x 2-4 x+4 ? 0在[-1,1]上恒成立. ? g ( ?1) ? x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 而g ? a ? 是一次函数,所以 ? , 2 ? g (1) ? x ? 3 x ? 2 ? 0 解得x ? 1或x ? 3.所以x的取值范围是{ x | x ? 1或x ? 3}.

解含参数的不等式
【例3】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.

【 解 析 】? 1 ? 若 a = 0 , 则 不 等 式 变 为 - x + 1 < 0 , 即 解 集 为 { x | x > 1}.

?2?若 a

? 0 , 则 不 等 式 可 变 为 ( a x - 1) ( x - 1) < 0 ,

1 对 应 方 程 的 两 个 根 分 别 为 x 1= 1 , x 2= . a ⅰ ( ) 若 a > 0 且 x 1< x 2 , 即 0 < a < 1 时 , 原 不 等 式 的 1 解 集 为 { x | 1 < x < }. a ( ⅲ ) 若 a > 0 且 x 1> x 2, 即 a > 1 时 , 原 不 等 式 的 解 1 集 为{x| <x<1}. a

( ⅳ ) 若 a < 0 , 显 然 有 x 1> x 2, 则 原 不 等 式 的 1 解 集 为 { x | x ? 1或 x ? } . a 综上所述,原不等式的解集为 1 当 a < 0 时 ,- ( ? , ) (1, + ? ); a 1 当 a= 0 时 , (1, + ? ); 当 0 < a < 1时 , (1, ); a 1 当 a = 1时 , ? ; 当 a > 1时 , ( , 1). a

本题正确解答的关键在于分 类.分类时,首先分为 a = 0 和 a≠0 两 1 种情况,当a≠0时,要注意比较 与1 a 的大小及不等号的方向是否要改变.

【变式练习3】 已知 a∈R ,解关于 x 的不等式 x2 - (a +a2)x+a3<0.

【 解 析 】 原 不 等 式 化 为 ( x- a ) ( x- a 2 ) ? 0 . 当 a ? 1 或 a ? 0时 , a 2 ? a, 所 以 原 不 等 式 的 解 为 a ? x ? a 2; 当 0 ? a ? 1 时 , a 2 ? a, 所 以 原 不 等 式 的 解 为 a 2 ? x ? a; 当 a= 1 或 a= 0 时 , 原 不 等 式 为 ( x- 1 ) 2 ? 0 或 x 2 ? 0 , 所以无解. 综 上 所 述 , 当 a ? 1 或 a ? 0时 , 原 不 等 式 的 解 集 为
2 x | a ? x ? a ? ?;

当 0 ? a ? 1时 , 原 不 等 式 的 解 集 为 ? x | a 2 ? x ? a?; 当 a= 1 或 a= 0 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为 ? .

2 1 . 若 l o g 1 , 则 a 的 取 值 范 围 是 a ? 3 2 (1 , + ? ) (0 , )_   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. 3 2 【 解 析 】lo g a ? 1= lo g a a . 3 2 当 a ? 1时 , a ? , 所 以 a ? 1; 3 2 当 0 ? a ? 1时 , 0?a? . 3 2 所 以 a 的 取 值 范 围 是 (1, + ? ) ( 0 , ). 3

a x? 1   2 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ? 0 的 解 集 是 x? 1 1 - 2_ ( -, ?- 1 ) ( - , + ? ) , 则 a =   _ _ _ _ _ _ 2 【 解 析 】 由 已 知 可 得 a ?0 且 原 不 等 式 等 价 1 于 a(x + 1 )(x - ) ?0. 由 解 集 特 点 可 得 a ?0 a 1 且 = -, 得 a = - 2 . a

3. 若不等式 x2 - (a + 1)x + a<0 在 (1,3) 上有解,则实数a的取值范围是 ________________. (1,+∞) 【解析】方法 1 :原不等式可化为 (x - 1)(x-a)<0. 原不等式在(1,3)上有解,即原不等式的 解集与(1,3)的交集不是空集,所以a>1. 所以实数a的取值范围是(1,+∞).

方法2:设f ? x ?=x 2-(a+1) x+a. ?a ?1 ?1 ? 因为f ?1?=0,所以只需 ? 2 , 2 ? ?? a ? 1 ? ? 4a ? 0 ? 解得a ? 1. 所以实数a的取值范围是(1,+?).

4. 已知 f(x) = ax2 + (b - 8)x - a - ab ,当

x∈( - 3,2) 时 , f(x)>0 ; x∈( - ∞ , -
3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.

(1)求y=f(x)的解析式;
(2)当c为何值时,ax2+bx+c≤0的解集 为R.

【 解 析 】? 1 ? 由 题 设 知 , 方 程 a x 2+ ( b - 8 ) x - a - a b= 0 的 根 为 x= 2 或 x= - 3 , b ?8 ? ?a ? ?3 ? 2 ? ?? 3 ? ? ? 所 以 ? , a ? ? b ? 5 ? ? ? 2 ? ?? 3 ? ? ? 1 ? b 所 以 f ? x ? = - 3 x 2- 3 x + 1 8 .
2 2 2 a x + b x + c ? 0 , 即 3 x - 5 x- c ? 0 , ? ?

若 解 集 为 R, 25 则 ? = 2 5 + 1 2 c ? 0, 所 以 c ? - . 12

5. 已知函数 y = lg[(a2 - 4)x2 + 2(a + 2)x + a - 1] 的定义域为 R ,求 实数a的取值范围.

【 解 析 】 该 函 数 的 定 义 域 为 R, 即 关 于 x的 不 等 式 : ( a - 4 ) x + 2 ( a + 2 ) x+ a - 1 > 0的 解 集 为 R .
2 2

? 1 ? 当 a= 2 时 , 这 个 不 等 式 化 为 8 x+ 1 > 0 ,
它 的 解 集 不 为 R, 所 以 a= 2 不 符 合 题 意 ;

? 2 ? 当 a= - 2 时 , 这 个 不 等 式 化 为 - 3 > 0 ,
它的解集为?,

(3)当-2 <a <2 时,由二次函数的性质可知 这个不等式的解集不可能为 R,所以-2<a <2不符合题意; (4)当a<-2或a>2时,由二次函数的性质可 知,要使这个不等式的解集为 R,必须满足: Δ=4(a+2)2-4(a2-4)(a-1)<0, 即a(a+2)(a-4)>0(*), 解不等式(*)得-2<a<0或a>4,所以a>4. 综上所述,a的取值范围是(4,+∞).

解不等式是中学数学的基础内容,也是高考 的必考内容,主要从三个方面考查:一是解一元 二次不等式或一元二次不等式组,或考查可以转 化为一元二次不等式的问题 ( 如指数不等式、分式 不等式等 ) ,一般以填空题形式出现;二是已知二 次函数零点的分布情况求相应的参数的取值范围, 或者解含参数的不等式,也不排除与函数、导数 等结合(如求单调区间);三是利用不等式模型解决 实际应用问题.

1 .解一元二次不等式的方法一般 有两种: (1)求出对应的一元二次方程的两个 根,画出相应的一元二次函数的图象, 经过观察得到不等式的解; (2)将不等式的左边化为两个一次因 式的乘积,再由“大于取两边,小于取 中间”的方法求得不等式的解.

2.对于给定集合M和给定含参数的 不等式f(x)>0,求不等式中的参数的取值 范围问题,要看清楚题目的要求,再相 应求解,不妨“对号入座”:

?1 ? 若 M 是 f ? x ? ? 0的 解 集 , 则 由 M = ? x | f ? x ? ? 0? 来 求 ; ? 2 ?若 f ? x ? ? 0在 M 上 有 解 , 则 由 M ? x | f ? x ? ? 0? ? ? 来 求 ; ?3?若 f ? x ? ? 0在 M 上 恒 成 立 , 则 由 M ? ? x | f ? x ? ? 0? 来 求 .

3.从初中的一元二次方程、一元二次函 数,到高中的一元二次不等式,跨度之大、连 贯性之强、占中学教材版面之多,足以体现新 课标对这部分知识的重视.零点概念的出现更 是给不等式的考查带来新意,它可以更好地将 一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等 式这“三个二次”问题融为一体,也可以为用 数形结合的方法解决一元二次函数和一元二次 不等式提供更为广阔的空间,以至于近年来 “三个二次”问题在高考试题中频繁亮相,所 以,复习备考时应给予足够重视.

4.含参数的一元二次不等式的 解法,看重考查分类讨论思想,能 力要求较高,因此,要引起重视.

1 . ( 2 0 1 0徐 州 期 中 卷 ) 当 且 仅 当 a ? ( t , t2) 时 , 1
2 2 ? a x?x 不 等 式 < 3 对 任 意 x ? R 都 成 立 , 则 2 1 ?x?x t + t = _ _ _ _ _ _ . 1 2

【解析】原不等式可化为2x2+(a-3)x+1>0. 由于其解集是(-∞,+∞), 所以Δ=(a-3)2-8<0,即a2-6a+1<0. 由题设知,t1,t2 是方程a2 - 6a+1=0 的两根, 故t1+t2=6.

答案:6 选题感悟: 本题主要考查不等式 的解法.由于已知不等式的解集, 因而其本质是解不等式的逆向思 维,体现了考生的分析问题和解 决问题的能力.

2.(2010·扬州期中卷)若关于x的不等式 (2x - 1)2<kx2 的解集中整数恰好有 2 个, 则实数k的取值范围是________.

【 解 析 】 因 为 原 不 等 式 等 价 于 (- k + 4 ) x 2 - 4 x + 1 ? 0 , 从 而 方 程 (- k + 4 ) x 2- 4 x + 1 = 0 的 判 别 式 ? = 4 k ? 0 , 且 有 4 - k ? 0 , 故 0 ? k ? 4. 1 1 又原不等式的解集为 <x< , 2? k 2? k 1 1 1 且 < < , 则 1, 2 一 定 为 所 求 的 整 数 解 , 4 2? k 2 1 9 25 所 以 2< ? 3 , 得 k的 取 值 范 围 为 ( ]. 4 9 2? k

选题感悟: 一元二次不等式在《考 试说明》中是“C”要求,是每年高 考的必考内容,考查的形式较 多.本题以含有参数的一元二次不 等式为载体,对考生的逻辑思维能 力、运算能力要求较高.

9 25 答案:( ] 4 9

3 . ( 2 0 1 0启 东 中 学 期 中 卷 ) 设 函 数 f ?x?= a x

2

+ b x + c(a 、、 b c? R )满 足 f ?x?<的 0 解 集 为 ,3 又 f ?x?+ 3 a x - 2 x - 2 a?0 的 解 集 为, A ?0 ?, 且 A ?1 ,3 , 求的 a 取 值 范 围 . ? ??

【 解 析 】 由 题 意 知 , a ? 0, 且 0 ,3 分 别 为 方 程 a x 2+ b x + c = 0 的 两 个 解 , ?9 a ? 3b ? c ? 0 所 以 ? , 所 以 b= - 3 a, ?c ? 0 所 以 f ? x ? + 3 a x - 2 x - 2 a = a x 2- 2 x - 2 a . 记 g ? x ? = a x 2 - 2 x - 2 a .由 于 a ? 0 , 结 合 g ? x ?的 图 象 知 , 要 使 A

?1, 3 ? ?

? , 只 需 g ? 3 ? ? 0,

即 9 a- 2 ? 3- 2 a ? 0, 6 6 得 a ? .所 以 a 的 取 值 范 围 是 ( , + ? ). 7 7

6 答 案 : a 的 取 值 范 围 是 (, + ? ) . 7
选题感悟: 本题是在函数、方程、 不等式的交汇处立意的,情景非常 平凡,但内涵丰富,高考试题一直 将三个 “ 二次 ” 的问题作为热点内 容来考查.


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