精品(北师大版)高中数学必修四:3.2《两角和与差的余弦函数》教案设计


北师大版数学精品教学资料 两角和与差的余弦函数 (一)教学目标: 1、知识目标: (1)利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式;2)灵活正 反运用两角差的余弦。 2、能力目标: (1)通过求两个向量的夹角,发现两角差的余弦,培养学生融 会贯通的能力。 (2)培养学生注重知识的形成过程。 3、情感目标:通过公式的推导,更进一步发现“向量”的强大作用。 (二)教学重点、难点 重点: (1)两角差的余弦; (2)灵活应用两角差的公式解决问题 难点: (1)两角差的余弦的推导; (2)两角差的余弦的灵活应用 (三)教学方法: 本节主要是采用数形结合的思路,由代数的精密推导和几何的直观性,推导 出两角差的余弦,使学生养成数形结合的习惯;另外,整体上是由特殊到一般, 再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受。 (四)教学过程 教学 环节 复习 引入 复习向量的数量积以及它的主 学生回答, 老师写副板 以旧 教学内容 师生互动 设计意图 要作用:求两个向量夹角的余弦值。 书; 写出向量的数量积以及 带新,注 正板书: 例 1:已知向量 它的变形(求夹角的余弦 值) 意创设问 题的情 a ? (cos45o , sin 45o ) , b ? (cos30o , sin 30o ) ,求< a, b >的余 弦 解: | a |? cos2 45o ? sin 2 45o =1 师:求向量夹角的余弦值, 境,为引 应具备哪些条件? 出新课程 生: 应该求出两个向量的数 打基础。 量积以及它们各自的模 通过 师:回答很好。我们先来求 这道题一 这两个向量的模以及它们 来巩固向 | b |? cos2 30o ? sin 2 30o =1 的数量积。 a ? b ? (cos45o , sin 45o ) ? (cos30o , sin 30o ) 生:上黑板板书。 = cos45o ? cos30o ? sin 45o ? sin 30o = 6? 2 4 a ?b | a |?|b | 量积,二 来为引出 两角差的 余弦做好 准备。 cos ? a, b ? = = 6? 2 4 先通过代 数方法来 师: 下面我们来看看这道题 求; 的几何解释。 由上面的代数解法可知, 它 们的模都是 1,这说明它们 都在单位圆上。 (给出幻灯 片或边说边画) 如果 OA ? a , OB ? b ,则 从几 何图形上 直观的反 应这道 题。 即: cos15 = cos45o ? cos30o ? sin 45o ? sin 30o o ∠AOB=< a, b >=15o;通过图 形可知,实际上我们求的 6? 2 就是 cos15o 4 = 加深 同学 们从 几何 图形 上进 一步 理解 两个 6? 2 4 练习 1: 向量 a ? (cos105o , sin 105o ) 与 师:思考题:请同学们按照 让学生深 向量 b ? (cos45o , sin 45o ) 夹角的余弦 值 上述想法来看这道题 刻理解和 掌握通过 师: 提醒学生从几何图形方 图形可以 面想问题。并找学生回答。 解决两个 生: 在坐标系的单位圆中画 向量夹角 出向量 a, b ,由图形可知, 的余弦 这两个向量的夹角是 60o, 所以它们夹角的余弦值是 利用向量 向量 夹角 的余 弦 解:cos< a, b >= 1 2 1 2 积公式出 发来求, 碰到的困 难是“求 不出向量 积”;逼着 学生从几 何角度想 问题。 公式 的推 导以 及理 解 公式 cos(α—β)的推导,以及公式 的结构。 练习 2:设∠XOA=α,∠XOB=β,那 么向量 OA , OB 夹角的余弦值是多 少? 解:点 A (cos? , sin ? ) ,点 B (cos? , sin ? ) , 那么 OA ? (cos? , sin ? ) , 师:如果上述图形中 ∠XOA=α,∠XOB=β,那么 向量 OA , OB 夹角的余弦 值是多少? 生:点 A (cos? , sin ? ) ,点 B (cos? , sin ? ) ,那么 由特殊到 一般。推 导出两角 差的余 弦。 OA ? (cos? , sin ? ) , OB ? (cos? , sin ? ) 所以 cos∠AOB=cos(α-β) OB ? (cos? , sin ? ) 所以 cos∠AOB=cos (α-β) =cos< a, b > =cos< a, b > = a ?b | a |?|b | = = a ?b | a |?|b | = cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? 总结: cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 师:非常好。我们注意到在 推导过程中,角 α,β 没有 任何限制。所以 cos(α-β) = cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? 公式 的应 用 例 2:已知 cosα= ? 求 cos( ? 6 4 ? ( ?? ?? ) , 师:请看这道题 5 2 强化公式 的应用 ?? ) 4 ? ,且 ? ? ? ? 5 2 解:因为 cosα= ? 生: 由 α 的余弦求出 α 的正 弦,而 4 3 所以 sin ? = 1 ? ( ) 2 = 5 5 因此 cos( =cos 归纳 小结 ? 是特殊值,由两角 6 ? 6 差的余弦公式可以求出 ?? ) ? ? 3? 4 3 cosα+sin sinα= 6 6 10 本节主要是从向量的数量积以 依赖板书, 与学生共同 使学生对 总结本节课的内容。 本课的知 识点有一 个完成得 清晰的认 识,体现 了由特殊 到一般, 以及数形 结合的教 育思想。 及利用向量在单位圆中的图形两种 思路探讨了两角差的余弦公式

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