2015届高考数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性配套课件 理 新人教A版


第3讲 函数的奇偶性与周期性

考点梳理
1.奇、偶函数的概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的 f(-x)=f(x) ,那么称函数y=f(x)是偶函数. x∈A,都有____________ f(-x)=-f(x) ,那么称函数y= 如果对于任意的x∈A都有_____________ f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对 称.

2.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单 调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调 性,则其单调性恰恰相反. (2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. (3)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). (4)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)=0. f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.

(5)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)=0,定义域是关于

原点对称的任意一个区间).
3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 f(x), T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=___ 那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周 期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周 个_____

期.

【助学· 微博】 一个命题规律 函数的奇偶性、周期性常和函数其他性质(如单调性)综

合,奇偶性与单调性结合的题目常画示意图解决,周期性
与三角函数相结合,以客观题型为主,一般为容易题.对 综合性解答题,常通过研究函数的单调性、周期性、奇偶

性等,全面了解函数图象的变化趋势,画出函数的示意
图,从而研究函数的最值、单调区间等,是解决函数最 值、不等式恒成立等问题的基本思路.

考点自测
1.(2012· 海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0
时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)的值是 ________. 解析 答案 由f(0)=0,得b=-1,所以f(-1)=-f(1)=-(2+ -3

2-1)=-3.

2.(2013· 泰州学情调查)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇 函数,且f(x)的最小正周期为3,f(1)<2,f(2)=m,则m

的取值范围为________. 解析
答案

因为f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),所以m=f(2)=
(-2,+∞)

f(-1)=-f(1)>-2.

3.(2012· 盐城检测)设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,在

(0,1)上递增,若f(a-2)-f(4-a2)<0,则a的取值范围
为________.
解析 由 f(a-2)<f(4-a2),得 f(|a-2|)<f(|4-a2|),

?-1<a-2<1, ? 2 由 题 意 , 得 ?-1<4-a <1, ?|a-2|<|4-a2|, ? a≠2.
答案 ( 3,2)∪(2, 5)

解得 3<a< 5且

4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那 么a+b的值是________.
解析 由 f(x)是偶函数知,f(x)=f(-x),即 ax2+bx=

a(-x)2-bx, ∴2bx=0, ∴b=0.又 f(x)的定义域应关于 1 1 原点对称,即(a-1)+2a=0,∴a= ,故 a+b= . 3 3 1 答案 3

5.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x
?1? -1)<f?3?的 ? ?

x 的取值范围是________.

解析

f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,又 f(x)在[0,+

∞)上递增,
?1? 1 1 2 ? ? ∴f(2x-1)<f 3 ?|2x-1|< ? <x< . 3 3 3 ? ?

答案

?1 2? ? , ? ?3 3?

考向一

函数奇偶性及其应用
?ex ? -x f(x)=x? a -ae ?(x∈R) ? ?

【例 1】 (1)(2012· 盐城调研)设函数

是偶函数,则实数 a 的值为________.

(2)(2012· 苏州调研)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数 g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a, 则f(2)=________.

解析

ex (1)设 g(x)= a -ae-x(x∈R),由题意,得 g(x)是 R

1 上的奇函数,所以 g(0)=0,即a-a=0,所以 a=± 1. (2)因为 g(x)为偶函数,f(x)为奇函数,所以 g(2)=g(-2) =a,f(-2)=-f(2). 因为 f(2)+g(2)=a2-a 2+2, 所以 f(-2)+g(-2)=-f(2)


+g(2)=a 2-a2+2,所以 g(2)=2=a,f(2)=a2-a 2=
- -

15 2 -2 = . 4
2
-2

答案

(1)± 1

15 (2) 4

[方法总结] 奇偶函数的判断,要考虑定义域所在区间关于 原点对称.对于奇偶函数的性质,要善于逆用奇偶函数性 质以及奇偶函数的四则运算性质解题.

【训练1】 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=x2+2x,若f(a2-2)+f(a)<0,则实数a的取值范围 是________.
(2)(2012·苏 北 四 市 调 研 三 ) 已 知 函 数 f(x) =
2 ? ?x +x,x≤0, ? 2 ? ?ax +bx,x>0,

为奇函数,则 a+b=________.

解析

(1)f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以

f(x)在R上单调递增.于是由f(a2-2)<-f(a)=f(-a),得a2 -2<-a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.

(2)当x>0时,-x<0,由题意得f(-x)=-f(x),
∴x2-x=-ax2-bx,从而a=-1,b=1,a+b=0. 答案 (1)(-2,1) (2)0

考向二

函数奇偶性与单调性的交汇问题

【例2】 (1)已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间 [-2,0]内递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数

m的取值范围是________;
π (2)设 f(x)=x +x,x∈R,当 0≤θ≤ 时,f(msin θ)+ 2
3

f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析 (1)∵f(x)的定义域为[-2,2],
? ?-2≤1-m≤2, ∴有? 2 ? ?-2≤1-m ≤2,

解得-1≤m≤ 3.①

又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,∴在[-2,2]上递 减, ∴f(1-m)<-f(又因为0≤θ≤,所以0≤sin θ≤1,

于是由得m<1.
1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②,可知-1≤m<1. (2)∵f(x)=x3+x是奇函数,且在R上单调增, ∴由f(msin θ)>-f(1-m)=f(m-1),得msin θ>m-1.

π 又因为 0≤θ≤ ,所以 0≤sin θ≤1, 2
? 0>m-1, ?m· 于是由? ? ?m>m-1,

得 m<1.

答案

(1)[-1,1)

(2)(-∞,1)

[方法总结] (1)奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象

关于y轴对称.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

【训练 2】 (2012· 山东潍坊 3 月模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已 知当
?1?1-x x∈[0,1]时,f(x)=?2? ,则 ? ?

①2是函数f(x)的周期; ②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当
?1?x-3 x∈[3,4]时,f(x)=?2? . ? ?

其中所有正确命题的序号是________.

解析

①由 f(x-1)=f(x+1),得 f(x+2)=f(x),即 f(x)

是以 2 为周期的周期函数, 所以①正确; ②结合图象可知 函数在(1,2)上是减函数, 在(2,3)上是增函数, 所以②正确; 1 ③f(x)最大值为 1,最小值为 ,所以③不正确;④当 x∈ 2 [3,4]时,4-x∈[0,1],由奇偶性与周期性可得 f(x)=f(4-
?1?x-3 x)=?2? .故①②④正确. ? ?

答案

①②④

考向三

函数性质的综合应用

【例3】 (2012· 无锡一中期中调研)定义在R上的单调函数y
=f(x)满足f(2)=3,且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x) + f ( y) . (1)试求f(0)的值并证明函数y=f(x)为奇函数;

(2)若f(m· 3x)+f(3x-9x)<3对任意x∈R恒成立,求实数m的
取值范围. 解 (1)∵f(x+y)=f(x)+f(y),①

令x=y=0,代入①式,得
f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0. 令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),

又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,∴f(x)是奇函数.

(2)∵f(2)=3,即f(2)>f(0), 又f(x)在R上是单调函数, ∴f(x)在R上是增函数,∵f(m· 3x)+f(3x-9x)<3,

可化为:f[(m+1)· 3x-9x]<f(2),
∴(m+1)3x-9x<2对任意x∈R恒成立. 即9x-(m+1)3x+2>0对任意x∈R恒成立.令t=3x,则

t>0,
问题等价于:t2-(m+1)t+2>0在(0,+∞)上恒成立,
m+ 1 令 g(t)=t -(m+1)t+2,其对称轴方程为 t= , 2
2

m+ 1 当 <0,即 m<-1 时,g(t)在(0,+∞)上递增且 g(0)= 2 m+ 1 2>0,∴m<-1 满足题意.当 ≥0 时, 2 ?m+1? ? ? 即 m≥-1 时 g(t)min=g? ?>0,∴-1≤m<2 2-1. ? 2 ? 综上所述,实数 m 的取值范围为 m<2 2-1, 注:本题第(2)小问中,亦可用参变分离法: t2-(1+m)t+2>0 在(0,+∞)上恒成立, 2 可化为:m+1<t+ t 在(0,+∞)上恒成立, 2 2 令 g(t)=t+ t (t>0),则 g(t)≥2 t· t =2 2, ∴m<2 2-1, 综上所述,实数 m 的取值范围为 m<2 2-1.

[方法总结] 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大
性质,它们之间既有区别又有联系,高考作为考查学生综 合能力的选拔性考试,在命题时,常常将它们综合在一起 命制试题.

【训练3】 设f(x)是定义在R上的 奇函数,且对任意实数x,恒 有f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013). 思维启迪 期函数; (1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)是周

(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[-2,0]上的解析式,
进而求f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和.

(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],

∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,
又f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2
008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.∴f(0)+f(1)+f(2) +…+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.

探究提高

判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x) (T≠0)便

可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与 函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.

热点突破6

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性问题在高考中至多考一道填空题,且可能 与函数单调性和周期性进行有机融合,判断函数奇偶性,

除要用好定义,灵活运用奇偶函数的性质也会大大方便解
题思维过程.

一、奇偶函数运算性质及其应用
【示例】 (2011· 广东卷改编)设函数f(x)和g(x)分别是R上的 偶函数和奇函数,则下列结论:①|f(x)|-g(x)是奇函

数;②|f(x)|+g(x)是偶函数;③f(x)-|g(x)|是奇函数;④
f(x)+|g(x)|是偶函数,其中恒成立的是________.

[审题与转化] 第一步:奇偶函数运算性质满足奇±奇=
奇,奇±偶=非奇非偶,偶±偶=偶. 第二步:若f(x)是奇函数或偶函数,则|f(x)|是偶函数.

[规范解答] 第三步:因为g(x)是奇函数,所以|g(x)|是偶 函数,又f(x)是偶函数,所以f(x)+|g(x)|是偶函数,所以仅 ④恒成立. [反思与回顾] 第四步:函数|f(x)|不一定具有奇偶性,但

f(|x|)一定是偶函数.另外,若f(x)是偶函数,则必有f(x)=
f(|x|).还有,本题要求结论恒成立,是为了排除f(x)=0, g(x)=0这一特殊情况.

二、探求函数f(x)是奇偶函数的充要条件 【示例】 (2011· 山东卷改编)对于函数y=f(x),x∈R,“y= |f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ________条件. [审题与转化] 第一步:y=|f(x)|图象关于y轴对称,可得 y=|f(x)|是偶函数.

第二步:y=|f(x)|是偶函数?|f(-x)|=|f(x)|.
[规范解答] 第三步:若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=- f(x),从而|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,反之不成立,故填必 要不充分

[反思与回顾] 第四步:由|f(-x)|=|f(x)|,容易认为有 f(-x)=± f(x),即 f(x)不是奇函数就是偶函数,这是错误 的,事实上,取
? ?1,x≥0, f(x) = ? ? ?-1,x<0,

也满足 |f( - x)| =

|f(x)|,但却是非奇非偶函数.

高考经典题组训练
1.(2011· 浙江卷)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a =________. 解析 由题意,g(x)=|x+a|是偶函数,所以a=0. 答案 0 2.(2012· 上海卷)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________. 解析 因为y=f(x)+x2是奇函数,f(1)=1,所以f(1)+12+

f(-1)+(-1)2=0,即f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2

=-1.
答案 -1

3 . (2011· 全国卷改编 ) 设 f(x) 是周期为 2 的奇函数,当
? 5? 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?=________. ? ? ? 5? ?5? ?1? 解析 由题意,得 f?-2?=-f?2?=-f?2?= ? ? ? ? ? ?

?1? ? 1? 1 ? ? ? ? -2× 2 × 1-2 =- . 2 ? ? ? ?

答案

1 - 2

4.(2012· 江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在 ?ax+1,-1≤x<0, ? 区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 其中 a,b∈ ,0≤x≤1, ? x + 1 ? ?1? ?3? R.若 f?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ? ? ? ? 1 b+2 b+4 ? ? ? ?1? 2 3 1? 1 ? ? ? ? ? ? 解析 因为 f 2 = = ,f 2 =f -2 =- a+1,所 1 3 2 ? ? ? ? ? ? +1 2 b+ 4 1 3 以 =- a+1,即 a+b=-1.① 3 2 2 b+2 又 f(1)=f(-1),所以-a+1= ,即 b=-2a.② 2 联立①②解得 a=2,b=-4,a+3b=-10.

答案

-10

5.(2012· 福建卷改编)设函数

? ?1,x为有理数, D(x)=? ? ?0,x为无理数,

则下

列结论:①D(x)的值域为{0,1};②D(x)是偶函数;③D(x) 不是周期函数; ④D(x)不是单调函数. 其中正确的序号是 ________.

解析

①正确;②当x∈Q时,-x∈Q,D(x)=D(-x)=

1,当x为无理数时,同理可证D(x)=D(-x)=0,即对任 意x∈R,D(x)=D(-x),所以②正确.若x为无理数,则x

+1也是无理数,故有D(x+1)=0=D(x);同理,若x为有
理数,则有D(x+1)=1=D(x),综上,1是D(x)的周期.③ 不正确;④正确.

答案

①②④


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