(浙江专版)2018年高中数学 第二章 数列 2.1 第一课时 数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5_图文


数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与简单表示法

预习课本 P28~29,思考并完成以下问题
(1)什么是数列?什么叫数列的通项公式? (2)数列的项与项数一样吗? (3)数列与函数有什么关系,数列通项公式与函数解析式有什么联系?

[新知初探]
1.数列的概念 (1)定义:按照一定 顺序 排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的 每一个数 叫做这个数列的项.a1 称为数列{an} 的第 1 项(或称为 首项 ),a2 称为第 2 项,…,an 称为第 n 项. (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…, an,…,简记为 {an} .

[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的.因此,如果组成 两个数列的数相同而排列顺序不同,那么它们就是不同的数列.例 如,数列 4,5,6,7,8,9,10 与数列 10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列.
(2)在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此, 同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…; 2,2,2,….

2.数列的分类

分类标准 按项的个

按项的变 化趋势

名称

含义

有穷数列

项数有__限__的数列

无穷数列

项数_无__限_的数列

递增数列

从第_2_项起,每一项都_大__于__它的前一项 的数列

递减数列

从第_2_项起,每一项都_小__于_它的前一项 的数列

常数列

_各__项__相__等__的数列

摆动数列

从第_2_项起,有些项_大__于__它的前一项, 有些项_小__于__它的前一项的数列

3.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用_一__个__式__子_ 来表示,那么这个_公__式__叫做这个数列的通项公式. [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或 它的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数解析式. (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的 数列都有通项公式.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)数列 1,1,1,…是无穷数列

(√ )

(2)数列 1,2,3,4 和数列 1,2,4,3 是同一个数列 (3)有些数列没有通项公式

(×) (√ )

解析:(1)正确.每项都为 1 的常数列,有无穷多项.

(2)错误,虽然都是由 1,2,3,4 四个数构成的数列,但是两个数列

中后两个数顺序不同,不是同一个数列.

(3)正确,某些数列的第 n 项 an 和 n 之间可以建立一个函数关系 式,这个数列就有通项公式,否则,不能建立一个函数关系式,

这个数列就没有通项公式.

2.在数列-1,0,19,18,…,n-n22,…中,0.08 是它的 (

)

A.第 100 项

B.第 12 项

C.第 10 项

D.第 8 项

解析:选 C ∵an=n-n22,令n-n22=0.08,解得 n=10 或 n=

52(舍去).

3.数列的通项公式为 an=?????32nn+ -12, ,nn为 为奇 偶数 数, , 则 a2·a3 等于(

)

A.70

B.28

C.20

D.8

解析:选 C 由 an=?????32nn+-12,,nn为为奇偶数数,, 得 a2=2,a3=10,

所以 a2·a3=20.

4.在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中,x=________. 解析:通过观察数列各项的大小关系,发现从第三项起,每 项的值都等于前两项值之和,因此 x=5+8=13. 答案:13

数列的概念及分类
[典例] 下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) A.1,13,312,313,… B.sin 1π3,sin 21π3,sin 31π3,sin 41π3,… C.-1,-12,-13,-14,… D.1,2,3,4,…,30

[解析] 数列 1,13,312,313,…是无穷数列,但它不是递增 数列,而是递减数列;数列 sin 1π3,sin 21π3,sin 31π3,sin 41π3,… 是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1, -12,-13,-14,…是无穷数列,也是递增数列;数列 1,2,3,4,…, 30 是递增数列,但不是无穷数列.
[答案] C

1.有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察数列 是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则 为无穷数列. 2.数列单调性的判断 判断数列的单调性,则需要从第 2 项起,观察每一项与它 的前一项的大小关系,若满足 an<an+1,则是递增数列;若满 足 an>an+1,则是递减数列;若满足 an=an+1,则是常数列;若 an 与 an+1 的大小不确定时,则是摆动数列.

[活学活用]
给出以下数列: ①1,-1,1,-1,…; ②2,4,6,8,…,1 000; ③8,8,8,8,…; ④0.8,0.82,0.83,0.84,…,0.810. 其中,有穷数列为______;无穷数列为______;递增数列为______; 递减数列为_____;摆动数列为_____;常数列为______.(填序号) 解析:有穷数列为②④;无穷数列为①③;递增数列为②;递 减数列为④;摆动数列为①;常数列为③. 答案:②④ ①③ ② ④ ① ③

由数列的前几项求通项公式 [典例] (1)数列35,12,151,37,…的一个通项公式是________. (2)根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项公式. ①2×1 4,3×1 5,4×1 6,5×1 7,…; ②-3,7,-15,31,…; ③2,6,2,6,….

[解析] (1)数列可写为:35,48,151,164,…,分子满足:3=1+2,4 =2+2,5=3+2,6=4+2,…,
分母满足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…, 故通项公式为 an=3nn++22. [答案] an=3nn++22 (2)解:①均是分式且分子均为 1,分母均是两因数的积,第一个因 数是项数加上 1,第二个因数比第一个因数大 2, ∴an=?n+1?1?n+3?.

②正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)n 来表示符号, 各项的绝对值恰是 2 的整数次幂减 1,
∴an=(-1)n(2n+1-1). ③为摆动数列,一般求两数的平均数2+2 6=4,而 2=4-2,6 =4+2,中间符号用(-1)n 来表示. an=4+(-1)n·2 或 an=?????26,,nn是是奇偶数数,.

由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考 虑分子、分母的关系. (2)若 n 和 n+1 项正负交错,那么符号用(-1)n 或(-1)n+1 或 (-1)n-1 来调控. (3)熟悉一些常见数列的通项公式. (4)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发 现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干 个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.

[活学活用] 写出下列数列的一个通项公式:

(1)0,3,8,15,24,…;

(2)1,-3,5,-7,9,…;

(3)112,223,334,445,…;

(4)1,11,111,1 111,….

解:(1)观察数列中的数,可以看到 0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=

16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是 an=n2-1. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列

的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为 an=(-1)n+1 (2n-1).

(3)此数列的整数部分 1,2,3,4,…恰好是序号 n,分数部分与序 号 n 的关系为n+n 1,故所求的数列的一个通项公式为 an=n+ n+n 1=nn2++21n. (4)原数列的各项可变为19×9,19×99,19×999,19×9 999,…, 易知数列 9,99,999,9 999,…的一个通项公式为 an=10n-1.所以 原数列的一个通项公式为 an=19(10n-1).

判定数列中项的问题
[典例] 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上 序号的 2 倍.
(1)求这个数列的第 4 项与第 25 项; (2)253 和 153 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项?
[解] (1)由题设条件,知 an= n+2n. ∴a4= 4+2×4=10,a25= 25+2×25=55. (2)假设 253 是这个数列中的项,则 253= n+2n,解得 n=121. ∴253 是这个数列的第 121 项. 假设 153 是这个数列中的项,则 153= n+2n,解得 n=7214,这 与 n 是正整数矛盾,∴153 不是这个数列中的项.

已知数列{an}的通项公式,判断某一个数是否是数列{an}的 项,即令通项公式等于该数,解关于 n 的方程,若解得 n 为正整 数 k,则该数为数列{an}的第 k 项,若关于 n 的方程无解或有解 且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项.

[活学活用]

数列 1,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,则89是该数列的

(

)

A.第 127 项 B.第 128 项 C.第 129 项 D.第 130 项 解析:选 B 把该数列的第一项 1 写成11,再将该数列分组,第一组

一项:11;第二组两项:12,21;第三组三项:13,22,31;第四组四项:

14,23,32,41;…容易发现:每组中每个分数的分子、分母之和均为该

组序号加 1,且每组的分子从 1 开始逐一增加,因此89应位于第十六组

中第八位.由 1+2+…+15+8=128,得89是该数列的第 128 项.


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